方程f (x) 0的实数根 函数y f (x)的图像与x轴交点的横坐标
1.函数的零点：
❖ 一般地，对于函数 y f (x)(x D) ，如果存在实
数 c(c D) ，当 x c 时，f (c) 0,那么就把 x c
叫做函数 y f (x)(x D) 的零点
函数y=f(x)的零点
x2 2x 3 0
无实数解
f (x) x2 2x 3
函数的图像
零点
y
.
.
2
.1
.
－1 0 1 2 3 x
－1
－2 －3
. －4
x1 1, x2 3
.y .
2
1.
. .
－1 0 1 2 x
x1 x2 1
y
.5 .4
. .
3 2
.
1
－1 0 1 2 3 x
无零点
❖ 例1 求下列函数的零点
若函数在区3.反间之（，a,不b)成内立有零点，是否一定能得出 f (a) f (b) 0 若改为 f4(.a单)调 f，(唯b)一 0 ，是否能得出（a,b)内一定没有零点？
再加上什么限制条件，区间（a,b)内就有且仅有一个零点？
❖ 例2 在下列哪个区间内，函数 f (x) x3 3x 5
是求函数
f (x) 4x3 52x2 169x 140
的零点
x (0, 6.5)
f (x) 4x3 52x2 169x 140, x (0, 6.5)
x 0 1 2 3 4 5 6 6.5 f (x) -140 -19 22 7 -40 -95 -134 -140
y
由表和图可以看出，函数在区间[1,2],[3,4]内各有一个零点．
一定有零点（ ）
A、(－1,0） C、(1,2）
B、(0,1） D、(2,3）
❖ 例3 已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下的x, f(x)对应值表： x 12 3 4 5 6 7
f(x) 23 9 -7 11 -5 -12 -26
那么该函数在区间[1,6]上___________个零点
❖ 例4
函数y=f(x) 的图象 与x轴交点的横坐标
形
方程f(x)=0的实数根 数
思考探究一
一元二次方程的根即为二次函数图象与x轴交点的横坐标
方程 方程的实数根
函数
x2 2x 3 0 x2 2x 1 0
x1 1, x2 3
x1 x2 1
f (x) x2 2x 3 f (x) x2 2x 1
函数的零点
． 探索一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系
方程 方程的实数根
函数
x2 2x 3 0 x2 2x 1 0 x2 2x 3 0
x1 1, x2 3
f (x) x2 2x 3
x1 x2 1
f (x) x2 2x 1
无实数解 f (x) x2 2x 3
1） f (x) x(x2 16) 2） f (x) x3 2x2 x 2
思考探究二
❖ 所有的函数都存在零点吗？ ❖什么条件下才能在区间上确定零点的存在呢？
观察二次函数 的图像
f (x) x2 2x 3
y
.
.
2
.1
.
-2－1 0 1 2 3 4 x
－1
－2 －3
. －4
f (2) f (0) 0 f (2) f (4) 0
函数的图像
y
.
.
2
.1
.
－1 0 1 2 3 x
－1
－2 －3. －4来自.y .21.
. .
－1 0 1 2 x
y
.5 .4
. .
3 2
.
1
－1 0 1 2 3 x
思考探究一
一元二次方程的实数根就是其对应的一元二次 函数的图像与x轴交点的横坐标
其他的函数与方 程之间也有类似
的关系吗？
思考探究一 推广到更一般的情况，得：
函数的图像
图像与x轴的交点
思考探究一
探索一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系
方程 方程的实数根
函数
x2 2x 3 0 x2 2x 1 0
x1 1, x2 3
x1 x2 1
f (x) x2 2x 3 f (x) x2 2x 1
x2 2x 3 0
无实数解
f (x) x2 2x 3
o
1
2 3 4567
x
计算器
思考探究三
y
o
1
2 3 4567
x
用什么方式去求 (3,4)内的零点的近似值呢？（精确到0.1）
数值试探法3.1~3.9
用什么样的数值去试探才能较快的接近零点？
❖ CCTV2“幸运52”片段 ：
主持人
说:猜一猜这架家用型数码相机的价格. 观众甲:2000! 李咏:高了! 观众乙:1000! 李咏:低了! 观众丙:1500! 李咏:还是低了!······· 由此判断价格应该在1500~2000之间，如果再猜呢？
y y
ao
bx
oa
bx
零点性质
❖ 如果函数y f (x) 在定义区间[a,b]上的图像是一条连
续不断的曲线，且有 f (a) f (b) 0 ,那么在区间(a,b)
内一定存在一个实数c，使f(c)=0，也就是在(a,b)内，
函数
y 有f (x零) 点
注： 1.两个条件缺一不可
2.有零点表示至少有一个，可以有多个
观察函数的图像 y
a0b
cdx
f (a) f (b) 0;
f (b) f (c) 0;
f (c) f (d) 0
思考探究二
❖ 所有的函数都存在零点吗？ ❖什么条件下才能确定零点的存在呢？
❖ 已知函数在[a,b]上有定义，且满 足
f (a) f (b) 0是否一定在（a,b)内存在零点？
思考探究三
y
o
1
2 3 4567
x
用什么方式去求 (3,4)内的零点的近似值呢？（精确到0.1）
数值试探法3.1~3.9
用什么样的数值去试探才能较快的接近零点？ 二分法
❖ 下面寻求 f (x) 4x3 52x2 169x 140
在（3,4）内零点的近似值（精确到0.1） 二分法
+ + +- -
3
3.125 3.18753.25
3.15625
根据-精度要求，可得零点为3.2 -
3.5
4
Start
3 3 3.125 3.125
有一块边长为13厘米的正方形金属薄片，如果
先在它的四个角上都剪去一个边长是x厘米的小正方
形，然后做成一个容积是140立方厘米的无盖长方体
盒子（如图），那么 x的值是多少（精确到0.1）？
x
13 x
13-2x
x
13-2x
❖ 解： 根据题意，得 4x3 52x2 169x 140 0
求这个三次方程在(0, 6.5)内的实数根，就