第二单元全等三角形
本单元的学习目标
①重点：全等三角形的性质；三角形全等的判定；角平分线的性质及应用
②难点：三角形全等的判断方法及应用；角平分线的性质及应用
在中考中的重要性：
①中考热点，初中数学中的重点内容
②考察内容多样化，有的独立考三角形全等，有的考全等三角形结合其他知识
点综合，有的探究三角形全等条件或结论的开放性题目
③题型以选择题、填空题、解答题为主
【知识归纳】
1.全等三角形的基本概念:
（1）全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。
（2）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
重合的顶点叫做对应顶点。
重合的边叫做对应边。
重合的角叫做对应角。
（3）全等三角形的表示方法：△ABC≌△A’B’C’（如图1）
2.全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边相等
（2）全等三角形的对应角相等
3.全等三角形的判定方法
（1）三边相等（SSS）；
（2）两边和它们的夹角相等（SAS）；
（3）两角和其中一角的对应边相等（AAS）；
（4）两角和它们的夹边相等（ASA）；
（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）．（该判定只适合直角三角形）注意：没有“AAA”和“SSA”的判定方法，这是因为“三角对应相等的两个三角形”和“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形”未必全等。
如图2，△ABC和△ADE中，∠A=∠A，∠1=∠3，∠2=∠4，即三个角对应相等，但它们只是形状相同而大小并不相等，故它们不全等；如图3，△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，即两边及其中一边的对角对应相等，但它们并不全等。
4.角平分线
的性质：角平分线平分这个角，角平分线上的点到角两边的距离相等。
5.角平分线推论：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
判定三角形全等常用思路
三角形形状题目中已给出的已知或
隐藏条件可选择的判
定方法
需在题目中寻找未给出
的条件
两边对应全等(SS) SS S或S A S 可证第三边对应相等或图2 图3
公理及定理练笔
1、一般三角形全等的判定（如图）
(1) 边角边（SSS） A
ΘAB=A′B′ BC=B′C ′ _______=_____
∴△ABC≌△A′B′C′
（2）边角边（SAS）
ΘAB=A′B′∠B=∠B′ _______=_____ B C ∴△ABC≌△A′B′C′
A′
(3) 角边角（ASA）
Θ∠B=∠B′ ____=_____ ∠C=∠C′
∴△ABC≌△A′B′C′
B ′ C′
(4) 角角边（AAS）
Θ∠A=∠A′∠C=∠C′ _______=_____
∴△ABC≌△A′B′C′
2、直角三角形全等的判定： A A′
斜边直角边定理（HL）
ΘAB=AB _____=_____
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
B C B′ C′
二、全等三角形的性质
1、全等三角形的对应角＿＿＿＿＿
2、全等三角形的对应边、对应中线、对应高、对应角平分线＿＿＿＿＿＿＿
注意：
1、斜边、直角边公理（HL）只能用于证明直角三角形的全等，对于其它三角形不适用。
2、SSS、SAS、ASA、AAS适用于任何三角形，包括直角三角形。
判断下列各组里的两个图形是否全等：
1、三角形一边上的中线把这个三角形分成的两个三角形（）
2、有两边和一角分别对应相等的两个三角形（）
3、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形（）
4、等腰三角形的顶角的平分线把这个等腰三角形分成的两个三角形（）
5、边长相等的两个等边三角形（）
6、两条直角边分别对应相等的两个直角三角形（）
第二单元练习
一、选择题
1、下列说法正确的有（）
①用一张底片冲洗出来的10张一寸照片是全等图形
②我国国旗上的4颗小五角星是全等图形
③所有的正方形是全等图形
④全等图形的面积一定相等
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2、在下列条件中，不能判定直角三角形全等的是（）
A. 两条直角边分别对应相等
B. 斜边和一个锐角分别对应相等
C. 两个锐角分别对应相等
D. 斜边和一条直角边分别对应相等
3、已知：如图2，△ABD ≌△CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（）
A. DB
B. BC
C. CD
D. AD
4、如上图，在①AB=AC，②AD=AE，③∠B=∠C，④BD=CE四个条件中，能根据“SSS”证明△ABD与△ACE全等的条件顺序是（）
A. ①②③
B. ②③④
C. ①②④
D. ①③④
5、如图7，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于M、N，有如下结论：
①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN，其中正确结论的个数是（）
A. 3个
B. 2个
C. 1个
D. 0个
6、如上图, ∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,
则点D到AB的距离为( )
A. 5cm
B. 3cm
C. 2cm
D. 不能确定
7、如上图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，
AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，若AC = 10cm ，
则△DBE 的周长等于( ) A ．10cm B ．8cm C ．6cm D ．9cm
8、如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站， 要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 Ａ．1处??Ｂ．2处??Ｃ．3处??Ｄ．4处 二、填空题
1、在△ABC 和A B C '''△中，AB A B ''=，A A '=∠∠，要使ABC A B C '''△≌△，则需增加的条件为______．（写一个即可）
2、已知ABC DEF △≌△，5cm BC EF ==，△ABC 的面积是2
20cm ，那么△DEF 中EF 边上的高是______cm ．
3、如图1,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB 于E,且AB=5cm,则△DEB 的周长为 ________ 图1 图2
4、如图2，在ΔABC 中，∠C=90°∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米， 则点D 到直线AB 的距离是__________厘米。
5、已知：如图3，△OAD ≌△OBC ，且∠O ＝70°，∠C ＝25°，则∠AEB ＝________度.
三、解答题
1、如图，已知△ABD ≌△ACE ，AB=AC ，写出这对全等三角形的对应边和对应角。
2.如图，已知AB=AC ，AD=AE ，求证：BD=CE
3.已知：如图，OP 是AOC ∠和BOD ∠。
求证：
（1）△OAB ≌△OCD ；（2）AB CD =。
4、如图，在ABC △中，40AB AC BAC =∠=，°，分别以AB AC ，为边作两个等腰直角三角形ABD 和ACE ，使90BAD CAE ∠=∠=°． （1）求DBC ∠的度数；（2）求证：BD CE =．
全等三角形的判定综合练习
1、已知：如图，AB ∥CD ，DF 交AC 于E ，交AB 于F ，
DE=EF.求证：AE=EC. 第六题
E D C
B
A 第七题O A
B
C
D
E 图3
④ ①②
③ 第八题 A B D E
C
2、如图5，AC=AE，∠C=∠E，∠1=∠2，求证△ABC≌△ADE．
3、如图，AC⊥CB,DB⊥CB,AB=DC,求证∠ABD=∠ACD.
4、如图，C是AB的中点，AD=CE,CD=BE,求证△ACD
≌△CBE.
5、已知：BE⊥CD，BE=DE，BC=DA，求证：①△BEC
≌△DAE ② DF⊥BC
B
F A
C E。