正弦、余弦的图象和性质 编稿：李霞 审稿：孙永钊【考纲要求】1、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图；熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性及其最值；理解周期函数和最小正周期的意义.2、理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2]π的性质（如单调性、最大和最小值、与x 轴交点等）,理解正切函数在区间(,)22ππ-的单调性.【知识网络】【考点梳理】考点一、“五点法”作图在确定正弦函数sin y x =在[0,2]π上的图象形状时，最其关键作用的五个点是(0,0)，(,1)2π，(,0)π，3(,-1)2π，(2,0)π 考点二、三角函数的图象和性质名称sin y x =cos y x = tan y x =定义域x R ∈ x R ∈{|,}2x x k k Z ππ≠+∈值 域[1,1]- [1,1]- (,)-∞+∞图象奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调增区间:单调增区间:单调增区间：应用三角函数的图象与性质正弦函数的图象与性质 余弦函数的 图象与性质正切函数的 图象与性质要点诠释：①三角函数性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、最大值和最小值、对称性等，要结合图象记忆性质，反过来，再利用性质巩固图象．三角函数的性质的讨论仍要遵循定义域优先的原则，研究函数的奇偶性、单调性及周期性都要考虑函数的定义域．②研究三角函数的图象和性质，应重视从数和形两个角度认识，注意用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题. 考点三、周期一般地，对于函数()f x ，如果存在一个不为0的常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时，都有(+)=()f x T f x ，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期（函数的周期一般指最小正周期）. 要点诠释：应掌握一些简单函数的周期：①函数sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+的周期2T πω=；②函数tan()y A x ωϕ=+的周期T πω=； ③函数sin y x =的周期=T π；④函数tany x=的周期=Tπ.【典型例题】类型一、定义域例1．求函数21log1sin=-yx的定义域.【思路点拨】根据要使偶次根式有意义只需偶次根式下大于等于零即可，同时对数要有意义，再结合单位圆中的三角函数线解不等式即可.【解析】为使函数有意义，需满足21log10,sinsin0.⎧-≥⎪⎨⎪>⎩xx，解得10sin2<≤x，由单位圆，如图所示：故函数的定义域为5{|22,}{|22,}66x k x k k Z x k x k k Zπππππππ<≤+∈+≤<+∈.【总结升华】求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”.在求解三角函数中，我们可以在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成.举一反三：【变式】求函数22sin cos1=+-y x x的定义域.【解析】为使函数有意义，需满足22sin cos10+-≥x x，即22cos cos10--≤x x，解得1cos12-≤≤x，由单位圆，如图所示：函数的定义域为22{|22,}33x k x k k Zππππ-<<+∈.例2．求函数2sin25log(2sin1)xy x x=--的定义域.【思路点拨】只需2250x-≥，同时对数要有意义，即底sin0x>且sin1x≠，真数2sin10x->.【解析】由题有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≠>≥-1sin21sinsin252xxxx⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈+≠∈+<<+≤≤-)(22)(6526255ZkkxZkkxkxππππππ将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来，然后取公共部分，由于x∈[-5,5]，故下面的不等式的范围只取落入[-5，5]之内的值，即：∴因此函数的定义域为：3375[5,)(,)(,)(,)2266226πππππππ----【总结升华】①sinx中的自变量x的单位是“弧度”，x∈R，不是角度.求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化.②求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线.举一反三：【变式1】求函数的定义域：（1）2log tan12y x x=+（2）tan(sin4lg(2cos1)x xyxπ-=-.【解析】（1）要使得函数有意义，需满足042log012tan02xxk x kxπππ<≤+≥⇒≤<+≥⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎩，解得20xπ<<或4xπ≤≤，∴定义域为：(0,)[,4]2xππ∈.（2）要使得函数有意义，需满足42sin02cos102cos11x kxxxπππ⎧-≠+⎪⎪⎪≥⎨⎪->⎪-≠⎪⎩解得π22,3k x k k Zππ<<+∈∴定义域为：π{|22,}3x k x k k Zππ<<+∈.【变式2】已知()f x的定义域为[0,1]，求(cos)f x的定义域.【解析】∵()f x 中[0,1]x ∈，∴(cos )f x 中cos [0,1]x ∈，解得ππ22,22k x k k Z ππ-≤≤+∈， ∴(cos )f x 的定义域为：ππ{|22,}22x k x k k Z ππ-≤≤+∈.类型二、值域例3.求下列函数的值域：（1） 1sin cos y x x =+ （2）cos y x x =+ 2([,])63x ππ∈【思路点拨】（1）解析式利用二倍角的正弦公式化简后求值域；（2）利用两角和公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的性质求得函数的最大值与最小值，注意自变量的取值范围. 【解析】（1）根据11sin cos sin 222x x x =≤可知1322y ≤≤， 故函数的值域为1322yy ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）cos 2sin()6y x x x π=+=+，由263x ππ≤≤知5366x πππ≤+≤，由正弦函数的单调性可知1sin()126x π≤+≤， 故函数的值域为{}12y y ≤≤.【总结升华】①形如sin +y a x b =或cos +y a x b =，可根据sin ,cos x x 的有界性来求最值；②形如2sin +sin +y a x b x c =或2cos +cos +y a x b x c =可看成关于sin ,cos x x 的二次函数，但也要注意它与二次函数求最值的区别，其中sin 1,cos 1x x ≤≤；③形如sin +cos y a x b x =可化为(+)y x ϕ=（其中tan =baϕ）的形式来确定最值. 举一反三： 【变式】已知44x ππ-≤≤且0x ≠，求函数tan()2y x π=-的值域.【解析】44x ππ-≤≤,且0x ≠，3424x πππ≤-≤且22x ππ-≠， 由正切函数的单调性可知1y ≥或1y ≤-， 故函数的值域为{}11y y y ≥≤-或. 类型三、奇偶性例4.判断下列函数的奇偶性：（1）(=sin (cos )f x x ） （2）1-sin (=1+sin xf x x）【思路点拨】（1）先观察定义域为R ，再判断f(x)与f （-x ）的关系，可得答案；（2）先观察定义域，注意到定义域区间不关于原点对称，易得出答案.【解析】（1）函数的定义域为R ，(-=sin[cos(-)]=sin(cos )=(f x x x f x ）） (=sin(cos )f x x ∴）是偶函数.（2）由题意有1+sin 0x ≠，故-1<sin 1x ≤，所以函数的定义域为32-2x x R x k ππ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭且， 显然函数的定义域区间不关于原点对称，所以函数1-sin (=1+sin xf x x）既不是奇函数也不是偶函数.【总结升华】定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。

判断函数奇偶性常见步骤：①判定定义域是否关于原点对称；②判定f(x)与f （-x ）的关系.举一反三：【变式】判断函数5(=cos(2+)2f x x π）的奇偶性. 【解析】5(=cos(2+)= -sin22f x x x π）， (-= -sin(-2)=sin 2= -()f x x x f x ∴）故5(=cos(2+)2f x x π）是奇函数. 类型四、周期性例5. 求下列函数的周期： （1）22cossin 22y x x =-；（2）tan 36y x π=-）（ 【思路点拨】运用公式化简转化为熟悉的三角函数的周期. 【答案】（1）2T π=；（2）3T π=【解析】（1）22=cos cossin 22x y x x=-， ∴周期为2T π=； （2）函数tan()y A x ωϕ=+0,0A ω≠≠（）的周期T πω=， ∴周期为3T π=. 【总结升华】① 求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，比如sin()y A x ωϕ=+或tan()y A x ωϕ=+的形式，否则很容易出现错误.②函数sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+的周期2T πω=，函数tan()y A x ωϕ=+的周期Tπω=. 举一反三：【变式】求函数的最小正周期． （1）sin()32y x ππ=-； （2）sin cos y x x =+； （3）22(sin cos )2cos y x x x +=+【解析】（1）24||2T ππ==-，∴周期为4； （2）cos sin 2sin()4y x x x π=+=+ ，∴周期为2π；（3）2sin 2cos 222sin(2)4y x x x π=++=++，∴周期为π.类型五、单调区间 例6．求函数=-sin (+)4y x π的单调区间.【思路点拨】借助正弦函数图象及含有绝对值的函数图象的画法，来帮助分析. 【解析】令=+4X x π，则=-sin (+)= -sin 4y x X π，函数= -sin y X 的周期为π，且图象如图所示：显然，当+,2k X k k Z πππ≤≤∈时，= -sin y X 单调递减；当+< +,2k X k k Z ππππ≤∈时，= -sin y X 单调递增；∴当++,42k x k k Z ππππ≤≤∈时，=-sin (+)4y x π单调递减；当+<++,24k x k k Z πππππ≤∈时，=-sin (+)4y x π单调递增；故=-sin (+)4y x π的单调递减区间为[-,+],44k k k Z ππππ∈；单调递增区间为3(+,+],44k k k Z ππππ∈.【总结升华】复合三角函数的单调区间是运用基本函数的单调性及单调区间得出来的. 举一反三：【变式】求函数2=sin -2sin +2y x x 的单调区间：【解析】令=sin X x ，则22=22=(1)1y X X X -+-+， 且1X ≤ 显然函数2=(1)1y X -+在1X ≤始终是单调递减的， 所以[2-,2+]22x k k ππππ∈时，=sin X x 单调递增，2=sin -2sin +2y x x 单调递减；3[2+,2+]22x k k ππππ∈时，=sin X x 单调递减，2=sin -2sin +2y x x 单调递增； 故2=sin -2sin +2y x x 单调递减区间为[2-,2+],22k k k Z ππππ∈；单调递增区间为3[2+,2+],22k k k Z ππππ∈. 类型六、综合【高清课堂：正余弦函数的图象和性质397862 例4】 例7. 已知函数 (sin -cos )sin2()sin x x xf x x=，（1）求()f x 的定义域及最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间.【思路点拨】通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式，（1）直接求出函数的定义域和最小正周期．（2）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可．【解析】（1）由题知sin 0x ≠，即x k π≠， 所以()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，(sin -cos )sin2()=sin 2-cos 2(2-) -1sin 4x x x f x x x x x π=2==2T ππ∴. （2）由-+22-+2242k x k πππππ≤≤，即3-++88k x k ππππ≤≤，()f x 单调递增， 故()f x 的单调递增区间区间为3[-,+],88k k k Z ππππ∈. 【总结升华】对于较为复杂的三角函数，可通过恒等变形转化为sin()+y A x B ωϕ=+或cos()+y A x B ωϕ=+的形式进行. 求三角函数的最小正周期，一般运用公式2πT ω=来求解；注意三角函数的单调性的求解. 举一反三：【变式1】 函数π()sin()16f x A x ω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2． (1)求函数()f x 的解析式；(2)设π(0,)2α∈，则()22f α=，求α的值．【解析】(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2．∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π， ∴最小正周期T ＝π．∴ω＝2．故函数()f x 的解析式为=2sin(2) 1.6y x -+π(2)∵π()2sin()1226f αα=-+=，即1sin =.62α⎛⎫- ⎪⎝⎭π∵π02α<<，∴πππ,663α-<-<∴ππ=66α-， 故π.3α= 【变式2】已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+（1）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域.【解析】（1）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =++-+221cos 2sin 2sin cos 22x x x x =++-1cos 22cos 222x x x =+- sin(2)6x π=-∴()f x 的最小正周期2T 2ππ== 由2()62x k k Z πππ-=+∈，得()23k x k Z ππ=+∈ ∴函数图象的对称轴方程为：()3x k k Z ππ=+∈（2）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以当3x π=时，()f x 取最大值1，又1()()12222f f ππ-=-<=，当12x π=-时，()f x 取最小值-所以函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[.。