三角函数的图像与性质ppt
y
1
y sin x, x[0, 2
3
π
2
2π
O
x
2
-1
思考4:观察函数y=sinx在[0,2π]内的 图象,其形状、位置、凸向等有何变化 规律?
思考5:在函数y=sinx,x∈[0,2π]的 图象上,起关键作用的点有哪几个?
y 1
O
-1
2
3
π
2
2π x
思 考 6 : 当 x∈[2π , 4π], [-2π , 0],…时,y=sinx的图象如何?
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
思考7:函数y=sinx,x∈R的图象叫做正 弦曲线,正弦曲线的分布有什么特点?
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
思考8:你能画出函数y=|sinx|, x∈[0,2π]的图象吗?
3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研 究函数性质的基础,也是解决有关三角 函数问题的工具,这是一种数形结合的 数学思想.
作业:P34练习:2 P46习题1.4 A组: 1
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第一课时
问题提出
t
p
1 2
5730
1.正弦函数和余弦函数的图象分别是什
么?二者有何相互联系?
思考3:设想由正弦函数的图象作出余弦 函数的图象,那么先要将余弦函数 y=cosx转化为正弦函数,你可以根据哪 个公式完成这个转化?
思考4:由诱导公式可知,y=cosx与
y
sin( 2
x) 是同一个函数,如何作函
数 y sin( 2 x)在[0,2π]内的图象?
y
1
y=sinx
2
O -1
2
π
2π x
2.正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函 数 . 一 般 地 , y=Asinωx 是 奇 函 数 , y=Acosωx(Aω≠0)是偶函数.
3.正、余弦函数有无数个单调区间和无 数个最值点,简单复合函数的性质应转 化为基本函数处理.
作业:P40-41练习:1,2,3,5,6.
1.4.3 正切函数的图象与性质
作业:P36练习:1,2,3.
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第二课时
问题提出
1.周期函数是怎样定义的?
对 于 函 数 f(x) , 如 果 存 在 一 个 非 零常数T,使得当x取定义域内的每一 个值时,都有f(x +T)=f(x), 那么函 数f(x)就叫做周期函数,非零常数T就 叫做这个函数的周期.
思考4:类似地,余弦函数在哪些区间上
是增函数?在哪些区间上是减函数?
y y=cosx
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2-1
2
2
2
余弦函数在每一个闭区间 [ 2k2k
上都是增函数;在每一个闭区间
[2k 2k 上都是减函数.
思考5:正弦函数在每一个开区间 (2kπ,+2kπ) (k∈Z)上都是增函
思考5:函数y=cosx,x∈[0,2π]的图 象如何?其中起关键作用的点有哪几个?
y 1
O
π
2π x
-1
2
2
思考6:函数y=cosx,x∈R的图象叫做余 弦曲线,怎样画出余弦曲线,余弦曲线 的分布有什么特点?
y
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2-1
2
2
2
理论迁移
例1 用“五点法”画出下列函数的 简图:
3
2 2π
O
π
x
-1
2
例2 当x∈[0,2π]时,求不等式 cos x 1 的解集.
2y
1
y
1 2
O
π
2π x
-1
2
2
[0, ] [ 5 , 2 ]
3
3
小结作业
1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位 重复出现,因此,只要记住它们在[0, 2π]内的图象形态,就可以画出正弦曲 线和余弦曲线.
2.作与正、余弦函数有关的函数图象, 是解题的基本要求,用“五点法”作图 是常用的方法.
2.正、余弦函数的最小正周期是多少?
函数
y Asin( x和 ) y Acos( x )
(A 0, 0) 的最小正周期是多少?
3.周期性是正、余弦函数所具有的一个 基本性质,此外,正、余弦函数还具有 哪些性质呢?我们将对此作进一步探究.
探究(一):正、余弦函数的奇偶性和单调性
思考1:观察下列正弦曲线和余弦曲线的
思考4:周期函数的周期是否惟一?正弦 函数的周期有哪些?
思考5:如果在周期函数f(x)的所有周期 中存在一个最小的正数, 则这个最小正 数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函 数的最小正周期是多少?为什么?
思考6:就周期性而言,对正弦函数有 什么结论?对余弦函数呢?
正、余弦函数是周期函数,2kπ (k∈Z, k≠0)都是它的周期,最小 正周期是2π.
思考3:观察正弦曲线,正弦函数在哪些
区间上是增函数?在哪些区间上是减函
数?如何将这些单调区间进行整合?
y 1
y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π
O
π
3π 5π x
2π 4π 6π
-1
正弦函数在每一个闭区间 [ 2k 2k
2
上都是增函数;在每一个闭区间
[ 2k 2k 上都是减函数.
在函数领域里,周期性是函数的一个重
要性质.
知识探究(一):周期函数的概念 思考1:由正弦函数的图象可知, 正弦曲 线每相隔2π个单位重复出现, 这一规 律的理论依据是什么?
. sin(x 2k ) sin x (k Z )
思考2:设f(x)=sinx,则sin(x 2k ) sin x 可以怎样表示?其数学意义如何?
例2 已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x+2)+f(x)=0,试判断f(x)是否为周 期函数?
例3 已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x+1)=f(x-1),且当x∈[0,2]时, f(x)=x-4,求f(10)的值.
小结作业
1.函数的周期性是函数的一个基本性质, 判断一个函数是否为周期函数,一般以 定义为依据,即存在非零常数T,使f(x +T)=f(x)恒成立.
知识探究(二):周期概念的拓展
思考1:函数f(x)=sinx(x≥0)是否为 周 期 函 数 ? 函 数 f(x)=sinx ( x≤0 ) 是 否为周期函数?
思考2:函数f(x)=sinx(x>0)是否为 周期函数?函数f(x)=sinx(x≠3kπ) 是否为周期函数?
思考3:函数f(x)=sinx,x∈[0,10π] 是否为周期函数?周期函数的定义域有 什么特点?
4.一个函数总具有许多基本性质,要直 观、全面了解正、余弦函数的基本特性, 我们应从哪个方面人手?
知识探究(一):正弦函数的图象 思考1:作函数图象最原始的方法是什么?
思考2:用描点法作正弦函数y=sinx在[0, 2π]内的图象,可取哪些点?
思考3:如何在直角坐标系中比较精确地 描出这些点,并画出y=sinx在[0,2π] 内的图象?
(1)y=1+sinx,x∈[0,2π]; (2)y=-cosx,x∈[0,2π] .
x0 sinx 0 1+sinx 1
3
2
22
1 0 -1 0
21 0 1
y
2
y=1+sinx
1
3
π
2
2π
O
x
-1
2
x
02
3 22
cosx 1 0 -1 0 1
-cosx -1 0 1 0 -1
y
y=-cosx
1
( k k
2
思考2:根据相关诱导公式,你能判断正 切函数是周期函数吗?其最小正周期为 多少?
正切函数是周期函数,周期是π.
思考3:函数 y tan(2x 的)周期为多少?
思考4:函数y=3sin(2x+4)的最小正 周期是多少?
思考5:一般地,函数y A sin( x )
(A 0, 0) 的最小正周期是多少?
思考6:如果函数y=f(x)的周期是T,那 么函数y=f(ωx+φ)的周期是多少?
理论迁移
例1 求下列函数的周期: (1)y=3cosx; x∈R (2)y=sin2x,x∈R; ( (34) )yy=|s2isninx(|x2 x∈6)R., x∈R ;
1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1正弦函数、余弦函数的图象
问题提出
t
p
1 2
5730
1.在单位圆中,角α的正弦线、余弦线
分别是什么?
y
sinα=MP
P(x,y)
cosα=OM
OM x
2.任意给定一个实数x,对应的正弦值 (sinx)、余弦值(cosx)是否存在?惟一?
3.设实数x对应的角的正弦值为y,则对 应关系y=sinx就是一个函数,称为正弦 函数;同样y= cosx也是一个函数,称为 余弦函数,这两个函数的定义域是什么?
对称性,你有什么发现?
y 1
y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π
O
π
3π 5π x
2π
4π
6π
-1
y y=cosx
2
2
1 22