• 本部分的难点是任意态 (x,t) 与力学量算符本征态 n 及力
学量概率态Cn 的区别。
• 1 厄米算符
• 1.1 算符：算符 F 只是代表对函数施加某种运算的符号，
是一种数学语言工具。例如
d dx
、、
等。量子力学中的力学
量量在p与与波函i数的相作当用，中自，由往粒往子表体现系为的一能种量运E算与形 2式2 ，2例相如当动。
量子力学中的力学量
经典力学中物质运动的状态总是用坐标、动量、角动 量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描
述。量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数 这样一
个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状
态。但 并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了
一个重要的基本概念—算符，用它表示量子力学中的力学 量。算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相承、贯穿 始终。
一定，但 m 可取 (2l 1) 个值，所以本征态有
F
F
(r ,
p)
F
(r,i)
（9）
• 3 力学量算符的本征态和本征值
微观体系所处的状态，只可能分为两大类：一是体系状
态恰好处于力学量算符的本征态；二是处于任意态。
假定体系处于力学量算符
F
的本征态
，本征方程为
F
（10）
说明力学量算符对应着确定的实数本征值 ，这时的
力学量没有别的选择，只能是
本讲内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大家学 习的重点。重点掌握以下内容：
• 一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；
• 两个假设：力学量用线性厄米算符表示，状态用线性厄米
算符的本征态表示；
•
r •
三四个个力本学征量态计及L2算本及值征L：值z 、确：能定坐量值标（、x或哈可密能、顿值动量、量平Hp均）x 或值。；p 、角动量
于是，用算符表示力学量的假设被人们初步认识。
1.2 算符和它的本征态：一般来说，算符作用在一个函数
上，总会得到另一个构造不同的函数
F
（1）
但在特殊情况下，得到 (本征方程)
F
（2）
• 1.3 厄米算符：
（1）算符
F
中所有复量换成共轭复量，称为共轭算符F
*
例如
p i ，则
p* i
，一般~来说，p
(2l 1)(l
4 (l
m)! m)!
Pl
m
(cos
)e
im
l 0,1,2,
m l
m 0,1,2,
注意以下三点：
m （1） 取负值时 Ylm ( ,) (1)mYl*m ( ,) 所以只需注 意 m 为正值时的 Ylm即可；
（2）当 l 一定时，角动量平方算符的本征值 L2 l(l 1)2
的实数值。这提示我们，力学量的值只可能与厄米算符的本
征值相联系。于是提出假设：量子力学中每一个力学量 F 可
以用一个线性厄米算符 F 来表示，简称为力学量算符 F ，所
谓“线性”，无非是要求F 满足运算
F (c1 1 c2 2 ) c1 F 1 c2 F 2
（8）
以
r
r,
p
i
为基础，原则上可以得出所有力学量算符
H
2
d2
2 dx2
的本征态（能量本征态） n (x)
2 sin n x
aa
势阱宽 (0 ~ a) ，本征值
E
En
2 2 2a 2
n2,n
1,2,3
力学量算符的本征值被称为力学量谱或本征值谱
• 大致可分为三类： （1）连续谱—本征值可取任何实数值。如自由粒子的
坐标和动量的本征值谱；
（2）带谱—本征值被限定在某些区域， x1 F1 x2 , x3 F x4 , 例如固体中的能带；
四个特例
• 3.1 球坐标中的角动量
首先看角动量的
z
分量
Lz
i
的本征函数
设其本征函数为 () 对应的本征值为 Lz
本征方程为 将其变为
i
Lz
ln i Lz im
(Lz m)
可解出
m () Ceim
• 由波函数单值性要求 eim(2 ) eim 故 m 必须是整数
m 0,1,2, 可见本征值Lz m是量子化的分立谱。
（3）分立谱—本征值只能取一系列孤立实数，如粒子在 束缚态下的能谱。
重点讨论连续谱和分立谱。通常连续谱记为 或 ，分
立谱记为 n (n 1,2, )。对应的本征函数分别记为 ,
及 n 。
二是力学量算符的本征态及本征值可能不是一一对应，而
s 出现若干个（如 个）本征态对应一个本征值，称这种情
s 况为 度简并。
p*
（2）算符 F 的转置算符定义为 F ，即
~
* F dx F *dx
（3）
*,
~
一般为任意函数，F F，例如算符x 的转置算符为
~
（4）
x x
这是因为
＋
*
~ dx
＋
*dx
－ x
－ x
*
|－＋
＋
*
－
dx
x
＋
*
(
)dx
－
x
~
（3）转置共轭算符（又称厄米共轭）定义为 F * F ，即
* F dx F * *dx (F )*dx
（5）
一般来讲
F F
但动量算符却例外
p
x
i x
px
p
x
i
x
的算符称为厄米算符，又
称自厄算符。因此，只要称其为厄米算符，虽然没有任何标
记，但它都包含转置共轭的性质，如 F 为厄米算符，则有
* F dx F * *dx (F )*dx
利用归一化条件 2 *d C 2 2 1 0
得归一化的波函数为
m ()
角动量平方算符
1 eim
2
(m 0,1,2, )
L2
2
1
sin
sin
1
sin 2
2
2
• 本征方程
L2 Y ( ,) l(l 1)2Y ( ,)
对应的本征值
L2 l(l 1)2
本征态
Ylm ( ,)
F
（11）
即当体系处于力学量算符 F 的本征态时，力学量 F 具有
确定值。这种确定的关系可以表示为
力学量F F (F 的本征态） F
确定值
• 量子力学重要的基本任务之一，就是确定力学量算符F 的
本征态及本征值。但有两点必须随时注意：一是力学量算符
的本征态可能不止一个，例如一维无限深势阱中哈密顿算符
（7）
• 此式为厄米算符的定义式，它的本征值具有特殊的结果： 厄米算符的本征值都是实数
• 2 力学量用厄米算符表示
当我们试图用算符表示力学量时，首先注意到：力学量
的测量值都是实数值，而算符只表示对态函数的某种作用，
并不代表数值，只有算符本征态的本征值才是一个确定的数
值。进一步说，只有厄米算符本征态的本征值才是一个确定