2 * Fˆ (Fˆ )d i * Fˆ (Gˆ )d i * Gˆ (Fˆ )d * Gˆ (Gˆ )d
2 *(Fˆ )2d i *[FˆGˆ GˆFˆ ]d *(Gˆ )2d
I( ) 2 *(Fˆ )2d i *[FˆGˆ GˆFˆ ]d *(Gˆ )2d
iLx 2 m Yl*m Lˆ y Lˆ xYlmd iLˆ y 2 ( Lˆ zYlm )* Lˆ y Lˆ xYlmd iLx 2 m Yl*m Lˆ y Lˆ xYlmd iLˆ y 2 m Yl*m Lˆ y Lˆ xYlmd
iLx 2 iLˆ y 2 Lx 2 Lˆ y 2
不确定度： 测量值 Fn 与平均值 < F > 的偏差的大小。
（1）测不准关系的严格推导
I . 证明：若Fˆ为厄密算符，则偏差Fˆ Fˆ F仍为厄密算符。 证：
（Fˆ） （Fˆ F ) Fˆ F * Fˆ F Fˆ
II 测不准关系的严格推导
设二厄密算符对易关系为：
FˆGˆ GˆFˆ ikˆ
为求二量不确定度 Fˆ、Gˆ
引入实参量 的辅助积分：
是算符或 普通数
I ( ) | Fˆ iGˆ |2 d 0 [Fˆ iGˆ ]*[Fˆ iGˆ ]d [ (Fˆ )* i(Gˆ )*][Fˆ iGˆ ]d 2 (Fˆ )* (Fˆ )d i (Fˆ )* (Gˆ )d i (Gˆ )* (Fˆ )d (Gˆ )* (Gˆ )d
将上式两边 在 Ylm 态下 求平均：
iLˆ x 2 Lˆ y Lˆ z Lˆ x Lˆ z Lˆ y Lˆ x Lˆ（y Lˆ x Lˆ z iLˆ y ) Lˆ z Lˆ y Lˆ x Lˆ y Lˆ x Lˆ z iLˆ y 2 Lˆ z Lˆ y Lˆ x
i Yl*m Lˆ x 2Ylmd Yl*m Lˆ y Lˆ x Lˆ zYlmd i Yl*m Lˆ y 2Ylmd Yl*m Lˆ z Lˆ y Lˆ xYlmd
§8 测不准关系
（一）测不准关系的严格推导 （二）坐标和动量的测不准关系 （三） 角动量的测不准关系
（一）测不准关系的严格推导
由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值；若不对 易，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。 问题：
两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什 么程度？即不确定度是多少？
（二）坐标和动量的测不准关系
（1）测不准关系
[Fˆ，Gˆ ] ikˆ
(Fˆ )2 • (Gˆ )2 (k )2 4
[ x，pˆ x ] i
（x)2
•（px
)2
2 4
或写成： 简记之：
（x)2
•（px )2
2
x • px 2
即,坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小，另一就越大。
（2）线性谐振子的零点能
要条件是这组算符两两对易。
例 1： 例 2：
动量算符：pˆ x , pˆ y , pˆ z
两两对易；
共同完备本征函数系：
p(r )
1
(2)3/ 2
i p•r
e
同时有确定值：px , py , pz .
氢 共
原 同
子 完
中 备
：Hˆ , 本征
函 Lˆ2 ,数Lˆz系：两nlm两(r对) 易Rn；l (r
2020高中物理竞赛
量子力学 第四章
共同本征函数
§7 共同本征函数
（一）两力学量同时有确定值的条件 （二）两算符对易的物理含义 （三）力学量完全集合
（一）两力学量同时有确定值的条件
• 体系处于任意状态 （x）时，力学量 F 一般没有确定值。 如果力学量 F 有确定值， （x）必为 F 的本征态，即
Fˆ (Gˆn ) Fn (Gˆn )
即 (Gˆn ) 也是 Fˆ 的一个本征函数，
与一常n数只G差n
与
一
n
样
，
本
征
值
亦
为
Fn
Gˆ nn Gnn
n 也是 G 的本征函数，同理 F 的所有本征函数 n （ n = 1，2，… )也 都是 G 的本征函数,因此二算符具有共同完备的本征函数系.
定理：一组力学量算符具有共同本征函数系的充
（Ly )2
•（Lz )2
2 4
2
Lx
由于在 Lz 本征态 Ylm 中，测量力学量 Lz 有 确定值，所以Lz 均方偏差必为零，即
（Lz )2 0
则测不准关系：
（Ly )2
•0
2 4
2
Lx
0
2 4
2
Lx
平均值的平方 为非负数
欲保证不等式成立，必有：
Lx 0
例2：L2，LZ 共同本征态 Ylm 下，
n
n
因为 (x) 是任意函数
cn (GnFn FnGn )n 0 n
所以
FˆGˆ GˆFˆ 0
逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符有 共同的本征函数系。
证： 仅考虑非简并情况
设 FˆGˆ GˆFˆ 0
n 为 Fˆ 的任一本征函数, 本征值为Fn .
即：
Fˆn Fnn
考察： FˆGˆ n GˆFˆn FnGˆn
共同完备本征函数系：Ylm ( , )
l 0,1,2, m 0,1, l
同
时
有
确
定
值
：E
l
l(l
1)2 2I
, l(l
1)2 , m.
（三）力学量完全集合
（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算 符的最小（数目）集合称为力学量完全集。
例 1： 例 2： 例 3：
三维空间中自由粒子，完全确定其
（三）角动量的测不准关系
[Lˆ x，Lˆ y ] iLˆz
（Lx )2
•（Ly )2
2 4
2
Lz
当 体 系 处 于Lˆ z 本 征 态 时 ，
（Lx
)2
•（Ly )2
2 4
(m)2
1 4
m 24
例1：利用测不准关系证明，在 Lz 本征态 Ylm 下，
〈Lx〉= 〈Ly〉= 0
证：
[Lˆ y，Lˆz ] iLˆ x
振子能量
E H p2 1 2 x2 2 2
(x)2 x2 x 2 (p)2 p2 p2
x2 (x)2 x 2 p2 (p)2 p2
x
n * x ndx N n2
xe 2 x2 Hn2 (x)dx
0
p
n *
pˆ ndx
i
n
*
x
dx
被积函数是x 的 奇函数
对任意实数 均成立
由代数二次式理论可知，该不等式成 立的条件是系数必须满足下列关系：
(Fˆ )2 • (Gˆ )2 (k )2
两个不对易 算符均方偏
4
差关系式
其中：
k * kˆd
测不准关系
均方偏差
(Fˆ )2
(Fˆ
F )2
Fˆ 2 2FˆF
2
F
F 2 2FˆF F 2 F 2 2FF F 2 F2 F2
状态需要三个两两对易的力学量： pˆ x , pˆ y , pˆ z .
氢原子，完全确定其状态也需 要三个两两对易的力学量：
Hˆ , Lˆ2 , Lˆz .
一维谐振子，只需要一个力
学量就可完全确定其状态： Hˆ
（2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。
（3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的 一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。
求测不准关系：
（Lx )2 •（Ly )2 ？
同理：
Ly 0
解：
（Lx )2 Lx 2 Lx 2
（Ly )2
Ly 2
2
Ly
求： Lx2 、 Ly2
由例1 可知：
Lx 0 Ly 0
求：
Lx2 、 Ly2 Lx2 Ylm* Lˆx2Ylmd
等式两边右乘 Lx 由对易关系：
iLx [Ly ,Lx ]
)Ylm
(
,
)
同时有确定值：En , l(l 1)2 , m.
例 3：
定轴转子：Hˆ
Lˆ z 2 2I
, Lˆ z
相互对易；
共同完备本征函数系：m ( )
1 e im
2
同
时
有
确
定
值
：Em
m 22 2I
, m, (m
0,1,
).
例 4：
空间转子：Hˆ
Lˆ2 2I
,
Lˆ2 , Lˆ z
两两对易；
[FG GF] [F, G] [Fˆ F，Gˆ G ]
最后有：
[Fˆ F，Gˆ ] [Fˆ F，G ] [Fˆ，Gˆ ] [F，Gˆ ] [Fˆ，Gˆ ] ikˆ
I( ) 2 *(Fˆ )2d i *[ikˆ]d *(Gˆ )2d
I( ) 2 (Fˆ )2 k (Gˆ )2 0
证：
已知：GFˆˆnn
Fnn Gnn
n 1,2,3,
由于 n 组成完备系，所 以任意态函数 (x) 可以 按其展开：
( x) cnn ( x)
n
则 (FˆGˆ Gˆ Fˆ ) ( x) (FˆGˆ Gˆ Fˆ ) cnn
n
cn (FˆGˆ GˆFˆ )n cn(FˆGn GˆFn )n
例如：
[Lˆ x , Lˆz ] 0
= 0 的态，Y m = Y00 Lx Lz 同时有确定值。
Gˆ Fˆ FˆGˆ (Gˆ Fˆ FˆGˆ ) 0
？所以 (GˆFˆ FˆGˆ ) 0