2 2 2 2 2 2 2 2 A h k A h k A 4h k A 4h k A 0× + × + × + × − + × − 2 2µ 4 2µ 4 2µ 4 2µ 4 5h2k2 平均动能 = = 2 2 2 2 2 8µ (2× A/ 4) + ( A/ 4) + ( A/ 4) + (− A/ 4) + (− A/ 4)
1= ∫ψ ψdV = ∑∑c c ∫ψ ψ dV =∑∑c c δ =∑cn
* * n m * n m * n m nm n m n m n
2
第5(6)节 算符与力学量的关系 5(6
ˆ 量子力学基本假定：力学量 对应厄米算符 对应厄米算符, 量子力学基本假定：力学量F对应厄米算符 算符F的本征函数构成 描述时， 完全系。当系统由归一化 归一化波函数 完全系。当系统由归一化波函数 ψ = ∑ cnψ n 描述时，测量力学
角动量算符本征函数
* Y lm (θ , ϕ )Y l ' m ' (θ , ϕ )d Ω ≡ ∫ 2π
波函数 ψ
r p
r (r ) =
1 e ( 2πh )3 / 2
r r ip⋅ r h
波函数 Ylm (θ , ϕ ) = N lm Pl|m| (cosθ )e imϕ
* d ϕ ∫ sin θ d θ Y lm (θ , ϕ )Y l 'm ' (θ , ϕ ) = δ ll 'δ mm ' ∫ 0 0
的结果必定是对应算符的本征值， 量F的结果必定是对应算符的本征值，测量到本征值 f n 的几率 的结果必定是对应算符的本征值 是 cn 2。 ˆ 如果测量F的结果为 如果测量 的结果为 fn， 波函数塌缩为ψ = ∑cnψn →ψn (Fψ n = f nψ n ) 。
展开系数
n
cn 称为几率幅。 称为几率幅。
n
∫
平均值公式
2 ˆ ˆ F = ∑ f n cn = ∫ ψ * Fψ dV n
ˆ = f c 2 df = ψ * Fψ dV F ∫ f ∫ ˆ
ˆ ψ * F ψ dV ∫
未归一化波函数 平均值公式
ˆ F ≡
ˆ F
=
∑
n
fn cn cn
2 n
2
∑
=
ψ *ψ dV ∫
定理) 例题 (定理 任何状态下，厄密算符的平均值都是实数。 定理 任何状态下，厄密算符的平均值都是实数。 任何状态下，厄密算符平方的平均值一定大于等于零。 例题 任何状态下，厄密算符平方的平均值一定大于等于零。 氢原子处于基态，求电子动量的几率分布。 例题 氢原子处于基态，求电子动量的几率分布。 rr 1/ 2 −3/ 2 − ip⋅r / h r * r − r / a0 3 − r 氢原子基态 ψ 100 ( r ) = ( π a0 ) e , 动量的本征态 ψ p ( r ) = ( 2π h ) e r r r r r r r r r ψ 100 (r ) = ∫ c pψ p (r )dp ⇔ c p = ∫ ψ * (r )ψ 100 (r )dV p
∞ 2 2 ∞ 2 − 2λx 2
∫
∞
0
x2n e−ax d x =
2
(2n −1)!! π 2n+1 a2n+1
∫
∞
0x n e − axFra bibliotekdx =n! a n +1
2! 2 1 =A ⇒ 可取A = 2λ3 / 2 1) 1 = ∫ ψ dx = A ∫ x e dx = A (2λ)3 4λ3 0 −∞ 2 2 E + λ2 − 2λ / x, x > 0 h d h2 ψ ′′ ⇒V = 2) x > 0, − ψ + Vψ = Eψ ⇒ V = E + 2 2µ dx 2µ ψ ∞, x < 0
c =
r p
几率密度
( 2 h a0 0 (2ha0 )3 h 2 | c r |2 =
π
p
2 3/ 2
2π
∫ r dr ∫ e )
2 −1
∞
1
− r / a0 − iprξ / h
dξ =
2 π ( a0 p 2 + h 2 )
( 2 ha 0 )
3/ 2
h
2
,
ξ = cos θ
2 π 2 (a0 p 2 + h 2 )
一维无限深势阱
∞
波函数
a * m
−∞
∫ψ
* m
ψ n dx = ∫ ψ ψ n dx = δ mn
0
动量算符本征函数
2 nπ x sin ψ n ( x) = a a , 0 < x < a 0, 其它地方
r r r r r (r ) r (r ) = δ ( p'− p ) ∫ dVψ * p' ψ p
按(2) ：
2
2
2
2
2
A A A A A 0hk × + hk × + (−hk)× + 2hk × − + (−2hk)× − 2 4 4 4 4 =0 平均动量 = (2× A/ 4)2 + ( A/ 4)2 + ( A/ 4)2 + (− A/ 4)2 + (− A/ 4)2
第5(6)节 算符与力学量的关系 5(6
求此时粒子的平均动量和平均动能
2 题设 时 例题 (p101 3.6题)设t=0时，粒子处于状态 ψ ( x) = A sin kx + coskx,

1 2

sin2 kx = (1 − cos2kx) / 2, cosθ = e iθ + e − iθ / 2
k
f1 ≠ f 2 ⇒ ∫ ψ *φdV = 0
定理2：若厄米算符某个本征值存在 个不同 线性无关)本征函数 个不同(线性无关 本征函数， 定理 ：若厄米算符某个本征值存在k个不同 线性无关 本征函数，则必可从 它们的线性组合中选择k个彼此正交的 本征）函数。 个彼此正交的（ 它们的线性组合中选择 个彼此正交的（本征）函数。
π
∞
一维线性谐振子 氢原子
−∞
∫ψ
* m
ψ n dx = δ mn
波函数 ψ n ( x ) = N n H n (ξ )e
r
−ξ 2 / 2
∫ψ
* n 'l 'm '
ψ nml dV = δ nn'δ ll 'δ mm '
波函数 ψ nlm (r ) = Rnl (r )Ylm (θ , ϕ )
第5(6)节 算符与力学量的关系 5(6
{
ˆ ψ n | Fψ n = fnψ n ,
n
* ψ nψ mdV = δ nm ∫
}
满足∀ψ , ψ = ∑ cnψ n , 则称该函数集构成完全系或完备集， 则称该函数集构成完全系 完备集， 完全系或
* 称为几率幅 几率幅。 展开系数 cn = ∫ ψ nψ dV 称为几率幅。
注意展开系数满足
3
4
3
r 几率分布 | c p | d p = 2
( 2 h a0 )
h2
2
π
2
电子动量在 p → p + dp 范围的几率 5 32 h p 2 dp ω ( p )dp = 4 π a0 h 2 π 2 + p2 a0
(a
2 0
p +h
2
)
4
p 2 sin θ dpdθ dϕ
∞ ∞ *
x
c p x dp x = 0 实际上，平均动量一看就知道为零。 实际上，平均动量一看就知道为零。 ˆ = ∫ ψ ( x ) p xψ ( x )dx = − ih ∫ ψ * ( x )ψ ′( x )dx = 0
−∞ −∞
积分是实数！ 积分是实数！
第5(6)节 算符与力学量的关系 5(6
ˆ F φ j = f φ j , j = 1, 2,L , k ,
k
∑c φ
j =1 j
j
= 0 ⇒ all c j = 0
k ˆ φ = f φ , ψ = c φ ⇒ Fψ = f ψ ⇒ V = c φ , FV ⊆ V ˆ ˆ F j ∑ ij j ∑ j j j i i i j =1 j =1
ˆ ˆ F φ = f 2φ ⇒ ∫ ψ * F φ dV = f 2 ∫ ψ *φ dV 定理：厄米算符的本征值是实数 定理： ˆ ˆ ˆ F是厄米算符 ⇒ ∫ ψ * Fφ dV = ∫ ( Fψ )* φdV = f1* ∫ ψ *φ dV = f1 ∫ ψ *φ dV
⇒ ( f 2 − f1 )∫ ψ *φ dV = 0,
2 2
− ih
d imkx e = mhkeimkx dx
∑f
n n
n
cn
2 n
2
∑c
2 2 2 2 h2k 2 2 2 2 h k 2 h k ( A / 2) × 0 ⋅ + ( A / 2) × 1 ⋅ + (− A / 2) × 2 ⋅ 5h2k 2 2µ 2µ 2µ 按(1) ：平均动能 = = 2 2 2 6µ ( A / 2) + ( A / 2) + (− A / 2)
2
2
2
2
2
第5(6)节 算符与力学量的关系 5(6
1) 归一化常数 归一化常数A=?