2010级20110607
微积分II总复习
一、求积分的基本方法 二、多元函数微分法 三、二重积分的计算 四、级数的敛散性与求和 五、求解微分方程
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第六章
不定积分的计算方法
一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分
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一、 求不定积分的基本方法

6C
8 1 e 2 x (4 x 3 6 x 2 2 x 型的积分:
Pn
(x)sienkax x

dx
cosax
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例7. 设 Insencxdx,证明递推公式:
I n n 1 1 sn e 2 x t ca x n n n 1 2 I n 2( n 2 )
I n n 1 1 sn e 2 x tc a x n n n 1 2 I n 2( n 2 )
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例8. 求 x1dx.
解:
设
x1, F(x)x1
1x,
x1 x1
则 F(x) 1 2x2xC 1, x1 x1 2x2C 2, x1
dx
.
解: 原式
2x3x 32x 22x
dx
1 ((3232))x2dxadxx axlnadx

1
ln
2 3
d(32)x 1 (32)2 x
arctan32)(x C ln2ln3
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例2. 求
lnx( 1x2)5 dx.
1x2
解:
x 2sin x cos x
原式
2 2cos2 x
2 dx
2
xdtan2x tan2xdx
xtanx C 2
分部积分抵消
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例4. 设 y(xy)2x,求积分
1 dx . x 3y
解: y(xy)2x
令 xyt,即 yxt
arctanex ex
dx
.
解: 原式 arctexaden x
exarcetxa nex
1
ex e2x
dx
exarcetxan(11e2xe)2xe2xdx
exarcetxan x1 2ln(1e2x)C
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证: In sen c2xsec2 xdx
senc2xtanx
(n 2 )se n 3 x c se xtc axn tanxdx senc2xtaxn ( n 2 )sn e 2 x c (s 2 x e 1 )d x c
sen c2xtaxn(n2)In(n2)In2
使用原则:
1) 由 v 易求出 v ;
2) uvdx 比 uvdx 好求 .
一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺
序,
排前者取为 u , 排后者取为 v .
计算格式: 列表计算
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多次分部积分的 规 律
uv(n1)dxuv(n)uv(n)dx
x

t
t3 2
, 1
y

t
2
t, 1
而 dx t(2t(2t21)32)dt
原式 t t2
3

1
1
t
3t 2
t(2t(2t 1
2 3) 1)2
dt

t
2
t dt 1
12lnt21C1 2ln(xy)21C
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例5. 求
1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则
求不定积分的方法 . 2. 换元积分法
第一类换元法
f (x)dx
f[(t) ](t)dt
第二类换元法 (代换: x(t))
(注意常见的换元积分类型)
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3. 分部积分法
uvdxuvuvdx
解:
原式 [ln x (1x2)5]1 2d[lnx (1x2)5]
2 lnx ( 1x2)523 C
3
分析:
(1 2x )dx
d[lnx (1x2)5]
2 1x2
x 1 x2
dx 1 x2
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例3. 求 1xcsoinsxxdx.
uv(n)uv(n1) uv(n1)dx u v (n ) u v (n 1 ) u v (n 2 ) uv(n2)dx

u v (n ) u v (n 1 ) u v (n 2 ) (1)n 1u(n 1)vdx
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例9. 设 F(x)为 f (x) 的原函数, 且 F(0)1,当x0时
例6. 求 (x3x2)e2xdx.
解: 取 ux3x2, v(4) e2x
u (k ) x3x2 3x2 1 6x
60


v(4k)
e 2x
1 2
e
2
x
1 4
e
2x
1 8
e
2
x
1 16
e
2x
原 式 e2x12(x3x2)
14(3x21)

1 8
6x116
快速计算表格:
u(k)
u u u
u (n) u(n1)

(1)n (1)n1
v(n1k) v(n1) v (n) v(n1) v
v
特别: 当 u 为 n 次多项式时, u(n1) 0,计算大为简便 .
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例1. 求
2x3x 9x 4x
因 F(x)连续 , 利用 F (1 )F (1 )F (1 ),得
1 2C 11 2C2 记作 C
得
x1dx1 2F1(xC )1 1 121 2 1 (2 1 2 1 2xx (x x 2 2 1C )12 x 2x )2 C 1 2 1 2 C , C ,C ,, x x 1 1