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题型
1.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求面积
2.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求体积
内容
一．微元法及其应用
二．平面图形的面积
1.直角坐标系下图形的面积
2.边界曲线为参数方程的图形面积
3. 极坐标系下平面图形的面积
三．立体的体积
1.已知平行截面的立体体积
2.旋转体的体积
四．平面曲线的弦长
五．旋转体的侧面积
六．定积分的应用
1.定积分在经济上的应用
2.定积分在物理上的应用
题型
题型I微元法的应用
题型II求平面图形的面积
题型III 求立体的体积
题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用
自测题六
解答题
4月25日定积分的应用练习题
一．填空题
1. 求由抛物线线x x y 22+=，直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________
2.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________
3. 由曲线y x y y x 2,422==+及直线4=y 所围成图形的面积为
4.曲线3
3
1x x y -
=相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32=r 相应于2
2
π
θπ
≤
≤-
上的一段弧所围成的图形面积为 ．
6.椭圆)0,0(1sin 1cos b a t b y t a x ⎩⎨⎧+=+=所围成的图形的面积为
二．选择题
1. 由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．
31 B ． 32 C ． 21 D ． 2
3 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ ）
A ．
223a π B ． 243a π C ． 2
8
3a π D ． 23a π 3. 曲线2
x
x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 （ ）
A ． 2
a
a e e -+ B ． 2a a e e -- C ．
12++-a a e e D ．12-+-a a e e 4. 由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。
A.dy y ⎰2
1ln B.dy e e x
⎰2
0 C.dy y ⎰2ln 1ln D.()d x e x ⎰-2
1
2
三．解答题
1. 求曲线2
2,2,4
x y x xy y ===所围成的平面图像的面积.
2. 求C 的值（0＜C ＜1＝，使两曲线2x y =与3Cx y =所围成图形的面积为3
2 3. 已知曲线)0(2>=k ky x 与直线x y -=所围图形的面积为
48
9
，试求k 的值． 4. 求a 的值，使曲线)1(2x a y -=)0(>a 与在点（-1，0）和（1，0）处的法线所围成的平面图形的面积最小．
5.在第一象限内求曲线12+-=x y 上的一点，使该点处的切线及两坐标轴所围成图形的面积最小，并求此最小面积
6. 求椭圆1322
=+y x 与13
22
=+y x 所围公共图形的面积 7.求由下列各平面图形的面积：
（1）ϑcos 2a r = （2）θsin 2=r 与1=r 的公共部分 （3）)cos 1(3θ+=r （4）θsin 2=r 与θ2cos 2=r 的公共部分 8. 求由下列曲线所围区域的面积:(②,③,④图应补全)
①内摆线
(sin ,cos 33>
==a t a y t a x ; ②
4
31,t y t t x -=-=;
③⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈==2,0,sin ,cos 44πt t y t x ; ④3222,2t t y t t x -=-=.
4月26日定积分的应用练习题
基础题：
1. 由曲线x y sin =和它在2
π
=
x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积是__________,以及
它绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为__________
2. 星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长为________
图7.1-4
1
图7.1-4②
图7.1-4③
0 1
1
图7.1-4④
3. 由抛物线2x y =及x y =2所围成图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积为__________
4. 半立方抛物线()32132
-=
x y 被抛物线3
2x y =截得的一段弧的长度为__________ 5. 轴与求抛物线x x x y 22-=所围成的图形绕y 轴旋转所成的旋转体体积为___________ 6.
由
3,2,0y x x y ===所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两个旋转体的体积分别为______________
7.由曲线4,==x y x 和x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积为（ ）
A ． π16
B ． π32
C ． π8
D ． π4
8. 曲线2
x
x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 （ ）
A ． 2
a
a e e -+ B ． 2a a e e -- C ．
12++-a a e e D ．12-+-a a e e 9． 水下由一个矩形闸门，铅直地浸没在水中．它的宽为2m ，高为3m ，水面超过门顶2m ，则闸门上所受水的压力为（ ）
A ． 245kN
B ． 245N
C ． 205．8N
D ． 205．8kN 10．.（1）由曲线x y x y =
=,2所围成的图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积为 ．
（2）由双曲线x
y 1
=和直线1,-=-=x e x 与x 轴围成的平面图形绕y 轴旋转生成的旋转体的体积为 ．
（3）曲线3
3
1x x y -
=相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 ． (4) 曲线16)5(22=-+y x 绕x 轴旋转所得旋转体的体积为 ． 11. 如右图，阴影部分面积为（ ）
A ．[()()]b
a f x g x -⎰d x
B ．[()()][()()]c
b
a c g x f x dx f x g x -+-⎰⎰d x
C ．[()()][()()]b
b
a c f x g x dx g x f x -+-⎰⎰d x
D ．[()()]b a g x f x +⎰d x
12.如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移
动， 记直线OP 、曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积 分别记为S 1，S 2，若S 1＝S 2，则点P 的坐标
为________．
13. 求曲线x y =()40≤≤x 上的一条切线，使此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =所围成的平面图形的面积最小
14. 曲线222x y -=和21x y -=围成一平面图形．求 (1)该平面图形的面积．
(2)将该平面分别绕x 轴和y 轴旋转而成的旋转体的体积．
15. 求曲线)20()cos (sin )
sin (cos π≤≤⎩
⎨⎧-=+=t t t t a y t t t a x 的弧长
16. 一截面为等要梯形的贮水池，上底宽6m,下底宽4m ，深2m ，长8m ．要把满池水全部抽到距水池上方20m 的水塔中，问需要做多少功？
17. 有一立体以抛物线x y 22=与直线2=x 所围成的图形为底，而垂直于抛物线轴的截面都是等边三角形，求其体积。
18．设1D 是由抛物线2
2x y =和直线0y ,a x ==所围成的平面区域，2D 是由抛物线2
2x y =和直线
2,==x a x 及0=y 所围成的平面区域，其中20<<a .试求：
（1）1D 绕y 轴旋转所成的旋转体的体积1V ，以及2D 绕x 轴旋转所成的旋转体的体积2V . （2）求常数a 的值，使得1D 的面积与2D 的面积相等.
19．设平面图形由曲线2x y =，2
2x y =与直线1=x 所围成.
（1）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.
（2）求常数a ，使直线a x =将该平面图形分成面积相等的两部分.
20．设由抛物线2(0)y x x =≥，直线2(01)y a a =<<与y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为1()V a ，由抛物线2(0)y x x =≥，直线2(01)y a a =<<与直线1x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为2()V a ，另12()()()V a V a V a =+，试求常数a 的值，使()V a 取得最小值。