河北师范大学2012级数学专业15-16-1学期中学学科教学案例分析
年级：_ __ 2012级
学号：___**********____
*名：_ ___ **
日期： 2015年10月30日
“函数的单调性”教学案例分析
一．内容介绍
1.教材内容分析
本节课“函数的单调性”是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修1·A版》第一章第三节的内容，函数单调性的实质是对函数运动趋势的研究，它既是函数的基本特征之一，又为后面基本初等函数的研究提供了一般方法，为研究不等关系提供了重要依据。
研究函数的单调性是从观察具体图像入手，定量分析数值关系，最终抽象出形式化定义的基本研究方法入手，体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维方式，这对培养学生以图识数、发展学生的思维能力，掌握学生的思想方法具有重大意义。
2.学生情况分析
本节内容学生在初中已有了较为粗略的认识，即主要根据观察图像得出结论。
本节课中函数增减性的定义，是运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，学生接受起来可能比较困难。
在引入定义时，要始终结合具体函数的图像来进行，以增强直观性，采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，方便学生理解，对于
定义，要注意对区间上所取两点x
1，x
2
的“任意性”的理解，多给学生操作和思考的
时间和空间。
二 .教学目标
1 .知识与技能
理解函数单调性的含义，了解增函数、减函数以及单调区间等概念的形成过程。
2 .过程与方法
掌握用定义证明和验证函数单调性的方法和步骤，经历从直观到抽象、从图形语言到数学语言的过程。
3 .情感态度与价值观
通过自主探究活动，体验数学概念形成的过程，体会从特殊到一般的过程。
三 . 教学重、难点
1 .教学重点
形成增函数和减函数的形式化定义。
2 .教学难点
在形成增（减）函数概念的过程中，从图像升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述；用定义证明函数的单
调性。
四 .教学基本流程
1 .创设情境，引入概念
右图是某地PM2.5浓度变化图，观
察函数图像，你能发现什么特点吗？
【师生互动】教师引导学生观察图
像的升降变化，说出自己的看法。
【设计意图】通过学生的直观认识
引入新课，让学生对函数单调性产生感
性认识，为引出单调性的定义打好基础，有利于定义的自然生成，也揭示了单调性最
本质的东西，同时提高学生的环境保护意识。
2 .合作探究，形成概念
观察两组图像，引导学生尝试归纳增函数和减函数的定义。
问题1：两组函数有什么特征？
第一组：
第二组：
问题2：你能用准确的数学符号语言表述增函数的定义吗？
学生讨论，最后由教师给出定义：
一般地，设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。
再由学生类比得到减函数的定义：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1>x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数在区间D上是单调递减函数。
注:
(1) x
1，x
2
三大特征：①属于同一区间；②任意性；③有大小：通常规定x
1
<x
2
；
(2)相对于定义域，函数的单调性可以是函数的局部性质。
举例：x
1，x
2
在(0，＋∞)上是单调增函数，但在整个定义域上不是增（减）函数。
我的启示: 我以问题串的形式进行启发、引导学生自己归纳总结，找出两个函数代数上的共同点，得到减函数的定义，主要是想培养学生对图像的观察能力，以及培养学生的归纳概括能力。
而概念的形式化定义的总结过程学生不太熟悉，所以我提出可以相互讨论，希望可以通过合作学习的方式对基础相对较差的学生给予指导，培养学生一种互帮互助的精神。
这里我根据知识的发生，发展过程以及对学生的能力的适
当的评估，引导学生自己动手，动脑得出减函数的定义和图像特征，这个过程我并没有刻意去追求“还课堂给学生”，但整个过程自然，流畅，营造了人人参与的气氛，让学生得到了充分的锻炼，激发了学生的灵气。
3.定义应用，概念深化
例1右图是定义在[－5，5]上的函数y=f(x)
的图象，根据图象说出函数y=f(x)的单调区
间，以及在每一单调区间上， y=f(x)是增函
数还是减函数。
解：y=f(x)的单调区间有[－5，－2），[ 2，1），[1，3），[3，5]。
其中y=f(x)在[－5，－2），[1，3）上是减函数；在[－2，1），[3，5）上是增函数。
强调单调区间的写法：
问题1：减区间可否写成[-5，-2）U[1，3）？
问题2：写成[－5，－2）还是写成[-5，-2]？构造反例说明，进行验证。
(1)单调区间一般不能求并集；
(2)当端点满足单调性定义时，可开可闭。
例2函数单调性的证明
证明：函数f(x)=x2+x在（0，＋∞）上是增函数
证明过程：设x
1，x
2
是（0，＋∞）上的任意两个值，且x
1
<x
2
，
则f(x
1)-f(x
2
)=(x
1
2+x
1
)-(x
2
2+x
2
)
=(x
12-x
2
2)+(x
1
-x
2
)
=(x
1-x
2
)(x
1
+x
2
)+(x
1
-x
2
)
=(x
1-x
2
)(x
1
+x
2
+1)
又0<x
1<x
2
，故x
1
-x
2
<0，x
1
+x
2
+1>0
则f(x
1)-f(x
2
)<0，即：f(x
1
)<f(x
2
)
因此，函数f(x)=x2+x在（0，＋∞）上是增函数。
总结定义法证明函数单调性的步骤：
（1）取值:设任意x
1，x
2
属于给定区间，且x
1
<x
2
；
（2）作差变形: f(x
1)-f(x
2
)变形的常用方法:因式分解、配方、有理化等；
（3）定号:确定f(x
1)-f(x
2
)的正负号；
（4）下结论：由定义得出函数的单调性。
4 .归纳总结，提高认识
教师提出问题，引导学生讨论、交流、总结，让学生充分发表意见。
（1）通过增（减）函数概念的形成过程，你学习到了什么？
（2）增（减）函数图像有什么特点？如何根据图像指出单调区间？（3）怎样用定义证明函数的单调性？
5 .布置作业
必做：课本P39 A组习题2、3
选作：证明函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)在（- ∞，−b
2a
]上是增函数。
五．教学反思
新课程改革提出把课堂还给学生，表面上好像解放了老师，其实不然。
要让一堂课的知识点完全由学生自己总结、归纳，目前是不大现实的，所以老师应该在整个课堂中起好启发、引导作用，而这个引导者的角色并不好当。
如果问题太简单，启发过了头，学生起不到思考的作用，此时老师就应该把问题的难度，跨度加大；如果问题太难，引导不到位，最后问题还是由老师自己解决，学生也起不到锻炼的效果，此时老师就应该对问题多设几个桥梁，从而减小问题的难度。
对这个度的把握，就需要老师站得更高，对知识点和学生的情况有很高的熟悉程度，备课设置问题和相关环节时多考虑学生可能出现的情况，上课随时调整。
《学记》上说“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达。
”说的是要引导学生，但决不牵着学生的鼻子；要严格要求学生，但决不使学生感到压抑；要在问题开头启发学生思考，决不把最终结果端给学生。
新课改要求教师在授课时把学生放在主体地位，让学生自主地参与和完成课堂中的活动，而教师只是学生中的一员，在整个授课过程中要起好起启发、引导的作用，才能让学生学会学习，体会学习的乐趣。