函数的三要素【知识点】 一、函数的定义域（1）研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求定义域是研究任何函数的前提，要树立定义域优先的原则． （2）函数的定义域常由其实际背景决定，若只给解析式时,定义域就是使此式子有意义的实数x 的集合（区间表示）． 常见定义域的求法：常见定义域求法：对于()x f y =而言： ①整式：实数集R ；②分式：使分母不等于0的实数的集合； [1(0)x x≠] ③0指数幂：底数不等于零； [0(0)x x ≠]④偶次根式：使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； [2(0)n x x ≥] ⑤对数：真数大于零； [log (0)a x x >]⑥由几个部分的式子构成：使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)； 实际问题：使实际问题有意义的实数的集合．二、函数的值域对于)(x f y =，x A ∈，与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数)(x f y =的值域．三、解析式（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解；（2）当已知表达式为()[]x g f 时，可考虑配凑法或换元法．若易将含x 的式子配成()x g ，用配凑法；若易换元后求出x ，用换元法；（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法； （4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求．课程类型： 1对1课程 ☐ Mini 课程 ☐ MVP 课程【课堂演练】 题型一 函数定义域 例1 求下列函数的定义域： （1）1()2f x x =- （2）0()32(2)f x x x =+-（3）1()12f x x x=+-练1 求下列函数的定义域： （1）83y x x =+- （2）22111x x y x --=-（3）()3||f x x =-练2 函数0()(12)13g x x x x =--的定义域为 ．例2 函数3()1log (63)f x x x =+-的定义域为（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．[1,2)-D ．[1,2]-练3 函数()3lg(1)f x x x =-+的定义域为（ ）A ．[1,3)-B ．(1,3)-C ．(1,3]-D ．[1,3]-练4 函数1()ln(31)=+f x x 的定义域是（ ）A ．1(,)3-+∞ B ．1(,0)(0,)3-+∞UC ．1[,)3-+∞D ．[0,)+∞题型二 函数值域 ➢ 一次分式值域 例3 求432+-=x y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈1,32x 上的值域．练5 求123+=x y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,31x 上的值域．例4 画出函数532-+=x y 的图象，并说出y 的取值范围．练6 画出函数3225y x =++的图象，并说出在42<<x 时y 的取值范围．➢ 分离常数:当分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法 例5 求1+=x xy 的值域．例6 求121-+=x x y 在]4,2[上的最小值．练7 求213x y x +=-的值域．练8 求121+-+=x x y 在]4,2[的值域．练9 求函数312x y x +=-，(3,1]x ∈--的值域．➢ 打勾函数例7 若0>x ，则xx x f 4)(+=的取值域为 ．例8 若0x <，则xx x f 4)(+=的取值域为 ．练10 求函数xx x f 4)(+=的取值范围为 ．练11 求函数xx x f 4)(2+=的取值范围为 ．题型三 函数解析式 ➢ 代入法例9 已知2()31f x x =+，()21g x x =-，求[()]f g x 和[()]g f x ．练12 设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ）A ．21x +B ．21x -C ．23x -D ．27x +练13 已知函数()34+=x x f ，()2x x g =，求()[]()[]()[]()[]x g g x f g x g f x f f ,,,．例10 已知2211()-=+f x x xx，求函数)(x f 的解析式．练14 已知3311()f x x x x+=+，求()f x ．➢ 换元法例11 已知2(1)3f x x+=，求)(x f 的解析式．例12 若x x x f 21(+=+），求)(x f 的解析式．练15 已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．练16 已知2)31f x x =+，求)(x f ．练17 已知21()1xf x x-=+，求)(x f ．练18 已知函数x x x f 4)1(2-=-，求函数)12(),(+x f x f 的解析式．已知函数)(x f 与函数)1(xf 或函数)(x f -之间的方程式，求函数)(x f 的解析式． 例13 已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ．例14 已知13)()(2-=+-x x f x f ，求)(x f ．练19 已知()x f 满足()()+225f x f x x -=-，求()f x = ．练20 已知()x f 满足22113()+f x f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求()f x = ．练21 已知()x f 满足1()+432f x f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x = ．➢ 待定系数法知函数类型，求函数的解析式：待定系数法．例15 已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ．例16 已知)(x f 为二次函数，且x x x f x f 42)1()1(2-=-++，求)(x f 的解析式．练22 已知12))((-=x x f f ，求一次函数)(x f ．练23 已知二次函数)(x f 满足1)1(=f ，5)1(=-f ，图象过原点，求)(x f ．练24 已知)(x f 为二次函数，且103)1(2)1(2++-=--+x x x f x f ，求)(x f 的解析式．【课后练习1】1．函数2()log(1)4=++-f x x x ）A ．[2,2]-B ．(1,2]-C ．(1,2)-D ．[2,1]-2．若4()=+f x x x，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的最小值为4 B ．()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增 C ．()f x 的最大值为4D ．()f x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减3．当函数2(),(1)1=+>-f x x x x 取得最小值时，相应的自变量x 等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．已知2(1)6-=+f x x x ，则()f x 的表达式是（ ）A ．245+-xx B ．287++xx C ．223+-xx D ．2610+-xx5．（2016年高考江苏卷）函数232y x x =--的定义域是 ．6．已知函数()21-232xf x x x =--的定义域为______________．7．函数12-=x y 的定义域是()[)5,21,Y ∞-，则其值域是 ．8．已知()x f 满足2()3()54f x f x x +-=+，求()f x = ．9．已知()x f 是一次函数，且()[]14-=x x f f ，求()x f 的解析式．10．画出532++=x y 的图像，并说出y 的取值范围．【课后习题2】1．已知0x >，函数的最16y x x=+的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．82．函数2()131=--+f x x x 的定义域是（ ） A ．1[,1]3-B ．11(,)33-C ．1(,1)3-D ．1(,)3-∞-3．（2017深圳一模）函数22ln x x y x--+=的定义域为（ ）A ．(2,1)-B ．[2,1]-C ．(0,1)D ．(0,1]4．若4()1f x x x =+-，则下列结论正确的是（ ） A ．当1x >时，()f x 的最小值为4B ．()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增C ．当1x <时，()f x 的最大值为4D ．()f x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减5．已知()f x 是一次函数，且[()]2=+f f x x ，则()=f x （ ）A ．1+xB ．21-xC ．1-+xD ．1+x 或1--x6．如果1()1=-xf xx，则当0≠x 且1≠x 时，()=f x （ ） A ．1x （0≠x 且1≠x ） B ．11-x （0≠x 且1≠x ）C ．11-x （0≠x 且1≠x ）D ．11-x（x ≠0且x ≠1）7．求函数341x y x +=-，(1,4]x ∈的值域．8．已知()f x 满足3()()21f x f x x --=-，求()f x 的解析式．9．已知()f x 是一次函数，且3(1)2(2)5-=-f f ，2(0)(1)1--=f f ，求()f x 的解析式．10．已知函数21)1f x x +=+，求()f x 的解析式．【课后习题3】 1．函数21()92=--f x x x） A ．{2}≠xx B ．{3<-xx 或3}>x C ．{33}-≤≤x x D ．{33-≤≤xx 且2}≠2．已知0x <，函数9=+y x x的最大值是（ ） A ．－3B ．3C ．－6D ．63．函数()ln f x x=） A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞4．已知函数(1)32+=+f x x ，则()f x 的解析式是（ ）A ．31-xB ．31+xC ．32+xD ．34+x5．（2016年高考北京卷文）函数()(2)1xf x x x =≥-的最大值为 ．6．函数21()3log (6)f x x x =++-的定义域是 ．7．已知2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，求=)4(f ．8．已知()x f 满足213()()2f x f x x+=+，求)(x f ．9．已知()f x 是一次函数，且满足2(1)(1)25f x f x x +--=+，求()f x ．10．已知()()222f x f x x x +-=+，求()f x ．。