acn= 0
Y
YA
acτ= (1/2) l ε
XA C P
A
B
ω ε
X
acτ
(3)由刚体的定轴转动微分方程
J A mA ( F )
e
其中: J A 代入得:
l J A P 2 Y
YA A
1 P 2 l 3 g
3g 2 l
XA
C P
B
ω ε
X
acτ
⑷ 取坐标如图示，由质心运动定理:
⑵
P2
m2 a2 P2 T2'
⑶
由角量与线量的关系;
N r2 r1
a1 r1 a2 r2
解之
⑷ (5)
2 g (G1r1 G2 r2 ) (2G1 Q1 )r12 (2G2 Q2 )r22
1 Q1 2 Q2 2 ( r1 r2 ) T1 r1 T2 r2 ⑴ 2 g g
J m（F）
N r2 r1
W
T1 T’1 T2
P1 T’2
1 Q1 2 Q2 2 ( r1 r2 ) T1 r1 T2 r2 ⑴ 2 g g
⑷以重物为研究对象,受力分析;并由牛顿定律得:
m1a1 F1 m2 a2 F2
' m1a1 P T 1 1
' m1a1 P T 1 1
W
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
T1 T’1 T2
P1 T’2
⑵
P2
m2 a2 P2 T2'
⑶
1.5m
1.5m Q
习题14.6
O2 ⑴以轮子为研究对象,受力分析; ⑵轮子作定轴匀减速转动;末角速度为零 ⑶列转动微分方程: 解:
ω
O1
N R
F P
W
J O1 mo1 ( F )
例 图为匀质细杆0A和 CE组成；0A质量为m， CE 质量为 2 m，尺寸 如图示.求杆系对OZ轴 的转动惯量.
z
解: 分别求两杆对Z轴的 转动惯量: ⑴查表可得OA对Z轴 的转动惯量为:
Jz'=(1/3)ml2 z (2)查表，并用平行轴 定理得CE对Z轴的 转动惯量为: Jz"=(1/12)(2m)(2l)2+2ml2=(8/3)ml2 (3) 由叠加原理得杆系对Z轴的转动惯量为: Jz=Jz'+Jz"=(1/3)ml2+(8/3)ml2 = 3ml2
2 决定转动惯量的因素: ⑴刚体的质量; ⑵ 轴的位置; ⑶刚体质量的分布. (同一刚体对同一轴的转动惯量为定值)
3 刚体转动惯量的计算: ⑴质量是连续分布的，刚体对Z轴的转动惯量 Jz=∫r2dm = ∫ρ r2dv
( ρ: 密度 dv: 体积元 )
⑵质量连续均匀, ρ为常数时 Jz= ρ ∫ r2dv = (M/V) ∫r2dv ⑶几何形状规则的均匀刚体查表求Jz
dt dmz (mv ) mz (F ) dt
此式表明：质点对定轴的动量矩对时间的一 阶导数等于作用力对同一轴的矩。
my ( F )
3 质点动量矩守恒定理
⑴由质点动量矩定理知: 如果作用于质点的力对某定点O之矩恒等于 零, 质点对该点的动量矩保持常矢量。即: mo(mv) = 常矢量 ⑵由质点动量矩定理对定轴的投影式知: 如果作用于质点的力对某定轴之矩恒等于零， 质点对该轴的动量矩保持常量。
这就是刚体绕定轴转动的微分方程。 若把刚体的转动 微分方程与质点的运动微分方程的投影式加以对照． 可以看出，它们的形式完全相似，力矩与力相对应， 角加速度与加速度相对应，而转动惯量与质量相对应. 刚体的转动微分方程可以解决两类动力学问题， ①已知刚体的转动规律，求作用于刚体上的主动力
②已知作用于刚体上的主动力，求刚体的转动规律。
例1 重为P，长为 l 的、均质杆AB，其A端为 固定铰支承，B端悬挂于绳上，使杆位于水平 位置，如图所示试求当剪断绳子时AB杆的角 加速度，以及A铰链的支承反力。
解 (1)受力分析：取AB杆为研究对象， (2)运动分析，剪断绳以后，杆将作定轴转动 此瞬时杆AB转动的角速度ω＝o， 质心法向加速度 质心C点的切向加速度为
JO = (1/2)mOr2 ω= v/r
z
Yo
Xo
r
Hz = [mAr+(1/2) mOr]v
= (1/2)(2mA+mO)rv
(3) 系统受力有mAg， mog，和力偶矩M， 约束力Xo Yo(如图) (4)由质点系对z 轴的 动量矩定理得
z
Yo
Xo
r
d[(1/2)(2mA+mO)rv] / dt = M - mAgr 解方程得重物加速度为:
2(M – mAgr) a= dv/dt= 2mA+mo
习题14.2 解:
v2 r2 o r1
v1
mp F
由于质点受向心力 作用,而向心力过轴, 力矩为零,动量矩守恒 K1 = K 2
mv1 · r1 =mv2 · r2
V2=v1r1/r2=6 cm/s
习题14.5
解: ⑴以滑轮为研究对象,受力分析; ⑵滑轮作定轴转动; ⑶由刚体定轴转动微分方程:
4. 刚体定轴转动时对轴的动量矩 考虑刚体对转轴上任一点O之动量矩．建立 坐标系OXYZ．刚体绕Z 轴角速度为ω. 由质点系动量矩 定义,刚体对Z轴 的动量矩为: mivi r Lz=∑mz(mivi)
i
=∑ mivi · ri (vi =ri·ω) Lz=(∑miri2 ) · ω
Mi
4. 刚体定轴转动时 对轴的动量矩 Lz=(∑miri2 ) · ω 其中: mi 为任一质点质量, ri 为该点到Z轴距离 Jz= ∑miri2 定义为 刚体对Z轴的转动惯量 z z
4 平行轴定理
工程手册中给出的都是物体对于过质心的轴 (质心轴)的转动惯量。如果要求物体对平行于 质心轴的另一轴之转动惯量，则需利用物体 转动惯量的平行轴定理进行计算。
(已知刚体对某轴Z的 JZ,求刚体对与Z轴平行 的另一轴Z1的JZ1 z z
1
JZ1= JZ + M· h2
C点:为刚体的质心 h :为两平行轴间的距离 o
z
y
vc
解：题意分析 ， ⑴圆柱作平面运动 ⑵圆柱受力有 重力mg(巳知) 绳的张力 T(未知) ⑶质系对A点的动量矩 沿垂直于纸面的方向， 未知力T 对A之矩为零，
z
y
vc
因此可用系统对Z轴(如图示)之动量矩定理求解。
(1) 取圆柱体为研究对象．
(2) 建立坐标如图。 Az轴指向里面, 系统对Z轴的 动量矩为: z
mo(mv) = r×mv o
r
m
θ
mo(mv) = r×mv
大小: 方向: L=r· mv sin θ
V o
r θ
m 动量矩垂直于r,v决定的平面,指向由右手 螺旋法则决定 L
V θ
o
r
m
2 质点对轴的动量矩: 设有空间直角坐标系OXYZ,质量为的质点P, t时刻的速度为V ⑴定义: 质点的动量在垂直于某轴的平面上的 分量对此平面与该轴的交点O的矩.为 质点动量对该轴的动量矩. Lx = mx(mv) = mo(mvyz) = d1 ·mvyz Ly = my(mv) = mo(mvxz) = d2 ·mvxz
h
c x
y1 y
x1
例 求均匀杆对过 端点A的 Z’ 轴的 转动惯量
解:从表中查得匀质杆对质心轴z的转动惯量为 JZ=(1/12)ml2，利用平行轴定理，可得杆对过 端点A的Z'轴的转动惯量为 JZ’=(1/12)ml2 +m(l/2) 2 =(1/3)ml2
5 转动惯量的叠加原理 刚体的质量可以分成两部分(或更多部分)分别 求其对同一转轴的转动惯量,然后相加即得总的 转动惯量。
第十四章
内容提要
1
动量矩定理
首先着重讨论质点和质点系，特别是刚体的 动量矩的概念和计算;
2 接着介绍与上述有关的物理概念： 刚体的转动惯量; 3 讨论动量矩定理及其应用——刚体定轴 转动微分方程
l 4.1
动量矩的概念及其计算
1 质点对参照点的动量矩 质点的动量矩是表示质点绕某点(或某轴) 运动强弱的一种度量，它与质点的动量 mv 有关，与其点到速度矢量的距离有关。 我们把质点m在某瞬时相对于某点0 的矢 径 r 与其动量 mv 之矢量积定义为质点在该 瞬时对点 O 之动量矩。以矢量mo(mv)表示， V
Lz= mz(mv) = mo(mvxy) = d3 ·mvxy
z d1
o
z mvyz
y mvxz
d2 x
o z
y
x Lx = mx(mv) = mo(mvyz) = d1 ·mvyz Ly = my(mv) = mo(mvxz) = d2 ·mvxz Lz= mz(mv) = mo(mvxy) = d3 ·mvxy
Hz=mz(mvc)+Jc· ω =mvcr+(1/2)mr2· ω
（ ω = vc / r）
y
vc
Hz=(3/2)mrvc
(3)系统受力有mg和T 如图示，各力对AZ 轴之矩的代数和为:
z
(4)根据质点系对Z轴 的动量矩 定理得:
y
vc
ac
z 例3 图示为提升机， 已知鼓轮半径为 r , 质量为m0，可视为 匀质圆盘. 重物A 质量为mA，当鼓轮 上作用一常力偶矩 为M的力偶时，求 重物上升的加速度.
14.3动量矩定理
14.31 质点动量矩定理: 1 定理内容:
dmo (mv ) mo (F ) dt
此式表明：质点对某定点的动量矩对时间的 一阶导数，等于作用于质点的合 力对该点的矩。 这一性质称为质点动量矩定理