3．向量数乘的运算律
λ(μa)＝_（λμ）a______；(λ＋μ)a＝___λa＋μa__；λ(a＋b)＝__λa＋λb_____。
（4）共线向量定理
a是一个非零向量，若存在唯一一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．（证明三点共线）三点 共线 共线。
注意：(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的`区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a、b不共线．
例1.设两个非零向量a与b不共线，
(1)若 ＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
例1如图，在△ABC中，E、F分别为AC、AB的
中点，BE与CF相交于G点，设 ＝a， ＝b，试用a，
b表示 .
用方程思想解决平面向量的线性运算问题：
例2如图所示，在△ABO中， ＝ ， ＝ ，AD与BC相交于点M，设 ＝a， ＝b.试用a和b表示向量 .
解 设 ＝ma＋nb，
则 ＝ － ＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.
4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 、 叫做平行向量，记作： ∥ ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：
①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；
＝ － ＝ － ＝－a＋ b.
又∵A、M、D三点共线，∴ 与 共线．
∴存在实数t，使得 ＝t ，
即(m－1)a＋nb＝t .
∴(m－1)a＋nb＝－ta＋ tb.
∴ ，消去t得，m－1＝－2n，
即m＋2n＝1.
又∵ ＝ － ＝ma＋nb－ a＝ a＋nb，
＝ － ＝b－ a＝－ a＋b.
又∵C、M、B三点共线，∴ 与 共线．
三．平面向量的线性运算：
（1）向量加法：
①三角形法则:（“首尾相接，首尾连”）,如图，已知向量a、ｂ.在平面任取一点 ，作 ＝， ＝，则向量 叫做与的和，记作
定：a+ 0-= 0 + a=a,
当向量 与 不共线时， + 的方向不同向，且| + |<| |+| |；
当 与 同向时，则 + 、 、 同向，且| + |=| |+| |，
当 与 反向时，若| |>| |，则 + 的方向与 相同，且| + |=| |-| |；
若| |<| |，则 + 的方向与 相同，且| +b|=| |-| |.
结论：
②平行四边形法则:以同一起点的两个向量为邻边作平行四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是和向量。
③加法的运算律
1）向量加法的交换律： + = +
2）向量加法的结合律：( + ) + = + ( + )
（2）向量减法：
向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：ab = a + (b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.
1.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作ab
③平行向量无传递性！（因为有 )；
6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 的相反向量是－ 。如
下列命题：（1）若 ，则 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若 ，则 是平行四边形。（4）若 是平行四边形，则 。（5）若 ，则 。（6）若 ，则 。其中正确的是_______
4．平面向量的基本定理：
如果e1和e2是同一平面的两个不共线向量，那么对该平面的任一向量a，有且只有一对实数 、 ，使a= e1＋ e2
我们把不共线的向量e1和e2叫做表示这一平面所有向量的一组基底。
向量的夹角:已知两个非零向量 、 ，作 ， ，则∠AOB＝ ，叫向量 、 的夹角，当， 、 同向，当， 、 反向，当， 与 垂直，记作 ⊥ 。
∴存在实数t1，使得 ＝t1 ，
∴ a＋nb＝t1 ，
∴ ，消去t1得，4m＋n＝1.
由①②得m＝ ，n＝ ，∴ ＝ a＋ b.
课堂练习：
（1）若 ，则 ______
（答： ）；
（2）下列向量组中，能作为平面所有向量基底的是
（答：（4）（5））
二．向量的表示方法：
1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 ，注意起点在前，终点在后；
2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 ， ， 等；
3．坐标表示法：在平面建立直角坐标系，以与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 ， 为基底，则平面的任一向量 可表示为 ，称 为向量 的坐标， ＝ 叫做向量 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
2用“相反向量”定义法作差向量，ab=a + (b)
课堂练习：
1.化简：① ___；② ____；③ _____
（答：① ；② ；③ ）；
2.若正方形 的边长为1， ，则 ＝_____
（3）向量数乘：数λ与向量a的积的运算
1．.λa|＝|λ|_|a|_______；
2．当λ>0时，λa的方向与a的方向___相同_；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反____；当λ＝0时，λa＝0____
平面向量复习讲义
一．向量有ห้องสมุดไป่ตู้概念：
1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作： ，注意零向量的方向是任意的；
3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 共线的单位向量是 )；
2.求作差向量：已知向量a、b，求作向量ab
∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a
作法：在平面取一点O，
作 =a， =b则 =ab
即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
注意：1 表示ab. 强调：差向量“箭头”指向被减数