第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。

16a＋6b2。

C 3。

2 4。

A 5。

C 6．解：AB→＝AC→＋CB→＝－3a＋2b，∵D，E为AB→的两个三等分点，∴AD→＝13AB→＝－a＋23b＝DE→. ∴CD→＝CA→＋AD→＝3a－a＋23b＝2a＋23b.∴CE→＝CD→＋DE→＝2a＋23b－a＋23b＝a＋43b.3．共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线等价于存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.例5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________例6．设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线．(2)试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42.如图，已知AB ＝a ，AC ＝b ，BD ＝3DC ，用a ，b 表示AD ，则AD ＝( ) A ．a ＋34b B.14a ＋34b C.14a ＋14bD.34a ＋14b 3．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( )A ．aB ．bC ．cD ．04如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB ＝4，且AD ＝14AC ＋λAB (λ∈R )，则AD的长为( )A ．2 3B ．33C ．4 3D ．5 35．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝________.例5．－13例6． [解] (1)证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB .∴AB ，BD 共线， 又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1. C B D B －14a ＋14b 24．向量的中线公式: 若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP ＝12(OA ＋OB )．5．三点共线等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R)⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．第二节 平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.例7．若A (0,1)，B (1,2)，C (3,4)，则AB →－2BC →＝________例8.已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(－3,6) C ．(6,2)D ．(－2,0)例9．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c .(1)求3a ＋b －3c ； (2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .巩固练习：1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( ) A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b2．已知向量a ＝(x ，y )，b ＝(－1,2)，且a ＋b ＝(1,3)，则|a |等于( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.103．已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(x ，－4)，若a ∥b ，则x ＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．74．设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB →|＝2|AP →|，则点P 的坐标为( ) A ．(3,1) B ．(1，－1) C ．(3,1)或(1，－1) D ．无数多个5．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，k ＝( ) A.14 B ．－14 C ．－13 D.136．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值、最小值分别是( )D A ．4 2，0 B ．4 2，4 C ．16,0 D ．4,07．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，c ＝(4,1)，若用a 和b 表示c ，则c ＝________.8．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________..例7．(－3，－3) 例8.A 例9．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.B C C C C D 2a －b 5平面向量基本定理及其应用：如果，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．特别注意：若e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量， a ＝λ1e 1＋λ2e 2，2211e e b μμ+=则⎩⎨⎧==⇔=2211μλμλb a例10：（1）如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．（2）已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____（3）．如图，已知C 为OAB ∆边AB 上一点，且),(,2R n m OB n OA m OC CB AC ∈+==,则mn =__________变式训练：1.在ABC △中,已知D 是AB 边上一点,若123AD DB CD CA CB λ==+，,则λ= （ ）AA ．23B ．13C ．13-D ．23-2..设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．3.若M 为ABC ∆内一点,且满足AC AB AM 4143+=,则ABM ∆与ABC ∆的面积之比为_________.4..若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为 ( ) CA.15B.25C.35D.925例10：6 2433a b + 29 A 12 1:4 C平面向量共线的坐标表示例11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当实数k 取何值时，k a ＋2b 与2a －4b 平行？练习：1．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则mn等于( )CA ．－2B ．2C ．－12 D.122．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．3．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(2)若(a ＋k c )∥(2b－a )，求实数k ；例11．解法一：∵2a －4b ≠0，∴存在唯一实数λ，使k a ＋2b ＝λ(2a －4b )．将a ，b 的坐标代入上式， 得(k －6,2k ＋4)＝λ(14，－4)，得k －6＝14λ且2k ＋4＝－4λ，解得k ＝－1.解法二：同法一有k a ＋2b ＝λ(2a －4b )，即(k －2λ)a ＋(2＋4λ)b ＝0.∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －2λ＝0，2＋4λ＝0.∴k ＝－1.1．C 2．解：(1)由已知得AB ＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥AC . ∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．3．[解] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0.∴k ＝－1613平面向量的数量积及应用知识梳理1．两个向量的夹角(1)定义：已知两个__________向量a 和b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则__________称作向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉．(2)范围：向量夹角〈a ，b 〉的范围是__________，且__________＝〈b ，a 〉．(3)向量垂直：如果〈a ，b 〉＝__________，则a 与b 垂直，记作__________．2．平面向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义：__________叫作向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝__________.可见，a ·b 是实数，可以等于正数、负数、零．其中|a |cos θ(|b |cos θ)叫作向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影．(2)向量数量积的运算律 ①a ·b ＝__________(交换律) ②(a ＋b )·c ＝__________(分配律) ③(λa )·b ＝__________＝a ·(λb )(数乘结合律)．3AB ＝(x 2AB ＝(x a 1b |〈a ，b 〉＝一、平面向量数量积的运算例1(1)在等边三角形ABC 中，D 为AB 的中点，AB ＝5，求AB ·BC ，CD ； (2)若a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，求(a －2b )·(2a ＋3b )和|a ＋2b |.变式训练1．已知下列各式：①|a |2＝a 2；②a ·b |a |2＝ba；③(a ·b )2＝a 2b 2；④(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2，其中正确的有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.下列命题中：① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(； ② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(； ③ 2()a b →→-2||a →=22||||||a b b →→→-⋅+； ④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b ； ⑤若,a bc b ⋅=⋅则a c =； 其中正确的是______（答：①）3.23120oa b a b ==已知，，与的夹角为，求2212323a b a b a b a b ⋅--⋅+（）；（）；（）（）（）4..已知3a =，4b =，a 与b 的夹角为43π，求(3)(2)a b a b -⋅+。