3.2 直线的方程教案 A第1课时教学内容：3.2.1 直线的点斜式方程3.2.2 直线的两点式方程教学目标一、知识与技能1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；3.掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；4.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.二、过程与方法经历点斜式方程的推导过程，通过对比理解“截距”与“距离”的区别．在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.三、情感、态度与价值观通过体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，能用联系的观点看问题.教学重点、难点教学重点：直线的点斜式方程、斜截式方程与两点式方程.教学难点：直线的点斜式方程、斜截式方程与两点式方程的应用.教学关键：抓住各种方程的形式及各种形式方程的量，熟悉求出这些量的方法，并能应用直线方程的各种形式写出直线的方程.教学突破方法：首先创设情景，通过引导学生探究能够确定一条直线的条件，并利用这些条件写出直线的四种形式的方程，通过例题及适量的练习进行巩固和提高.教法与学法导航教学方法：问题教学法、讨论法.通过问题的引入，激起学生对直线方程写法探究的兴趣，总结其规律.学习方法：自主学习，自主探究讨论，合作交流，练习巩固.教学准备教师准备：多媒体课件（用于展示问题，引导讨论，出示答案）.学生准备：直线与一次函数的关系、练习本.教学过程详见下页表格．教学环节教学内容师生互动设计意图创设情境导入新课1．在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？学生回顾，并回答.然后教师指出，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标（x，y）满足的关系式.使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知.概念形成2．直线l经过点P0（x0，y0），且斜率为k.设点P（x，y）是直线l上的任意一点，请建立x，y与k，x0，y0之间的关系.学生根据斜率公式，可以得到，当x≠x0时，y ykx x-=-，即y–y0 = k（x–x0）（1）老师对基础薄弱的学生给予关注、引导，使每个学生都能推导出这个方程.培养学生自主探索的能力，并体会直线的方程，就是直线上任意一点的坐标（x，y）满足的关系式，从而掌握根据条件求直线方程的方法.3．（1）过点P0（x0，y0），斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足方程（1）吗？学生验证，教师引导.使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件.（2）坐标满足方程（1）的点都在经过P0（x0，y0），斜率为k的直线l上吗？学生验证，教师引导.然后教师指出方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件.概念深化4．直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？学生分组互相讨论，然后说明理由.使学生理解直线的点斜式方程适用范围.续上表5．（1）x轴所在直线的方程是什么？y轴所在直线的方程是什么？（2）经过点P0（x0，y0）且平行于x轴（即垂直于y轴）的直线方程是什么？（3）经过点P0（x0，y0）且平行于y轴（即垂直于x轴）的直线方程是什么？教师引导学生通过画图分析，求得问题的解决.进一步使学生理解直线的点斜式方程的适用范围，掌握特殊直线方程的表示形式.应用举例6．例1 直线l经过点P0 （– 2，3），且倾斜角 = 45°.求直线l的点斜式方程，并画出直线l.教师引导学生分析要用点斜式求直线方程应已知哪些条件？题目哪些条件已经直接给予，哪些条件还有待去求.在坐标平面内，要画一条直线可以怎样去画.例1 【解析】直线l经过点P0 （–2，3），斜率k=tan45°=1代入点斜式方程得y– 3 = x + 2画图时，只需再找出直线l上的另一点P1（x1，y1），例如，取x1= –1，y1 = 4，得P1的坐标为（–1，4），过P0 ，P1的直线即为所求，如上图.学生会运用点斜式方程解决问题，清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件：（1）一个定点；（2）有斜率.同时掌握已知直线方程画直线的方法.xy6421–1–2 0P0P1续上表概念深化7．已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为（0，b），求直线l的方程.学生独立求出直线l的方程：y = kx + b（2）在此基础上，教师给出截距的概念，引导学生分析方程（2）由哪两个条件确定，让学生理解斜截式方程概念的内涵.引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是其中一种特殊的情形.8．观察方程y = kx + b，它的形式具有什么特点？学生讨论，教师及时给予评价.深入理解和掌握斜截式方程的特点.9．直线y = kx + b在x轴上的截距是什么？学生思考回答，教师评价.使学生理解“截距”与“距离”的区别.方法探究10．你如何从直线方程的角度认识一次函数y= kx+ b？一次函数中k和b的几何意义是什么？你能说出一次函数y = 2x– 1，y = 3x，y = –x + 3图象的特点吗？学生思考、讨论，教师评价.归纳概括.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.应用举例11．例2已知直线l1：y = k1 +b1，l2：y2 = k2x + b2 .试讨论：（1）l1∥l2的条件是什么？（2）l1⊥l2的条件是什么？教师引导学生分析：用斜率判断两条直线平行、垂直结论.思考（1）l1∥l2时，k1，k2；b1，b2有何关系？（2）l1⊥l2时，k1，k2；b1，b2有何关系？在此由学生得出结论；l1∥l2⇔k1 = k2，且b1≠b2；l1⊥l2⇔k1k2 = –1.例2【解析】（1）若l1∥l2，则k1= k2，此时l1、l2与y轴的交点不同，即b1 = b2；反之，k1 =k2，且b1 = b2时，l1∥l2 .于是我们得到，对于直线l1：y = k1x + b1，l2：y = kx + b2l1∥l2⇔k1 = k2，且b1≠b2；l1⊥l2⇔k1k2 = –1.掌握从直线方程的角度判断两条直线相互平行或相互垂直；进一步理解斜截式方程中k，b的几何意义.续上表续上表小结教师引导学生概括：直线方程四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）互相之间的联系的理解.学生归纳后老师补充．使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识，了解知识的来龙去脉.课堂作业1.求倾斜角是直线31y x=-+的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程是：（1）经过点(3,1)-；（2）在y轴上的截距是–5.【解析】∵直线31y x=-+的斜率3k=，∴其倾斜角α=120°，由题意，得所求直线的倾斜角1130 4αα==o，故所求直线的斜率13 tan303k==o.（1）∵所求直线经过点(3,1)-，斜率为33，∴所求直线方程是31(3)3y x+=-，即3360x y--=.（2）∵所求直线的斜率是33，在y轴上的截距为–5，∴所求直线的方程为35y x=-，即33150x y--=.2.直线l过点P（–2，3）且与x轴，y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB 的中点，求直线l的方程.【解析】设直线l的斜率为k，∵直线l过点（–2，3），∴直线l的方程为y–3 = k[x–（–2）]，令x = 0，得y = 2k + 3；令y = 0，得32 xk=--.∴A、B两点的坐标分别为A3(2,0)k--，B（0，2k + 3）.∵AB的中点为（–2，3），∴32023.22 02332kkk⎧--+⎪=-⎪=⎨⎪++=⎪⎩，解之得，∴直线l 的方程为33(2)2y x -=+，即直线l 的方程为3x – 2y +12 = 0. 3. 已知∆ABC 三个顶点坐标A （-1，8）、B （6，4）、C （0，0），求与BC 边平行的∆ABC 的一条中位线所在直线的方程．【解析】 设AB 、AC 边的中点分别为E 、F ，则EF 即为所求直线.由中点坐标公式可得E （25，6）、F （21-，4）， 由直线方程的两点式可得直线EF 的方程为252125646---=--x y ， 即为2x -3y+13=0.第2课时教学内容：3.2.3 直线的一般式方程 教学目标一、知识与技能1. 明确直线方程一般式的形式特征；2. 会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；3. 会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式. 二、过程与方法学会用分类讨论的思想方法解决问题. 三、情感、态度与价值观1. 认识事物之间的普遍联系与相互转化；2. 用联系的观点看问题． 教学重点、难点教学重点：直线方程的一般式.教学难点：对直线方程一般式的理解与应用.教学关键：通过直线一般式方程与其他形式方程的互化，理解在直线的一般式方程条件下，直线平行与垂直的条件.教学突破方法：首先创设问题情境，提出问题，引起学生思考，对学生进行分组讨论，在探究的基础上，得出结论，及时进行练习巩固. 教法与学法导航教学方法：问题教学法，练习法.教师围绕直线方程的一般式提出一系列有针对性的问题，要求学生思考并回答.通过一定的练习对本节知识达到巩固和提高的目的.学习方法：自主探究，合作交流.学生通过思考并回答教师所提出的问题，达到对直线方程一般式的理解应用.教学准备教师准备：多媒体幻灯片.学生准备：回顾初中所学的二元一次方程及其解的概念.1. 直线3x +y +1=0与x 轴的夹角为 ，与y 轴的夹角为 .【解析】其斜率为-3，倾斜角为120°，所以直线与x 的夹角为60°，与y 轴的夹角为30°.2. 已知两点A （2，2）， B （-2，4），则线段AB 的垂直平分线方程为 ．【解析】AB 中点为（0，3），AB 斜率为21-，则AB 的垂直平分线的斜率为2，其方程为y =2x +3.3. 已知直线2x -y +4=0， 则其斜率 ，与x 轴的交点坐标为 . 【解析】k=2， （-2，0）.4. 直线方程0Ax By C ++=的系数A 、B 、C 分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x 轴相交；（3）只与y 轴相交；（4）是x 轴所在直线；（5）是y 轴所在直线.【解析】（1）当A ≠0，B ≠0时，直线与两条坐标轴都相交. （2）当A ≠0，B =0时，直线只与x 轴相交. （3）当A ＝0，B ≠0时，直线只与y 轴相交.（4）当A ＝0，B ≠0，C ＝0时，直线是x 轴所在直线. （5）当A ≠0，B ＝0，C ＝0时，直线是y 轴所在直线.教案 B第1课时教学内容：3.2.1 直线的点斜式方程教学目标一、知识与技能1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.二、过程与方法经历在已知直角坐标系内确定一条直线的点斜式方程的过程；通过对比理解“截距”与“距离”的区别.三、情感、态度与价值观通过体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，能用联系的观点看问题.教学重点、难点教学重点：直线的点斜式方程.教学难点：推导直线点斜式方程的过程.教学过程一、情境引入1.情境1：过定点P（x0，y0）的直线有多少条？倾斜角为定值的直线有多少条？2.问题1：确定一条直线需要几个独立的条件？二、新课教学（一）点斜式方程1.学生思考、讨论问题1.学生可能的回答：（1）两个点P1（x1，y1），P2（x2，y2）；（2）一个点和直线的斜率（可能有学生回答倾斜角）；（3）斜率和直线在y轴上的截距（说明斜率存在）；（4）直线在x轴和y轴上的截距（学生没有学过直线在x轴上的截距，可类比，同时强调截距均不能为0）.2.建构数学问题2：给出两个独立的条件，例如：一个点P1（2，4）和斜率k=2就能决定一条直线l.（1）你能在直线l上再找一点，并写出它的坐标吗？你是如何找的？（2）这条直线上的任意一点P（x，y）的坐标x，y满足什么特征呢？直线上的任意一点P（x，y）（除P1点外）和P1（x1，y1）的连线的斜率是一个不变量，即为k ，即：11x x y y k --=， 即y -y 1=k （x -x 1） （1）学生在讨论的过程中：（1） 强调P （x ，y ）的任意性.（2） 不直接提出直线方程的概念，而用一种通俗的，学生易于理解的语言先求出方程，可能学生更容易接受，也更愿意参与.问题3：（1）P 1（x 1，y 1）的坐标满足方程吗？（2）直线上任意一点的坐标与此方程有什么关系？教师指出，直线上任意一点的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在此直线上.让学生感受直线的方程和方程的直线的意义. 如此，我们得到了关于x ，y 的一个二元一次方程.这个方程由直线上一点和直线的斜率确定，今后称其为直线的点斜式方程.3. 数学运用例1 一条直线经过点P 1（-2，3），斜率为2，求这条直线的方程. 【解析】由直线的点斜式方程得y -3=2（x +2），即2x -y +7=0. 变1：在例1中，若将“斜率为2”改为“倾斜角为45o ”，求这条直线的方程； 变2：在例1中，若将直线的倾斜角改为90o ，这条直线的方程是什么？ 例2 已知直线l 的斜率为k ，与y 轴的交点是P （0，b ），求直线l 的方程. 【解析】根据直线的点斜式方程，得直线l 的方程为y -b =k （x -0），即y =kx +b . （二）斜截式方程如果直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为（0，b ），代入直线的点斜式方程：y －b ＝k （x －0），即y ＝kx ＋b （2）几何意义：k 为直线的斜率，b 为直线在y 轴上的截距.我们把直线l 与y 轴的交点（0，b ）的纵坐标b 叫直线l 在y 轴上的截距.方程（2）由直线的斜率k 与它在y 轴上的截距b 确定，所以方程（2）叫直线的斜截式方程，简称斜截式.例3 已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，试讨论：（1）l 1∥l 2的条件是什么？（2）l 1⊥l 2的条件是什么？【解析】（1）l 1∥l 2⇔ k 1＝k 2，且b 1＝b 2. （2）l 1⊥l 2⇔ k 1k 2＝-1.思考：y ＝kx ＋b 是我们学过的一次函数的表达式，它的图象是一条直线，你如何从直线方程的角度去认识一次函数？k 和b 的几何意义是什么？说一说函数y =2x －1，y ＝3x ，y ＝-x ＋3的图象特点. 三、小结（1）本节课我们学过哪些知识点；（2）直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么？ （3）求一条直线的方程，要知道多少个条件？ 四 布置作业P95练习：1，2，3，4.P100习题3.2 A 组：1，5，6，10.第2课时教学内容：3.2.2 直线的两点式方程 教学目标一、知识与技能1. 掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；2. 了解直线方程截距式的形式特点及适用范围. 二、过程与方法在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.三、情感、态度与价值观认识事物之间的普遍联系与相互转化；学会用联系的观点看问题. 教学重点、难点：教学重点：直线方程两点式.教学难点：两点式推导过程的理解. 教学过程一、复习回顾师:上一节课，我们一起学习了直线方程的点斜式，并要求大家熟练掌握，这一节，我们将利用点斜式来推导直线方程的两点式.二、讲授新课1. 直线方程的两点式:1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，其中2211,,,y x y x 是直线两点),(),,(2211y x y x 的坐标.推导:因为直线l 经过点),(),,(222111y x P y x P ，并且21x x ≠，所以它的斜率1212x x y y k --=.代入点斜式，得 )(112121x x x x y y y y ---=-.当21y y ≠，时，方程可以写成112121y y x x y y x x --=--． 说明：①这个方程由直线上两点确定；②当直线没有斜率（21x x =）或斜率为)(021y y =时，不能用两点式求出它的方程.2. 直线方程的截距式:1=+bya x ，其中a ，b 分别为直线在x 轴和y 轴上的截距. 说明:①这一直线方程由直线在x 轴和y 轴上的截距确定，所以叫做直线方程的截距式;②截距式的推导由例1给出. 三、例题讲解例1 已知直线l 与x 轴的交点为（a ，0），与y 轴的交点为（0，b ），其中a ≠0，b ≠0，求直线l 的方程.【解析】因为直线l 经过A （a ，0）和B （0，b ）两点，将这两点的坐标代入两点式，得:.1,000=+--=--bya x a a xb y 就是 说明:此题应用两点式推导出了直线方程的截距式.例2 三角形的顶点是A （-5，0）、B （3，-3）、C （0，2），求这个三角形三边所在直线的方程.【解析】直线AB 过A （-5，0）、B （3，-3）两点，由两点式得0(5)303(5)y x ---=----，整理得：01583=++y x ，即直线AB 的方程. 直线BC 过C （0，2），斜率是3530)3(2-=---=k ，由点斜式得:52(0)3y x -=--，整理得:0635=-+y x ，即直线BC 的方程.直线AC 过A （-5，0），C （0，2）两点，由两点式得:0(5)200(5)y x ---=---， 整理得：01052=+-y x ，即直线AC 的方程.说明：例2中用到了直线方程的点斜式与两点式，说明求解直线方程的灵活性，应让学生引起注意.四、课堂小结1. 请学生归纳直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系.2. 师生讨论比较各种直线方程的形式特点和适用范围.3. 求直线方程应具有多少个条件？4. 学习本节用到了哪些数学思想方法？ 五、布置作业P99、100练习：1，2.P101习题3.2B 组：1，2，5.第3课时教学内容：3.2.3 直线的一般式方程 教学目标一、知识与技能1. 明确直线方程一般式的形式特征；2. 会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；3. 会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式. 二、过程与方法学会用分类讨论的思想方法解决问题. 三、情感、态度与价值观认识事物之间的普遍联系与相互转化；用联系的观点看问题. 教学重点、难点教学重点：直线方程的一般式.教学难点：对直线方程一般式的理解与应用. 教学过程：一、创设问题情境，导入新课 1．求过点（2，1），斜率为1的直线的方程，并观察方程属于哪一类？2．当直线的斜率不存在时，即直线的倾斜角α＝90°时，直线的方程怎样表示？ 二、探究新知，师生互动 1．一般式（1）直线的方程是都是关于,x y 的二元一次方程在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，在90α≠o 和90α=o 两种情况下，直线方程可分别写成y kx b =+及1x x =这两种形式，它们又都可变形为0=++C By Ax 的形式，且,A B 不同时为0，即直线的方程都是关于,x y 的二元一次方程．（2）关于,x y 的二元一次方程的图形是直线因为关于,x y 的二元一次方程的一般形式为0=++C By Ax ，其中,A B 不同时为0．在0B ≠和0B =两种情况下，一次方程可分别化成BC x B A y --=和A Cx -=，它们分别是直线的斜截式方程和与y 轴平行或重合的直线方程，即每一个二元一次方程的图形都是直线．这样我们就建立了直线与关于,x y 二元一次方程之间的对应关系．我们把0=++C By Ax （其中,A B 不同时为0）叫做直线方程的一般式．一般地，需将所求的直线方程化为一般式． 三、拓展创新，应用提高例1 已知直线过点(6,4)A -，斜率为43-，求该直线的点斜式和一般式方程及截距式方程．【解析】经过点(6,4)A -且斜率43-的直线方程的点斜式44(6)3y x +=--，化成一般式，得： 43120x y +-=， 化成截距式，得：134x y+=． 练习：根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般式：经过点A （8，－2），斜率是－12；经过点B （4，2），平行于x 轴； 经过点P （3，－2），Q （5，－4）；在x 轴，y 轴上的截距分别是32，－3.例2 求直线:35150l x y +-=的斜率及x 轴，y 轴上的截距，并作图．【解析】直线:35150l x y +-=的方程可写成335y x =-+， ∴直线l 的斜率35k =-；y 轴上的截距为3； 当0y =时，5x =，∴ x 轴上的截距为5．例3 求斜率为34，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程． 【解析】设直线方程为34y x b =+，令0y =，得43x b =-，∴14|()|623bb ⋅-=，∴3b =±， 所以，所求直线方程为34120x y --=或34120x y -+=．例4 直线l 过点(6,3)P -，且它在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距相等，求直线l 的方程．【分析】由题意可知，本题宜用截距式来解，但当截距等于零时，也符合题意，此时不能用截距式，应用点斜式来解．【解析】（1）当截距不为零时，由题意，设直线l 的方程为1x yb b+=， ∵直线l 过点(6,3)P -，∴631b b-+=，∴3b =-， ∴直线l 的方程为30x y ++=．（2）当截距为零时，则直线l 过原点，设其方程为y kx =， 将6,3x y =-=代入上式，得36k =-，所以21-=k ， ∴直线l 的方程为12y x =-，即20x y +=， 综合（1）（2）得，所求直线l 的方程为30x y ++=或20x y +=．例5 已知直线1l ：220x my m +--=，2l ：10mx y m +--=，问m 为何值时： （1）12l l ⊥； （2）12//l l . 【解析】（1）12l l ⊥时，12120A A B B +=，则110m m ⨯+⨯=，解得m ＝0.（2）12//l l 时，12211m m m m--=≠--， 解得m ＝1.例6 （1）求经过点(3,2)A 且与直线420x y +-=平行的直线方程； （2）求经过点(3,0)B 且与直线250x y +-=垂直的直线方程. 【解析】（1）由题意得所求平行直线方程4(3)(2)0x y -+-=，化为一般式4140x y +-=.（2） 由题意得所求垂直直线方程(3)2(0)0x y ---=，化为一般式230x y --=. 例7 已知直线l 的方程为3x+4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线方程．【分析】由两直线平行，所以斜率相等且为34-，再由点斜式求出所求直线的方程.【解析】直线l :3x+4y －12=0的斜率为34-，∵ 所求直线与已知直线平行， ∴所求直线的斜率为34-，又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为：33(1)4y x -=-+，即3490x y +-=.点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式00()()0A x x B y y -+-=而直接写出方程，即3(1)4(3)0x y ++-=，再化简而得.例8 直线方程0Ax By C ++=的系数A 、B 、C 分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x 轴相交；（3）只与y 轴相交；（4）是x 轴所在直线；（5）是y 轴所在直线.【分析】由直线性质，考察相应图形，从斜率、截距等角度，分析系数的特征. 【解析】（1）当A ≠0，B ≠0时，直线与两条坐标轴都相交. （2）当A ≠0，B=0时，直线只与x 轴相交. （3）当A ＝0，B ≠0时，直线只与y 轴相交. （4）当A ＝0，B ≠0，C ＝0时，直线是x 轴所在直线. （5）当A ≠0，B ＝0，C ＝0时，直线是y 轴所在直线.点评：结合图形的几何性质，转化为方程形式所满足的代数形式. 对于直线的一般式方程，需要特别注意以上几种特殊位置时的方程形式. 四、课外作业1. 教材99页练习.2. 教材100、101页习题3.2A 组第9、10、11题.。