（人教版）高中数学必修二（全册）单元测试卷汇总阶段通关训练(一)(60分钟100分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.已知某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )A.长方体B.圆柱C.四棱锥D.四棱台【解析】选A.该几何体是长方体，如图所示.2.以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是( )A.两个圆锥拼接而成的组合体B.一个圆台C.一个圆锥D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥【解析】选D.如图以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥.3.已知△ABC是边长为2a的正三角形，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )A. a2B.a2C.a2D.a2【解析】选C.直观图面积S′与原图面积S具有关系：S′=S.因为S△ABC=(2a)2=a2，所以S△A′B′C′=×a2=a2.【补偿训练】某三角形的直观图是斜边长为2的等腰直角三角形，如图所示，则原三角形的面积是________.【解析】根据直观图和原图形的关系可知原图形的面积为×2×2=2.答案：24.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A. B. C. D.1【解析】选 B.由三视图可判断该三棱锥底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则V=××1×1×2=.【补偿训练】已知正三棱锥V-ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧视图的面积是( )A. B.6 C.8 D.6【解析】选D.如图，根据三视图间的关系可得BC=2，所以侧视图中VA′==2，所以三棱锥侧视图面积S△×2×2=6，故选D.VBC=5.(2016·蚌埠高二检测)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为( )A.πB.πC.πD.【解析】选A.设圆锥的母线长为l，底面半径为r，由题意解得所以圆锥的高为h==，V=πr2h=π×12×=π.6.(2016·雅安高二检测)设正方体的全面积为24，那么其内切球的体积是( ) A.π B.π C.π D.π【解析】选B.正方体的全面积为24，所以，设正方体的棱长为a，6a2=24， a=2，正方体的内切球的直径就是正方体的棱长，所以球的半径为1，内切球的体积：V=π.二、填空题(每小题5分，共20分)7.棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面面积为50，则截得的棱台的高为________.【解题指南】根据面积比等于相似比的平方建立关于高的等式求解. 【解析】设棱台的高为x，则有=，解之，得x=11.答案：118.(2016·绍兴高二检测)已知几何体的三视图(如图)，则该几何体的体积为________，表面积为________.【解析】根据三视图分析可知，该几何体为一底面边长为2的正四棱锥，其高h==，所以体积V=×22×=，表面积S=4××2×+22=4+4.答案：4+49.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________.【解析】如图所示，由V=Sh得，S=4，即正四棱柱底面边长为2.所以A1O1=，A1O=R=.所以S球=4πR2=24π.答案：24π10.圆台的底面半径分别为1和2，母线长为3，则此圆台的体积为________.【解析】圆台的高h==2，所以体积V=(R2+Rr+r2)h=π.答案：π三、解答题(共4小题，共50分)11.(12分)如图几何体上半部分是母线长为5，底面圆半径为3的圆锥，下半部分是下底面圆半径为2，母线长为2的圆台，计算该几何体的表面积和体积.【解析】圆锥侧面积为S1=πr l=15π，圆台的侧面积为S2=π(r+r′)l=10π，圆台的底面面积为S底=πr′2=4π，所以表面积为：S=S1+S2+S底=15π+10π+4π=29π；圆锥的体积V1=πr2h1=12π，圆台的体积V2=πh2(r2+rr′+r′2)=π，所以体积为：V=V1+V2=12π+π.12.(12分)如图是一个几何体的正视图和俯视图.(1)试判断该几何体是什么几何体？(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积.(3)求出该几何体的体积.【解析】 (1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥.(2)该几何体的侧视图如图.其中AB=AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图正六边形对边的距离，即BC=a，AD是正六棱锥的高，即AD=a，所以该平面图形的面积为·a·a=a2.(3)设这个正六棱锥的底面积是S，体积为V，则S=6×a2=a2，所以V=×a2×a=a3.13.(13分)如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.【解析】S表面=S圆台底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=π×52+π×(2+5)×5+π×2×2=(4+60)π.V=V圆台-V圆锥=π(+r1r2+)h-πh′=π(25+10+4)×4-π×4×2=π.14.(13分)(2016·湖北实验中学高一检测)如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边BC上，半圆与AC，AB分别相切于点C，M，与BC交于点N)，将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体.(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小.(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.【解析】(1)连接OM，则OM⊥AB，设OM=r，则OB=-r，在△BMO中，sin∠ABC===，所以r=，所以S=4πr2=π.(2)因为△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，所以AC=1，所以V=V圆锥-V球=π×AC2×BC-πr3=π×12×-π=. 【能力挑战题】(2016·葫芦岛高一检测)如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为xcm的内接圆柱.(1)试用x表示圆柱的侧面积.(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大.【解题指南】(1)由题意作出几何体的轴截面，根据轴截面和比例关系列出方程，求出圆柱的底面半径，再表示出圆柱的侧面积. (2)由(1)求出的圆柱侧面面积的表达式，根据二次函数的性质求出圆柱侧面面积的最大值.【解析】(1)设所求的圆柱的底面半径为r，它的轴截面如图：由图得，=，即r=2-，所以S圆柱侧=2πrx=2πx=4πx-x2.(2)由(1)知当x=-=3时，这个二次函数有最大值为6π，所以当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为6πcm2.关闭Word文档返回原板块温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

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阶段通关训练(二)(60分钟100分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.(2016·吉安高二检测)下列说法中正确的是( )A.三点确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.两两相交的三条直线一定在同一平面内D.过同一点的三条直线不一定在同一平面内【解析】选D.选项A中，缺条件“不共线”；选项B中，须指明这两条直线的位置关系，比如两条异面直线就不能确定一个平面；选项C 中，两两相交的三条直线当相交于同一点时，它们可以不在同一平面内，比如正方体中同一顶点的三条棱.2.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么( )A.PA=PB>PCB.PA=PB<PCC.PA=PB=PCD.PA≠PB≠PC【解析】选 C.因为M为AB的中点，△ACB为直角三角形，所以BM=AM=CM，又PM⊥平面ABC，所以Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA=PB=PC.3.(2016·成都高二检测)如图，已知三条长度相等的线段AB，BC，CD，若AB⊥BC，BC⊥CD，且直线AB与CD所成角大小为60°，则直线AD与BC所成角大小为( )A.90°B.60°C.45°D.30°【解析】选C.如图，过B作BE CD，连接DE，AE，则四边形BCDE 为正方形，∠ABE为直线AB与CD所成角，∠ADE为直线AD与BC所成角.因为AB=BC=CD=BE，∠ABE=60°，所以AB=BE=AE.因为AB⊥BC，所以AB⊥DE，又BE⊥DE，AB∩BE=B，所以DE⊥平面ABE，所以DE⊥AE，所以△AED为等腰直角三角形，所以∠ADE=45°.【拓展延伸】求异面直线所成角的方法求异面直线所成角主要是如何通过平移作出其平面角，主要途径有：利用三角形的中位线、构造平行四边形、利用梯形两底平行、平行线分线段成比例的性质等，如本题通过利用条件中的垂直关系构造正方形，达到平移的目的.【补偿训练】(2016·台州高二检测)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选C.由题可知，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B∥D1C，所以异面直线A1D与D1C所成的角与直线A1D与A1B所成的角相等，连接A1B，BD，∠BA1D为所求角，设正方体的棱长为1，在△A1DB中，三条边长均为，故∠BA1D=60°.4.(2016·北京高二检测)已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是( )A.若α⊥β，m⊂β，则m⊥αB.若α∥β，m⊥α，则m ⊥βC.若α∥β，m∥α，则m∥βD.若m∥α，m∥β，则α∥β【解析】选B.若α⊥β，m⊂β，则直线m与平面α相交，或直线m 在平面α内，或直线m与平面α平行，所以选项A不正确；若α∥β，m∥α，则直线m与平面β平行，或直线m在平面β内，所以选项C 不正确.若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，所以选项D不正确.5.(2016·辽宁师大附中高一检测)如图，六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论不正确的是( )A.CF⊥平面PADB.DF⊥平面PAFC.CF∥平面PABD.CD∥平面PAF【解析】选A.因为六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则AF∥CD，由线面平行的判定定理，可得CD∥平面PAF，故D正确；DF⊥AF，DF⊥PA，由线面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAF，故B正确；CF∥AB，由线面平行的判定定理，可得CF∥平面PAB，故C正确；CF与AD不垂直，故A中，CF⊥平面PAD不正确.6.已知矩形ABCD，AB=1，BC=，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直【解析】选B.A错误.理由如下：过A作AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若直线AC与直线BD垂直，则可得BD⊥平面ACE，于是BD⊥CE，而由矩形ABCD边长的关系可知BD与CE并不垂直.所以直线AC与直线BD不垂直.B正确.理由：翻折到点A在平面BCD内的射影恰好在直线BC上时，平面ABC⊥平面BCD，此时由CD⊥BC可证CD⊥平面ABC，于是有AB ⊥CD.故B正确.C错误.理由如下：若直线AD与直线BC垂直，则由BC⊥CD可知BC ⊥平面ACD，于是BC⊥AC，但是AB<BC，在△ABC中∠ACB不可能是直角.故直线AD与直线BC不垂直.由以上分析显然D错误.二、填空题(每小题5分，共20分)7.下列说法：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α.其中正确说法的序号是________.【解析】①中b可能在α内；②a与b还可能异面或者垂直；③a还可能与α内的直线异面或垂直.答案：④8.如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：________时，SC∥平面EBD.【解析】当点E是SA的中点时，连接AC.设AC与BD的交点为O，连接EO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点.又E是SA的中点，所以OE是△SAC的中位线.所以OE∥SC.因为SC⊄平面EB D，OE⊂平面EBD，所以SC∥平面EBD.答案：点E是SA的中点9.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E，F 分别是棱PC，PD的中点，则①棱AB与PD所在直线垂直；②平面PBC与平面ABCD垂直；③△PCD的面积大于△PAB的面积；④直线AE与直线BF是异面直线.以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号)【解析】由条件可得AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，故①正确；若平面PBC⊥平面ABCD，由PB⊥BC，得PB⊥平面ABCD，从而PA∥PB，这是不可能的，故②错；S△PCD=CD·PD，S△PAB=AB·PA，由AB=CD，PD>PA知③正确；由E，F分别是棱PC，PD的中点，可得EF∥CD，又AB∥CD，所以EF∥AB，故AE与BF共面，④错.答案：①③10.(2016·西宁高二检测)在四面体ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=BC=CD=1，且平面ABD⊥平面BCD，M为AB中点，则CM与平面ABD所成角的正弦值为________.【解析】如图所示，取BD中点O，连接CO，MO，由已知条件BC=CD=1，所以BD⊥CO，由平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD，所以CO⊥平面ABD，则∠CMO即为直线CM与平面ABD所成的角，由AB ⊥AD，所以BD=，则得到BC⊥CD，所以CO=BD=，MO=AD=，所以在Rt△COM中，CM==，所以sin∠CMO===.答案：三、解答题(共4小题，共50分)11.(12分)(2016·台州高二检测)如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，点M，N分别是AB，PC的中点，PA=AD=a.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：平面PMC⊥平面PCD.【证明】(1)设PD的中点为点E，连接AE，NE，由点N为PC的中点知EN DC，又ABCD是矩形，所以DC AB，所以EN AB，又点M是AB的中点，所以EN AM，所以AMNE是平行四边形，所以MN∥AE，而AE⊂平面PAD，NM⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD.(2)因为PA=AD，所以AE⊥PD，又因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PA，而CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AE，因为PD ∩CD=D，所以AE⊥平面PCD，因为MN∥AE，所以MN⊥平面PCD，又MN⊂平面PMC，所以平面PMC⊥平面PCD.【补偿训练】(2016·济南高一检测)如图所示，平面四边形PACB中，∠PAB为直角，△ABC为等边三角形，现把△PAB沿着AB折起，使得△APB与△ABC垂直，且点M为AB的中点.(1)求证：平面PAB⊥平面PCM.(2)若2PA=AB，求直线BC与平面PMC所成角的正弦值.【解析】(1)因为平面APB⊥平面ABC且交线为AB，又因为∠PAB为直角，所以AP⊥平面ABC，故AP⊥CM，又因为△ABC为等边三角形，点M为AB的中点，所以CM⊥AB，又因为PA∩AB=A，所以CM⊥平面PAB，又CM⊂平面PCM，所以平面PAB⊥平面PCM.(2)假设PA=a，则AB=2a，再设B到平面PMC的距离为h B.则V P-MBC=V B-PMC =PA·S△MBC=h B·S PMC，在直角三角形PAM中，由PA=AM=a，得PM=a，在等边三角形ABC中，AB边上的高CM=a，而三角形PMC为直角三角形，故面积为S△PMC=CM·PM=·a·a=a2.又S△MBC=S△ABC=a2.所以a·a2=h B·a2.故h B= a.所以直线BC与平面PMC所成角的正弦值sinθ===.12.(12分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC.(2)是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由. 【解析】(1)因为PA⊥底面ABC，所以PA⊥BC.又∠BCA=90°，所以AC⊥BC.又因为AC∩PA=A，所以BC⊥平面PAC.(2)因为DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，所以DE⊥平面PAC.又因为AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，所以DE⊥AE，DE⊥PE.所以∠AEP为二面角A-DE-P的平面角.因为PA⊥底面ABC，所以PA⊥AC，所以∠PAC=90°.所以在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时∠AEP=90°，故存在点E，使得二面角A-DE-P为直二面角.13.(13分)(2016·杭州高二检测)已知直角梯形ABCD和矩形CDEF所在的平面相互垂直，AD⊥DC，AB∥DC，AB=AD=DE=4，DC=8，(1)证明：BD⊥平面BCF.(2)设二面角E-BC-D的平面角为α，求sinα.(3)M为AD的中点，在DE上是否存在一点P，使得MP∥平面BCE？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由.【解析】(1)因为平面ABCD⊥平面CDEF，且矩形CDEF中FC⊥DC，所以FC⊥面ABCD，FC⊥DB，在直角梯形ABCD中易得DB⊥BC，又FC∩BC=C，所以BD⊥平面BCF.(2)因为FC⊥平面ABCD，ED∥FC，所以ED⊥平面ABCD，又DB⊥BC，所以EB⊥BC，所以∠EBD为二面角E-BC-D的平面角α，所以sinα=sin∠EBD===.(3)猜想DP=1.取ED，EC的四等分点P，Q，使得ED=4PD，EC=4QC，则PQ∥CD，PQ=CD=6，取BC中点N，连接MN，NQ，则MN∥CD，MN=(CD+AB)=6，所以PQ MN，所以四边形PQNM为平行四边形，所以MP∥QN，又因为MP⊄平面BCE，QN⊂平面BCE，所以MP∥平面BCE.14.(13分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点.(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)求证：C1F∥平面ABE.(3)求三棱锥E-ABC的体积.【解析】(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，BB1∩BC=B，所以AB⊥平面B1BCC1，又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)取AB的中点G，连接EG，FG. 因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG=AC.因为AC∥A1C1，且AC=A1C1，所以FG∥EC1，且FG=EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.(3)因为AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB==.所以三棱锥E-ABC的体积V=S△ABC·AA1=×××1×2=.【能力挑战题】(2016·桂林高二检测)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC的中点.(1)求证：AB⊥PE.(2)求二面角A-PB-E的大小.【解题指南】(1)连结PD，根据等边三角形三线合一可证得PD⊥AB，由中位线可得DE∥BC，即可得DE⊥AB，根据线面垂直的判定定理可证得AB⊥平面PDE，从而可证得AB⊥PE.(2)由面面垂直的性质定理可证得PD⊥平面ABC，从而可证DE⊥PD，根据线面垂直的判定定理可证得DE⊥平面PAB，过D作DF垂直PB于F，连接EF，则EF⊥PB.根据二面角的定义可知∠DFE即为所求，在△DEF中求∠DFE即可. 【解析】(1)连结PD，因为PA=PB，D为AB的中点，所以PD⊥AB.因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC，又因为BC⊥AB，所以DE⊥AB.又PD∩DE=D，所以AB⊥平面PDE，因为PE⊂平面PDE，所以AB⊥PE.(2)因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD⊥AB，所以PD⊥平面ABC，所以DE⊥PD.又ED⊥AB，PD∩AB=D，所以DE⊥平面PAB，过D作DF垂直PB于F，连接EF，则EF⊥PB，所以∠DFE为所求二面角的平面角，则：DE=，DF=，则tan∠DFE==，故二面角A-PB-E的大小为60°.关闭Word文档返回原板块温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。