１
1. 如图，在ABC △中，90BAC ∠=
，AD 是BC 边上的高，E 是BC 边上的一个动点（不与B C ，重
合），EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F G ，．
（1）求证：
EG CG
AD CD
=； （2）FD 与DG 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由； （3）当AB AC =时，FDG △为等腰直角三角形吗？并说明理由．
2.操作：如图①，点O 为线段MN 的中点，直线PQ 与MN 相交于点O ，请利用图①画出一对以点O 为对称中心的全等三角形．
根据上述操作得到的经验完成下列探究活动．
探究一：如图②，在四边形ABCD 中，AB DC ∥，E 为BC 边的中点，BAE EAF ∠=∠，AF 与DC 的延长线相交于点F ．试探究线段AB 与AF CF ，之间的等量关系，并证明你的结论；
探究二：如图③，DE BC ，相交于点E ，BA 交DE 于点A ，且:1:2BE EC =，BAE EDF ∠=∠，
CF AB ∥．若51AB CF ==，，
求DF 的长度．
F
A
G
C
E
B
Ｐ Ｏ Ｍ Ｎ Ｑ
图① Ａ Ｂ Ｅ
Ｆ
Ｃ Ｄ
图②
Ｄ Ａ
Ｂ Ｅ
Ｆ
Ｃ 图③
２
3.如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标为()40-，，
点B 的坐标为()()00.b b >，P 是直线AB 上的一个动点，作PC x ⊥轴，垂足为.C 记点P 关于y 轴的对称点P ′（点P ′不在y 轴上），连结
PP P A P C ''′，，．设点P 的横坐标为.a （1）当3b =时，
①求直线AB 的解析式；
②若点P ′的坐标是
()1m -，，
求m 的值； （2）若点P 在第一象限，记直线AB 与P C ′
的交点为.D 当13P D DC =′∶∶时，求a 的值； （3）是否同时存在a b ，，使P CA △′为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a b ，的值；若不存在，请说明理由.
4.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5AB DC ==，6AD =，12BC =．动点P 从D 点出发
沿DC 以每秒1个单位的速度向终点C 运动，动点Q 从C 点出发沿CB 以每秒2个单位的速度向B 点运动．两点同时出发，当P 点到达C 点时，Q 点随之停止运动． （1）梯形ABCD 的面积等于 ；
（2）当PQ AB ∥时，P 点离开D 点的时间等于 秒； （3）当P Q C ，，三点构成直角三角形时，P 点离开D 点多少时间？
C B
３
5、 如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt △AOB 的斜边OB 在x 轴上，直线y=3x- 4经过等腰Rt △AOB 的直角顶点A ，交y 轴于C 点，双曲线k
y x
=也经过A 点。
(1)求点A 坐标； (2)求k 的值；
(3)若点P 为x 正半轴上一动点，在点A 的右侧的双曲线上是否存在一点M ，使得△PAM 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形。
若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由。
(4)若点P 为x 负半轴上一动点，在点A 的左侧的双曲线上是否存在一点N ，使得△PAN 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形。
若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由。
6、如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12cm ，OB=6cm ，点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以1厘米/
秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘米/秒的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t 秒表示移动的时间（06t ≤≤），那么
（1）设△POQ 的面积为y （厘米2），求y 关于t(秒)的函数解析式；
（2）当t=3时，将△POQ 沿直线PQ 翻折后得到△PCQ ，试判断点C 是否落在直线AB 上，并说明理
由；
（3）当t 为何值时，以O 、P 、Q 为顶点的三角形与△AOB 相似？
备用图
４
7、阅读：如图1把两块全等的含45°的直角三角板ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点D 旋转，两边分别与线段AB 、BC 相交于点P 、Q,易说明△APD ∽△CDQ ．
猜想（1）：如图2，将含30°的三角板DEF （其中∠EDF=30°）的锐角顶点D 与等腰三角形ABC （其
中∠ABC = 120°）的底边中点O 重合，两边分别与线段AB 、BC 相交于点P 、Q ．写出图中的相似三角形 （直接填在横线上）； 验证（2）：其它条件不变，将三角板DEF 旋转至两边分别与线段AB 的延长线、边BC 相交于点P 、Q ．上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形,并说明理由．
连结PQ ，△APD 与△DPQ 是否相似？为什么? 探究（3）：根据（1）（2）的解答过程，你能将两三角板改为一个更为一般的条件，使得（1）
8、等腰△ABC ，AB=AC ，∠BAC=120°，P 为BC 的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P ，三角板绕P 点旋转．
（1）如图a ，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时．求证：△BP E ～△CFP ；
（2）操作：将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F ．
① 探究１：△BP E 与△CFP 还相似吗？（只需写出结论）
② 探究２：连结EF ，△BP E 与△PFE 是否相似？请说明理由；
Ｅ 图1
图2 Ｄ(O) B C
F
E P
Q
A 图3
A
C
B B
P
B
9、已知,如图,直线
39
22
y x
=+与x轴、y轴分别相交于A、B两点,与双曲线
k
y
x
=在第一象限内交于点C,
S△AOC=9。
（1）求S△AOB （2）求k的值
（3）D是双曲线
k
y
x
=上一点, DE垂直x轴于E，若以O、D、E为顶点的三角形与△AOB相似,试
求点D的坐标。
10.已知反比例函数
k
y
x
=与直线y＝
1
4
x相交于A、B两点．第一象限上的点M(m，n)(在A点左侧)是
k
y
x
=
上的动点，过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N(0，－n)作NC∥x轴交
k
y
x
=于点E，交BD于点C．
(1)若点D坐标是(－8，0)，求A、B两点坐标及k的值．
(2)若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．
(3)设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA＝pMP，MB＝qMQ，求p－q的值．（直接写出结
果）．
５。