2013年上海初二数学函数压轴题 2013.2.111. 在梯形ABCD 中, AD ∥BC ,cm AD CD AB 5===,BC =11cm ,点P 从点D 开始沿DA 边以每秒1cm 的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 边以每秒2cm 的速度移动(当点P 到达点A 时,点P 与点Q 同时停止移动),假设点P 移动的时间为x (秒),四边形ABQP 的面积为y (cm 2). (1)求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域;(2)在移动的过程中,求四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时x 的值;(3)在移动的过程中,是否存在x 使得PQ=AB ,若存在求出所有x 的值,若不存在请说明理由.CB2. 如图,在正方形ABCD 中,点E 在边AB 上(点E 与点A 、B 不重合),过点E 作FG ⊥DE ,FG 与边BC 相交于点F ,与边DA 的延长线相交于点G .(1)由几个不同的位置,分别测量BF 、AG 、AE 的长,从中你能发现BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎样的关系?并证明你所得到的结论;(2)联结DF ,如果正方形的边长为2,设AE=x ,△DFG 的面积为y ,求y 与x 之间的函数解析式,并写出函数的定义域;(3)如果正方形的边长为2,FG 的长为25,求点C 到直线DE 的距离.(供操作实验用)(供证明计算用)(第2题图)D ABB3.如图,已知在矩形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,CE =AE ,F 是AE 的中点,AB = 4,BC = 8.求线段OF 的长.4已知一次函数421+-=x y 的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B .梯形AOBC 的边AC = 5. (1)求点C 的坐标;(2)如果点A 、C 在一次函数y k x b =+(k 、b 为常数,且k <0)的图像上,求这个一次函数的解析式.5.如图,直角坐标平面xoy 中,点A 在x 轴上,点C 与点E 在y 轴上,且E 为OC 中点,BC //x 轴,且BE ⊥AE ,联结AB ,(1)求证:AE 平分∠BAO ;(2)当OE =6, BC=4时,求直线AB 的解析式.(第4题图)ABC DOEF(第3题图)6.如图,△ABC 中,点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点,过点A 作AF//BC 交线段DE 的延长线相交于F 点,取AF 的中点G ,如果BC = 2 AB . 求证:(1)四边形ABDF 是菱形;(2)AC = 2DG .7.边长为4的正方形ABCD 中,点O 是对角线AC 的中点, P 是对角线AC 上一动点,过点P 作PF ⊥CD 于点F ,作PE ⊥PB 交直线CD 于点E ,设PA=x ,S ⊿PCE =y , ⑴ 求证:DF =EF ;(5分)⑵ 当点P 在线段AO 上时,求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围;(3分) ⑶ 在点P 的运动过程中,⊿PEC 能否为等腰三角形?如果能够,请直接写出PA 的长;如果不能,请简单说明理由。
(2分)ABFDEG第6题图第26题图DCB AE FP。
O8.已知一条直线b kx y +=在y 轴上的截距为2,它与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ,且△ABO 的面积为4.(1)求点A 的坐标;(2)若0<k ,在直角坐标平面内有一点D ,使四边形ABOD 是一个梯形,且AD ∥BO ,其面积又等于20(平方单位),试求点D 的坐标.9.在边长为2的正方形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,另一个正方形OHIG 绕点O 旋转(如图),设OH 与边BC 交于点E (与点B 、C 不重合),OG 与边CD 交于点F. (1)求证:BE=CF ;(2)在旋转过程中,四边形OECF 的面积是否会变化?若没有变化,求它的面积;若有变化,请简要说明理由;(3)联结EF 交对角线AC 于点K ,当△OEK 是等腰三角形时,求∠DOF 的度数.DCBA 备用图O 。
10 如图,已知矩形ABCD,过点C作∠A的角平分线AM的垂线,垂足为M,AM交BC于E,连接MB、MD.求证:MB = MD.11.如图,在菱形ABCD中,∠A = 60°,AB = 4,E是AB边上的一动点,过点E作EF⊥AB交AD的延长线于点F,交BD于点M、DC于点N.(1)请判断△DMF的形状,并说明理由;(2)设EB = x,△DMF的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围;(3)当x取何值时,S△DMF = 3 .12.如图1,在ABC 中,AB = BC = 5,AC = 6,△ECD 是△ABC 沿BC 方向平移得到的,连接AE 、AC 和BE 相交于点O .(1)判断四边形ABCE 是怎样的四边形,说明理由. (2)如图2,P 是线段BC 上的一动点(图2),(点P 不与B 、C 重合),连PO 并延长交线段AE 于点Q ,QR ⊥BD ,垂足为R .① 四边形PQED 的面积是否随点P 的运动而发生变化?若变化,请说明理由;若不变,求出四边形PQED 的面积.② 当P 在线段BC 上运动时,是否有△PQR 与△BOC 全等?若全等,求BP 的长;若不全等,请叙述理由.13,已知:如图,在菱形ABCD 中,AB =4,∠B =60°,点P 是射线BC 上的一个动点,∠P AQ =60°,交射线CD 于点Q ,设点P 到点B 的距离为x ,PQ =y . (1)求证:△APQ 是等边三角形;(2)求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域; (3)如果PD ⊥AQ ,求BP 的值.14.如图,已知点E 是矩形ABCD 的边CB 延长线上一点,且CE CA ,联结AE ,过点C 作图1备用图图2DCF AE ⊥,垂足为点F ,联结BF 、FD .(1)求证:FBC ∆≌FAD ∆;(2)联结BD ,若35FB BD =,且10AC =,求FC 的值.FEDCBA15,A B ,两地盛产柑桔,A 地有柑桔200吨,B 地有柑桔300吨.现将这些柑桔运到C 、D 两个冷藏仓库,已知C 仓库可储存240吨,D 仓库可储存260吨;从A 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元,从B 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元.设从A 地运往C 仓库的柑桔重量为x 吨,A 、B 两地运往两仓库的柑桔运输费用分别为A y 元和B y 元.(1)请填写下表后分别求出A B y y ,与x 之间的函数关系式,并写出定义域;解:(2)试讨论A B ,两地中,哪个运费较少; 解:16.,已知:正方形ABCD 的边长为28厘米,对角线AC 上的两个动点E F ,,点E 从点A 、点F 从点C 同时出发,沿对角线以1厘米/秒的相同速度运动,过E 作EH ⊥AC 交Rt ACD △的直角边于H ;过F 作FG ⊥AC 交Rt ACD △的直角边于G ,连接HG ,EB .设HE ,EF ,FG ,GH 围成的图形面积为1S ,AE ,EB ,BA 围成的图形面积为2S (这里规定:线段的面积为0).E 到达C F ,到达A 停止.若E 的运动时间为x 秒,解答下列问题:(1)如图①,判断四边形EFGH 是什么四边形,并证明; (2)当08x <<时,求x 为何值时,12S S =;(3)若y 是1S 与2S 的和,试用x 的代数式表示y .(图②为备用图) (1)解:17,如图,在平面直角坐标系中,直线l 经过点)3,2(-A ,与x 轴交于点B ,且与直线383-=x y 平行。
(1)求:直线l 的函数解析式及点B 的坐标;(2)如直线l 上有一点)6,(-a M ,过点M 作x 轴的垂线,交直线383-=x y 于点N ,在线段MN 上求一点P ,使PAB ∆是直角三角形,请求出点P 的坐标。
图①图②18, 在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B = 90,∠C =45º,AB =8,BC =14,点E 、F 分别在边AB 、CD 上,EF //AD ,点P 与AD 在直线EF 的两侧,∠EPF =90º, PE =PF ,射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ,设AE =x ,MN =y .(1) 求边AD 的长;(2) 如图,当点P 在梯形ABCD 内部时,求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域; (3) 如果MN 的长为2,求梯形AEFD 的面积.(第18题)BDA CEFN MP19, 如图,在△ABC 中,点D 是边BC 的中点,点E 在△ABC 内,AE 平分∠BAC ,CE ⊥AE ,点F 在边AB 上,EF //BC .(1)求证:四边形BDEF 是平行四边形;(2)线段BF 、AB 、AC 的数量之间具有怎样的关系?证明你所得到的结论.20, 如图,一次函数42+=x y 的图像与x 、y 轴分别相交于点A 、B ,四边形ABCD 是正方形.(1)求点A 、B 、D 的坐标; (2)求直线BD 的表达式.21, 有两个不透明的布袋,其中一个布袋中有一个红球和两个白球,另一个布袋中有一个红球和三个白球,它们除了颜色外其他都相同.在两个布袋中分别摸出一个球, (1) 用树形图或列表法展现可能出现的所有结果; (2) 求摸到一个红球和一个白球的概率.AB C DEF (第19题)22,已知:梯形ABCD 中,AD ∥BC ,M 、N 分别是BD 、AC 的中点(如图2).求证:(1)MN ∥BC ;(2))(21AD BC MN -=.23,已知:正方形ABCD ,以A 为旋转中心,旋转AD 至AP ,联结BP 、DP .(1)若将AD 顺时针旋转︒30至AP ,如图3所示,求BPD ∠的度数.(2)若将AD 顺时针旋转α度)900(︒<<︒α至AP ,求BPD ∠的度数.(3)若将AD 逆时针旋转α度)1800(︒<<︒α至AP ,请分别求出︒<<︒900α、︒=90α、︒<<︒18090α三种情况下的BPD ∠的度数(图4、图5、图6).A B C DPM 图4 A BC DM N图2A BC D P图324, A B C D P图6 A CDPB 图525、某公路上一段道路的维修工程准备对外招标,现有甲、已两个工程队前来竟标,竟标资料显示:若由甲乙两队合作6天可以完成,共需工程费7800元,若单独完成此项工程甲队比乙队少用5天,但甲队每天的工程费比乙队多300元。
(1)甲、乙两队单独完成各需多少天?(2)从节约资金的角度上考虑,应选哪个队单独完成?并说明理由26.如图,在△ABC 中,E 是AB 的中点,CD 平分∠ACAB,AD ⊥CD 于带点D.求证:(1)DE=BC;(2)DE=21(BC-AC).BC DE A27.如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=DC,点P 为BC 边上一点,PE ⊥AB,BG ⊥CD,垂足分别为E,F,G. 求证:PE+PF=BG28.如图,等腰梯形ABCD 中, AD ∥BC,M,N 分别是AD,BC 的中点,E,F 分别是BM,CM 的中点.(1)求证:四边形MENF 是菱形;(2)若四边形MENF 是正方形,请探索等腰梯形ABCD 的高和底边BC 的数量关系,并证明你的结论.29,.已知如图,在△ABC 中∠ACB=90°,AD 平分∠CAB 交BC 于D, CH ⊥AB 于H 交AD 于F,DE ⊥AB 于E.求证:四边形CDEF 为菱形.CAB H ED FEF BN C AD M A B PE CFG D30.如图.点P 是等腰直角三角形ABC 底边BC 上的一点,过P 作BA,AC 的垂线,垂足为E,F 设D 为BC 的中点.(1)求证:DE ⊥DF;(2)若点P 在BC 的延长线上是DE ⊥DF 吗?试证明你的结论.31,.如图,CD 为Rt △ABC 斜边AB 上的高,AE 平分∠BAC 交C,D 于E, EF ∥AB,交AB 于点F,求证:CE=BF.32.如图, Rt △ABC 中∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,AE 平分∠BAC 交CD 于F,过F 作FH ∥AB 交BC 于H.求证:CE=BH.33.如图,梯形ABCD 中AD ∥BC,AB=AD=DC,点E 为底边BC 的中点,且DE ∥AB,试判断△ABC 的形状,并 给出证明.34.如图,已知□ABCD 中,E 为AD 的中点,CE 的延长线交BA 的延长线于点F.(1)求证:CD=FA;(2)若使∠F=∠BCF, □ABCD 边长之间还需要再添加一个什么条件?请补上这个条件,并进行证明.(不再添辅助线).B D PC AE FC AD BF E C AD B HF EB ECD A EC D35.如图所示,已知矩形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,E 为BC 上一动点(点E 不与B,C 两点重合), EF ∥BD 交AC 于点F,EC ∥AC 交BD 于点G.求证:四边形EFOG 的周长等于2OB.36,.已知一个六边形的六个内角都是120°,其连续四边的长依次是1cm,9cm,9cm,5cm,那么这个六边形的周长是多少厘米?37,.矩形ABCD 中,O 是AC 与BD 的交点,过O 点的直线EF 与AB,CD 的延长线分别交于E,F;(1)求证:△BOE ≌△DOF;(2)当EF 与AC 满足什么条件时,四边形AECF 是棱形,并证明你的结论?BBC M N AD O 1cm9cm 9cm5cm38,.等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,M,N 分别是AD,BC 的中点,E,F 分别是BM,CM 的中点.求证: (1)四边形MENF 是棱形;(2)若四边形MENF 是正方形,请探索等腰梯形ABCD 的高和底边BC 的数量关系,并证明你的结论?39,.如图在△ABC 中,AB=AC,若将△ABC 绕点C 顺时针旋转180°得到△FEC.(1) 试猜想AE 与BF 有何关系?说明理由;(2) 若△ABC 的面积为23cm ,求四边形ABFE 的面积;(3) 当∠ACB 为多少度时,四边形ABFE 为矩形?说明理由?40. 如图:棱形ABCD 中,AB=4,E 为BC 中点,AE ⊥BC,AF ⊥CD 于点F,CG ∥AE,CG 交AF 于点H,交AD 于点G.(1)求棱形ABCD 的度数.(2)求∠GHA 的度数.41,.已知:如图,正方形ABCD 中,M 是AB 的中点,E 是AB 延长线上一点,MN ⊥DM 且交∠CBE 的平分线于N.(1)求证:MD=MN;(2)若将上述条件中“M 是AB 中点”改为“M 是AB 上任意一点”,其余条件不变(如图乙),则结论“MD=MN ”还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.乙甲 CF E B D A N M F E C B A C F D E B A GH42. 如图:∠MON=90°,在∠MON 的内部有一个正方形AOCD,点A,C 分别在射线OM,ON 上,点1B 是ON 上的任意一点,在∠MON 的内部作正方形D C AB 11.(1) 连接D D 1,求证: 901=∠ADD ;(2) 连接C C 1,猜一猜, CN C 1∠的度数是多少?并证明你的结论;(3) 在ON 上再任取一点2B ,以2AB 为边,在∠MON 的内部作正方形D C AB 22,观察图形,并结合(1),(2)的结论,请你再做出一个合理的判断.43. 已知:如图,在□ABCD 中,E,F 分别为边AB,CD 的中点,BD 是对角线,AG ∥DB 交CB 的延长线于G.(1)求证:△ADE ≌△CBF;(2)若四边形BEDF 是棱形,则四边形AGBD 是什么特殊四边形?并证明你的结论.44.已知:如图, □ABCD 中,AB ⊥AC,AB=1,BC=5,对角线AC,BD 交于点0,将直线AC 绕0顺时针旋转,分别交BC,AD 于点E,F.(1) 证明:当旋转角为 90时,四边形ABEF 是平行四边形;(2) 试说明在旋转过程中,线段AF 与EC 总保持相等;(3)试说明在旋转过程中,四边形BEDF 可能是菱形吗?如果不能,请说明理由;如果能,说明理由.并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数.M A O D C N1B 1D 1C A45. 已知:如图,在□ABCD 中,对角线AC 交BD 于点O ,四边形AODE 是平行四边形。