平面几何常考五大模型---（解答几何题的五大法宝）
等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾
思路提示：在求边长之比时常转化为面积之比，求面积之比常转化为边长之比。

模型一：等积变化原理：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。

b
S 1︰S 2 =a ︰b ；
模型一的拓展： 等分点结论（“鸟头定理”）:如下图，三角形AED 占三角形ABC 面积的
23×14=1
6
模型二：等积变化原理之四边形应用
S 4
S 3
s 2
s 1O D
C B
A
1414
23213
S S =S S S S DO OB S S +==
+
模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）
(1)相似图形，面积比等于对应边长比的平方S 1︰S 3=a 2︰b
2
（2）S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2
︰ab ︰ab （3）S 2=S 4 ；
（4）
141423213
S S =S S S S DO OB S S +==
+ :
模型四：相似三角形性质
①
a b c h
A B C H
=== ; ②相似三角形面积之比等于对应连长之比的平方S 1︰S 2=a 2
︰A 2
h
h H c
b a C
B A
a
c b H
C B
模型五：燕尾定理
F E
D C
B
A
S △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ； S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；
【例1】：如右图，在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积是1平方厘米，那么三角形ABC 的面积是多少？
【解答】连接BD,S △ABD 和S △ AED 同高，面积比等于底边比，所以三角形ABD 的面积是4，
S △ABD 和S △ABC 同高面积比等于底边比，三角形ABC 的面积是ABD 的3倍，是12. 【总结】要找准那两个三角形的高相同。

【例 1】已知正方形的面积是120 平方厘米， B、E 为正方形边上的中点，求题中阴影部分的面积是多少平方厘米？
【分析】由巩固可知BAEG的面积为整个正方形面积的五分之一为：120÷5=24 (平方厘米)，由此对于阴影部分的面积可以有两种求法.
方法一：连接FE 由图可知BAF 、AEF 和EFC 的面积相等，又因为ABC 的面积为 120÷4=30 (平方厘米)，所以BAF 、AEF 和EFC 的面积为：30÷3=10 (平方厘米)，所以阴影部分的面积为：24-10=14 (平方厘米). 方法二：本题用沙漏也可以解答能看见BAF 和CDF 是沙漏(形象演示) AB:CD=BF:FC=1:2所以以BF为底的三角形 ABF占整个三角形的1/3, 为30×1/3=10 (平方厘米).所以阴影面积为：24-10=14 (平方厘米).
【练习】已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB和AC的中点，F是DE的中点。

求△DFG的和四边形AEFG 的面积的比是多少？
【解析】因为F为DEF的中点，所以△CFD=△CEF△AFE=△AFD
因为E为AC的中点，所以△CEF=△AEF
所以△CFD=△CEF=△AEF
所以△CFA: △CFD=2:1
根据燕尾定理：△AGF: △DGF=△CFA: △CFD=2:1
所以△DFG：AEFG=1：（2+1+2）=1：5。