模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）
任意四边形中的比例关系
(“蝴蝶定理”)：S 4S 3
S 2S 1O
D
C B
A
①12
43::S S S S 或者1324S S S S ②124
3::AO OC S S S S 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例1】(小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△
AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是
6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
O
D
C
B
A 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S △平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58平方千米
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，
求：⑴三角形BGC 的面积；⑵
:AG GC ？A
B
C
D
G 321
⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ，那么6BGC
S ；⑵根据蝴蝶定理，:12:361:3AG GC
．(？？？)任意四边形、梯形与相似模型
【例2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。

如果三角形ABD 的面积等于三角形
BCD 的面积的1
3，且2AO ，3DO
，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。

A B
C D O
H G A
B C D O 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”
，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。

看到题目中给出条件
:1:3ABD BCD S S ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。

又观察题目中给出的已知
条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造
这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。

再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。

请老师注意比较两种解法，使学
生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。

解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC
S S ，∴236OC ，
∴:6:32:1OC OD ．
解法二：作AH BD 于H ，CG
BD 于G ．∵1
3
ABD BCD S S ，∴1
3AH
CG ，∴13AOD
DOC S S ，∴13AO
CO ，∴236OC ，
∴:6:32:1OC OD ．
【例3】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是
2、4、4和6。

求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。

O
G
F E D C
B A
⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616，那么BCO △和CDO 的面积都是162
8，所以OCF △的面积为844；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862，
根据蝴蝶定理，
::2:41:2COE COF EG FG S S ，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ，那么1
1
2
21233
GCE CEF S S ．【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的。