Ch4、不定积分§1、不定积分的概念与性质1、 原函数与不定积分定义1：若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的原函数。

① 连续函数一定有原函数；② 若)(x F 为)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数； 事实上，())()()(''x f x F C x F ==+③ )(x f 的任意两个原函数仅相差一个常数。

事实上，由[]0)()()()()()('2'1'11=-=-=-x f x f x F x F x F x F ，得C x F x F =-)()(21 故C x F +)(表示了)(x f 的所有原函数，其中)(x F 为)(x f 的一个原函数。

定义2：)(x f 的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为⎰dx x f )(，⎰-积分号，-)(x f 被积函数，-x 积分变量。

显然C x F dx x f +=⎰)()(例1、 求下列函数的不定积分①⎰+=C kx kdx②⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=+-≠++=+1ln 1111μμμμμC x C x dx x2、 基本积分表（共24个基本积分公式）3、 不定积分的性质 ①[]⎰⎰⎰±=±dxx g dx x f dx x g x f )()()()(②⎰⎰≠=)0()()(k dxx f k dxx kf例2、 求下列不定积分①⎰⎰+-=++-==+--C xC xdx xxdx 11)2(11)2(22②⎰⎰+=++-==+--Cx C xdx xxdx 21)21(11)21(21③⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--C x x dx x x arctan 3arcsin 5131522④()()()Cx e e xdx dx e dx x e xxx x +-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰ln 21ln 2121ππππ⑤()⎰⎰⎰++-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 2 ⑥⎰⎰⎰⎰++-=+=+=C x x xdx xdx dx xx xx xx dx tan cot seccsc cossincossincossin22222222⑦()⎰⎰+--=-=Cx x dx x dx x cot 1csccot 22⑧⎰⎰⎰++-=⎪⎭⎫⎝⎛++-=++-=+C x x x dx x x dx xx dx xxarctan 3111111113222424§2、不定积分的换元法一、 第一类换元法（凑微分法） 1、()()()()b ax d adx b ax d b ax f adx b axf +=++=+⎰⎰1,1即例1、求不定积分①()Cx udu ux x xd xdx +-===⎰⎰⎰)5cos(51sin 51555sin 515sin②()()()()⎰⎰+--=+-+⋅-=---=-+Cx C x x d x dx x 81777211612117121)21(212121③()())20(arctan 111222C a x a a x a x d a xa dx +⎪⎭⎫⎝⎛=+=+⎰⎰④()())23(arcsin 1222Ca x a x a x d xa dx +⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-⎰⎰2、()()nn nnn ndxdx xdx xf ndx xx f ==--⎰⎰11,1即例2、求不定积分①()()()()Cx C x xd x dx x x +--=+-+⋅-=---=-+⎰⎰23212122121221311112111211②()Cexd edx e x xxx +-=--=---⎰⎰333323131③⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x d dx x C x x d x dx xx111sin 11cos1cos122④⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==x d dx x Cx x d x dx xx21sin 2cos2cos3、,tan sec,sin cos ,cos sin ,,ln 12x d xdx x d xdx x d xdx de dx e x d dx xx x ==-===,,arcsin 11,arctan 11,sec tan sec 222222x a d dx xa x x d dx xx d dx xx d xdx x ±±=±=-=+=例3、 求不定积分①⎰⎰⎰+=+-=-==)16(sec ln cos ln cos cos cos sin tan Cx C x x x d dx x xxdx ②⎰⎰⎰+-=+===)17(cos ln sin ln sin sin sin cos cot C x C x xxd dx xxxdx③()()()⎰⎰⎰++=++=++=)18(tan sec ln tan sec tan sec tan sec tan sec sec sec C x x x x x x d dx x x x x x xdx ④()()()⎰⎰⎰+-=--=--=)19(cot csc ln cot csc cot csc cot csc cot csc csc csc Cx x xx x x d dx x x x x x xdx⑤()⎰⎰+==Cx xx d dx xx ln ln ln ln ln 1⑥()()()⎰⎰++=++=+Cx x x d x x dx1tan ln 1tan 1tan tan1cos2⑦()()⎰⎰++=++=+C e ee d dx e exxxxx 1ln 111⑧()()⎰⎰++-=+-+=+C ex eee edx xxxxx1ln 111⑨()⎰⎰+=+=+C e ede dx eexx x xx arctan 1122⑩()C exd edx exxxxx+-=+--=++-+-+-⎰⎰2122121211例4、求不定积分①⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++---=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-a x a x d a x a x d a dx a x a x a ax dx )()(21112122)22)(21(ln 21Cax a x a++-=②dx x x dx xx x dx xx x ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+--+=+--2222213113112 ()()C x xx xdxx x d x +-+-=+-++-=⎰⎰arctan31ln 211311212222③()()⎰⎰⎰⎰+--+-+-=+---=+--413525221526222152422222x dxx x x x d dx x xx dx x x x()Cx x x +--+-=21arctan2352ln 212④()Cx x x xd x dx xxdx +-=⋅-=-=⎰⎰⎰2sin 412122cos 21212122cos 1sin 2⑤()⎰⎰+--=+=Cx x dx x x xdx x 2cos 418cos 1612sin 8sin213cos 5sin⑥⎰⎰⎰⎰+====Cx x xd xx x d x xdxdx xx sin ln ln sin ln sin ln sin ln sinsin sin ln sincos sin ln cot⑦C x x xx d xdx dx xx x dx+-=+=-=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos seccos sin 1sin 1222⑧()⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+44csc 214sin 2sin cos πππx d x x dx xx dxCx x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cot 4csc ln 21ππ二、 第二类换元法 1、三角代换例1、dx x a ⎰-22解：令)cos (sin t a t a x 或=，则tdt a dx t a xa cos ,cos 22==-原式=()⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=+=⋅t td dt a dt tatdt a t a 22cos 21222cos 1cos cos 22C ax a ax aax aC t at a+-⋅⋅⋅+=++=22222224arcsin22sin 42Cx a x ax a +-+=22221arcsin 21例2、()()C ax a x a x d xa dx +=-=-⎰⎰arcsin1222解：令t a x sin =原式=⎰⎰+=+==Cax C t dt ta tdt a arcsincos cos例3、⎰+22xa dx解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdt a dx t a x a 222sec ,sec ==+原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=++==C a x aa x C t t tdt ta tdt a 222ln tan sec ln sec sec sec())24(ln 22Cax x +++=例4、⎰+42x x dx解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdt dx t x 22sec 2,sec 24==+ 原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=++==C a x aa x C t t tdt ta tdt a 222ln tan sec ln sec sec sec例5、⎰-22ax dx解：令)csc (sec t a t a x 或=，则tdt t a dx t a ax tan sec ,tan 22==-原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++==c aa x a xC t t tdt ta tdtt a 22ln tan sec ln sec tan tan sec())25(ln 22C a x x +-+=例6、⎰-dx xx 92解：令t a x sec =，则tdt t dx t x tan sec 3,tan 392==- 原式=()()⎰⎰⎰+-=-==⋅Ct t t tdt tdt t tt tan 31sec 3tan3tan sec 3sec 3tan 322Cxx C x x +--=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3arccos393arccos 39322小结：)(x f 中含有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-222222a x a x x a 可考虑用代换⎪⎩⎪⎨⎧===t a x t a x t a x sec tan sin2、无理代换例7、⎰++311x dx解：令dt t dx t x t x 2333,1,1=-==+则原式=()⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=+C t t t dt t t dt tt tdt t 1ln 231113111313222()()Cx x x +++++-+=333211ln 313123例8、()⎰+31xx dx解：令dt t dx t x t x 5666,,===则原式=()()⎰⎰⎰+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+C t t dt t dt tttt dt t arctan 611161616222235()Cx x +-=66arctan 6例9、⎰+dx xx x11解：令()22212,11,1--=-==+ttdtdx t x t xx 则原式=()()⎰⎰⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---C t t t dt t dt t t t tdtt t 11ln 212111212121222222Cxx x x xx +++-+-+-=11ln12例10、⎰+xedx 1解：令()12,1ln ,122-=-==+t tdt dx t x t e x 则原式⎰⎰+++-+=++-⋅=-=-⋅=C ee C t t t dt dt t t txx 1111ln11ln21212121224、 倒代换例11、()⎰+46x x dx解：令()2676,4111,1tdt dx ttx x tx -=+=+=则原式()()C x xC t t t d tdt t ++=++-=++-=+-=⎰⎰4ln24114ln 2411414241416666666()Cx x ++-=4ln 241ln 416§3、分部积分法分部积分公式：()()V U UV V U V U V U UV '-'=''+'=',()⎰⎰⎰'-'='VdxU dx UV dx V U ，故⎰⎰-=VdU UVUdV（前后相乘）（前后交换）例1、⎰xdx x cos⎰⎰++=-==Cx x x xdx x x x xd cos sin sinsin sin例2、⎰dx xe x⎰⎰+-=-==Ce xedx exexdexxxxx例3、⎰xdx ln ⎰⎰+-=⋅-=-=Cx x x dx xx x x x xd x x ln 1ln ln ln或解：令t e x t x ==,ln原式C x x x C e te dt e te tde t t t t t +-=+-=-==⎰⎰ln 例4、⎰xdx arcsin()⎰⎰⎰+-+=--+=--=-=Cxx x xx d x x dxx x x x x xd x x 22221arcsin1121arcsin 1arcsin arcsin arcsin或解：令t x t x sin ,arcsin ==原式C x x x C t t t tdt t t t td +-+=++=-==⎰⎰21arcsin cos sin sin sin sin 例5、⎰xdx e x sin()⎰⎰⎰⎰⎰--=+-=-=-==xdxex x ex d ex e x e xdex e xdx e x e xdexxxxxxxx xxsin cos sincos cos sin cos sin cos sin sin故()Cx x exdx e xx +-=⎰cos sin 21sin例6、⎰dxxx 2cosCx x x xdx x x x xd+-=-==⎰⎰sec ln tan tantan tan例7、()⎰++dx x x 21ln()()()Cx xx x dxxx xx x dx xx x x x x x x ++-++=+-++=++++⋅-++=⎰⎰222222211ln 11ln 1111ln§4、两种典型积分一、有理函数的积分有理函数01110111)()()(b x b xb xb a x a x a x a x Q x P x R m m mm n n n n ++++++++==---- 可用待定系数法化为部分分式，然后积分。