医疗保障基金额度分配问题摘要:随着社会的发展，各企业越来越注重员工的福利措施，医疗保障基金就是其中的一项。

本文针对某一拥有两个子公司的集团关于医疗保障基金额度的分配问题，运用了科学的方法，建立了三种不同阶数的多项式数据拟合的预测模型，求解出了最佳的分配方案。

解决医疗保障基金额度的分配问题，就是为了使固定资源得到最优配置。

本文提出了多项式拟合的预测模型，该模型根据题目中给出的AB两个子公司在1980~2003年的医疗保障费用的支出，通过用最小二乘法对数据进行拟合，从而得出需求函数，进而对2004年各子公司将要支出的医疗保障基金额度进行预测，为集团对AB两个公司的医疗保障基金分配提供依据。

关键词：最小二乘多项式拟合基金分配一．问题重述某集团下设两个子公司：子公司A、子公司B。

各子公司财务分别独立核算。

每个子公司都实施了对雇员的医疗保障计划，由各子公司自行承担雇员的全部医疗费用。

过去的统计数据表明，每个子公司的雇员人数以及每一年龄段的雇员比例，在各年度都保持相对稳定。

各子公司各年度的医疗费用支出见附录表。

试利用多项式数据拟合，得到每个公司医疗费用变化函数，并绘出标出原始数据的拟合函数曲线。

需给出三种不同阶数的多项式数据拟合，并分析拟合曲线与原始数据的拟合程度。

二．问题分析由于集团是由两个公司组成，为了使两个公司之间的金额分配更合理更公平，集团就应该统筹安排基金总额及分配到各子公司的具体金额。

医疗保障基金额度分配问题的最终目的就是为了解决集团为各子公司医疗保障基金的实际分配问题，使固有资源得到最优配置，从而使雇员能够及时报销医疗费用。

首先，根据医疗保障基金发放的实际情况。

医疗费用的报销可以分随时、按月、按季度、按年度报销等多种制度，为了使基金存入银行的获得的利息达最大，最终决定采用年终报销的制度最好。

其次，为了使基金分配合理化，不至于一个公司基金满足而另一个相差甚远，这里就要解决如何衡量一个子公司对基金的实际需求量问题。

根据题目给出的信息，给出了这两个子公司在1980~2003年的医疗保障费用的支出，我们选择用最小二乘法对数据进行拟合，选择出拟合效果好的拟合次数，从而得出需求函数，进而对2004年各子公司将要支出的医疗保障基金额度进行预测，为集团对各子公司的医疗保障基金分配提供依据。

利用MATLAB 工具，我们对数据进行拟合，得到七次拟合效果最佳，预测出A 公司在2004年的需要基金为19.9609万，B 公司所需为15.0723万。

据此进行检验以得出合理的分配方案三． 基本假设1. 两个子公司A 和B 财务分别独立核算。

2. 各子公司自行承担雇员的全部医疗费用。

3. 各子公司的人员人数及年龄结构固定不变。

4. 假设总公司每年年初投入30万元作为医疗保障基金存入银行。

5.假设这24年内银行年利率不变 ，均为3.25%四． 符号说明A1：预测的A 公司在2004年的医疗费用支出 B1：预测的B 公司在2004年的医疗费用支出K1：A 公司在2004年医保费用占总预测费用的权重比例系数 K2：B 公司在2004年医保费用占总预测费用的权重比例系数 A2：集团在2004分配给A 公司的医保费用 B2：集团在2004分配给B 公司的医保费用五． 模型建立与求解1.模型建立最小二乘法拟合原理： 对给定的数据（yx ji,）（i=0,1,2,…,m ）在去定的函数类Φ中，求近似函数p(x)∈Φ,使误差r i=p(x i)-yj(i=0,1,2,…,m)的平方和最小，即∑=m i ir 02=∑=-mi jiy x p 02)]([=min从几何意义上讲，就是寻求与给定点（yx ji,）（i=0,1,2,…,m ）的距离平方和最小的曲线y=p(x)，函数p(x)称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法就称为最小二乘拟合。

2.模型求解在本模型的求解过程中，我们根据已知数据先得出离散的点图，再根据点图进行最小二乘拟合，并最终确定拟合的次数为七次时拟合效果最佳。

当拟合完成后，我们用权重比例系数法对基金进行分配。

具体原理是按照每个子公司在总支出中所占的比例，求得两个子公司在2004年的比例系数。

根据两个公司在2004年的预测数据之和为35.0332万元，合理假设集团在2004年初投入银行的基金为30万元。

由于两个公司随着年份增加，医保费用也也上升趋势。

那么就假设集团每年初均投入基金金额为30万元。

对A 公司来说，24年的医疗保障费用数据已知，目标是预测 2004年医疗保障费用的支出，利用MATLAB软件进行最小二乘法的多项式拟合，分别用二阶，三阶，七阶进行拟合比较，得到拟合函数如下所示：二阶拟合函数f2 = -0.0047814 x^2 + 19.5995 x - 20053.9668三阶拟合函数f3 =-0.00093564 x^3 + 5.5852 x^2 - 11112.7707 x + 7369877.5826七阶拟合函数f7 = -9.595e-011 x^7 + 9.1427e-007 x^6 - 0.0029249 x^5 + 1.2589 x^4+ 14374.598 x^3 - 37413563.851 x^2 + 38314058629.5298 x - 14747126131371.4拟合结果图：由图可看出，在这24年中，A公司的医疗保障费用呈上升趋势，所以采用多项式拟合比较合理。

图示中七阶拟合函数走势基本符合此子公司的医疗保障费用的支出变化趋势，因而我们采用七次拟合函数对2004年的费用进行预测，可得数据为A1=19.9609万元。

但是此模型只适合于作中短期预测。

为了对模型拟合效果进行定量分析，引入残差这一概念进行误差分析。

对A公司所有数据七阶拟合后，将1992~2003年这12年的拟合结果减去真实数据求得12组残差，数据如下表所示：残差图：由图表均可看出，误差波动范围小，拟合数据与真实数据近似程度很好，因而我们认为此模型对2004年数据预测是值得相信的。

对B公司：根据已知数据，对B公司数据进行二阶、三阶、七阶拟合，得出拟合函数：二阶拟合函数f2 =-0.013789 x^2 + 55.252 x - 55331.6096三阶拟合函数f3 = 0.0010252 x^3 - 6.1389 x^2 + 12253.2596 x - 8152658.513七阶拟合函数f7 =2.4358e-010 x^7 - 2.7899e-006 x^6 + 0.013007 x^5 - 30.8796 x^4+ 36738.3576 x^3 - 13982693.6327 x^2 - 10797246159.0317 x + 8846959046309.617拟合结果图：由图示得出，在对B公司的多次拟合中，七阶拟合函数走势基本符合此子公司的医疗保障费用的支出变化趋势，可看出与A 公司不同的是，B公司的拟合图中出现了明显的拐点，这说明B公司受到通货膨胀影响大于A公司，即B公司的结构没有A公司稳定。

对B公司2004年的医疗保障费用支出预测结果是B1=15.0723万元。

对B 公司所有数据七阶拟合后，将1992~2003年这12年的拟合结果减去真实数据求得12组残差，数据如下表所示：残差图：将B 公司的残差图与A 公司比较，A 公司残差绝对值变化范围是max 1.2316σ=,min 0.1470σ=，而B 公司为max 0.7180σ=，min 0.0275σ=，将这些数据显示到图中，可看出B 公司的数据波动较小，与实际情况比较符合。

然后由预测出的数据得出A 与B 两个公司在预测总金额中所占比例为K1=56.98%，K2=43.02%，根据这个比例将集团的基金分配给这两个子公司。

A2=30*（1+3.25%）*K1=17.6496万元 B2=30*（1+3.25%）*K2=13.3254万元 利用matlab 软件编程画出饼图如下：由这两组数据可看出，集团分配的医保费用并不能完全支付两个子公司的医保费用支出，这些差额只能由子公司自行筹措，可以从其他盈利项目中抽调一部分用于提高员工的医保补贴。

六． 模型检验方差法：由于方差能够反映一组数据波动的大小，其表达式为2)(ξξξE E D -=，对于一组离散且无明显分布概率的数据，还可表示为kE D ki k∑=-=12)(ξξξ。

通过如下Matlab 的程序可以得到A,B 两个子公司在1980年到2003年医疗费用方差分别为：2078.15=A D ξ，0090.6=B D ξ。

综上可知B 公司拟合效果比较好。

七． 模型改进1、利用残差图比较拟合效果，检查拟合效果是否与实际相差较大；2、在MATLAB 软件中多次运行程序来拟合，比较不同阶数拟合曲线，得到较为接近实际数据的拟合曲线；3、对建立的模型进行进一步的误差分析，检查相关的数据是否合理；八． 模型评价与推广优点：1、 在数学模型建立的过程中，对题目数据进行了有效的统计分析合理的提出假设，将影响因素放在数据的本身，避免了模型对其他因素的依赖。

2、 在预测2004年各个子公司A 、B 的医疗费用分配问题时，对近24年来这些大量波动且随机的数据，我们采用了多项式拟合方案，采用多次拟合，选出拟合效果较好的阶数得到拟合曲线及拟合函数，保证了模型的正确性和准确性。

3、通过方差分析方法对此模型求解结果进行进一步的误差分析，从结果看出最小二乘拟合得到结果与实际数据较为符合。

4、在对题中所给的大量数据进行处理时，为了避免大量的计算，我们利用了MATLAB软件进行处理。

缺点：1、虽然对集团医疗保障基金进行了预测分配，但考虑道德影响因素较为简单。

2、在对已知数据进行最小二乘拟合时，为找到较为合理的拟合曲线，需要进行多次拟合，比较拟合效果选择拟合较为合理的拟合阶数。

3、对于2004年各子公司的基金费用的预测，数据处理精度会直接影响模型的正确性。

推广：1、对模型进行误差分析，从比较结果可以看出采用多项式拟合方法对各年医疗支出费用的预测是合理的，符合公司的实际情况，可以在公司推广和应用。

2、利用MATLAB软件进行数据处理，得到直观图像及相关数据。

这种做法既减少了大量计算又提高了问题的准确度，值得推广到更大的数据处理问题中。

九．参考文献[1]姜启源.数学模型[M].北京：高等教育出版社,2004.[2]艾冬梅，李艳晴.MATLAB与数学实验[M].北京：机械工业出版社,2010.[3]杨启帆,边馥萍.数学模型[M].北京：浙江大学出版社,1990.十．附录1.已知的表格：1992 16.1114.991993 16.4014.561994 17.0714.551995 16.9614.801996 16.8815.411997 17.2015.761998 19.8716.761999 20.1917.682000 20.0017.332001 19.8117.032002 19.4016.952003 20.4816.662.A公司数据拟合程序：x=1980:2003;y=[8.28,8.76,9.29,10.73,10.88,11.34,11.97,12.02,12.16,12.83,13.90,14 .71,16.11,16.40,17.07,16.96,16.88,17.20,19.87,20.19,20.0,19.81,19.40,20. 48];p2=polyfit(x,y,2);p3=polyfit(x,y,3);p7=polyfit(x,y,7);disp('二阶拟合函数'),f2=poly2str(p2,'x')disp('三阶拟合函数'),f3=poly2str(p3,'x')disp('七阶拟合函数'),f7=poly2str(p7,'x')x1=1980:0.1:2003;y2=polyval(p2,x1);y3=polyval(p3,x1);y7=polyval(p7,x1);x2=2004;y0=polyval(p7,x2)plot(x,y,'rp',x1,y2,'--',x1,y3,'y-',x1,y7);title('A公司医保基金支出情况')legend('拟合点','二次拟合','三次拟合','七次拟合')3.B公司的数据拟合程序：x=1980:2003;y=[8.81,9.31,10.41,11.61,11.39,12.53,13.58,13.70,13.32,14.32,15.84,14.67,14.99,14.56,14.55,14.80,15.41,15.76,16.76,17.68,17.33,17.03,16.95,16.66];p2=polyfit(x,y,2);p3=polyfit(x,y,3);p7=polyfit(x,y,7);disp('二阶拟合函数'),f2=poly2str(p2,'x')disp('三阶拟合函数'),f3=poly2str(p3,'x')disp('七阶拟合函数'),f7=poly2str(p7,'x')x1=1980:0.1:2003;y2=polyval(p2,x1);y3=polyval(p3,x1);y7=polyval(p7,x1);plot(x,y,'rp',x1,y2,'--',x1,y3,'y-',x1,y7);title('B公司医保基金支出情况')legend('拟合点','二次拟合','三次拟合','七次拟合')x2=2004;y1=polyval(p7,x2)4.求A公司从1992—2003年的残差程序：x0=1980:2003;y0=[8.28,8.76,9.29,10.73,10.88,11.34,11.97,12.02,12.16,12.83,13.90,14.71,16 .11,16.40,17.07,16.96,16.88,17.20,19.87,20.19,20.0,19.81,19.40,20.48];x1=1992:2003y1=[16.11,16.40,17.07,16.96,16.88,17.20,19.87,20.19,20.0,19.81,19.40,20.48] ;p7=polyfit(x0,y0,7);x2=1980:0.1:2003;y7=polyval(p7,x2);y=polyval(p7,x1);e=y-y1plot(x1,e,'g');title('A残差图')5. 求B公司从1992—2003年的残差程序x0=1980:2003;y0=[8.81,9.31,10.41,11.61,11.39,12.53,13.58,13.70,13.32,14.32,15.84,14.67,1 4.99,14.56,14.55,14.80,15.41,15.76,16.76,17.68,17.33,17.03,16.95,16.66];x1=1992:2003y1=[14.99,14.56,14.55,14.80,15.41,15.76,16.76,17.68,17.33,17.03,16.95,16.66 ];p7=polyfit(x0,y0,7);x2=1980:0.1:2003;y7=polyval(p7,x2);y=polyval(p7,x1);e=y-y1plot(x1,e,'g');title('残差图')6计算方差程序：n1=[];n2=[];a=[];k1=0;k2=0;b1=0;b2=0;x1=0;x2=0;c=[8.28 8.818.76 9.319.29 10.4110.73 11.6110.88 11.3911.34 12.5311.97 13.5812.02 13.7012.16 13.3212.83 14.3213.90 15.8414.71 14.6716.11 14.9916.40 14.5617.07 14.5516.96 14.8016.88 15.4117.20 15.7619.87 16.7620.19 17.6820.00 17.3319.81 17.0319.40 16.9520.48 16.66];for i=1:24n1(i,1)=c(i,1)-14.885;n2(i,2)=c(i,2)-14.24875; endfor k1=n1(:,1).^2;k2=n2(:,2).^2;endfor i=1:24b1=b1+k1(i,1);b2=b2+k2(i,1);endfor x1=b1/24;x2=b2/24;endx1x2。