图17.1第十七章 真空中的静电场17-1 解: 设等边三角形的边长为a ,则由顶点到中心的距离为.123q q q q ===放在三角形中心的电荷为Q ,Q 与q 反号. Q 受其他三个电荷的合力为零,与Q 的大小无关.一个q 受其他三个电荷的合力大小为21322002cos302424q qQ F F aπεπε-=⨯⨯-⎫⎪⎝⎭)2034q Q a πε=-此合力为零给出Q =∴ 3Q q =17-2 解: 0m +=F g 0q m +=E g343R gmgq E Eρπ==()36548513141641098319210....-⨯⨯⨯⨯⨯=⨯ 1980210C .-=⨯图17.2图17.3图17.45e =17-3 解: 在带电环线上任取一长为d l 的电荷元,其电量d d q l η=.电荷元在O 点的场强为d E ,d E 沿两个轴方向的分量分别为d x E 和d y E .由于电荷分布对于Ox 轴对称,所以全部电荷在O 点的场强沿y 方向的分量之和为零.因而O 点的总场强E 应沿x 轴方向,并且 d x E E =⎰20d sin d d sin 4x l E E R ηθθπε==()d =d l R l R θθ=0sin d d 4x E Rηθθπε=000sin d cos 44E R R ππηθηθθπεπε==-⎰02R ηπε=02Rηπε=E i17-4 解: (1) 选半球球心的坐标原点O d d φ=⋅1E S 1d cos E S ϕ= 21d sin d d S R ϕϕθ= ∴ 21c o s s i n d dER φϕϕϕθ=⎰2220sin2d d 2ER ππϕθϕ=⎰⎰图17.522cos22R E πϕπ=-2R E π=(2) 半球面1S 和任意形状曲面2S 组成闭合曲面.由高斯定理得:12010i'qφφε+==∑内∵ 此时1S 的法向方向与原来相反 ∴211'R E φφπ=-=-∴ 221'R E φφπ=-=17-5 解: (1) 立方体的六个面组成闭合曲面,由高斯定理得 通过闭合曲面的电通量 0qφε=由于正立方体的六个侧面对于其中心对称,所以每个面通过的电通量为 12345606q φφφφφφε======(2) d =d d S φ⋅=⋅E S E n 由于正方体有三个面与E 垂直 ∴1230φφφ===∴ q 所在的三个面的电通量为零以q 为中心,小正方体的边长a 的二倍为边长做一正方体.则通过大正方体的电通量为qε.因为小正方体是大正方体的18,则通过小正方体其它三个面的总电通量为8qε.由于这三个面对电荷所在顶点是对称的,所以通过它们每个面的电通量为0013824q qεε⨯=图17.717-6 解: (1) 设想地球表面为一均匀带电球面,总面积为S .则它所带的总电量为 0d q ES εε=⋅=-⎰E S()212688510200431463710...-=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯590210C .=-⨯(2) 从地面1400m 到地面的大气所带总电量为0d d S'Sq'q q 'εε=-=⋅-⋅⎰⎰E S E S 总00E'S'ES εε=-+ 0001.ES'ES εε=-+ ()001E S .S'ε=- 581110C .=⨯()5331881110431463714637103q'.V ...ρ⨯==⨯⨯-⨯ 12211410C m .-=⨯17-7 解: 根据电荷分布对壁的平分面的面对称性,可知电场分布也具有这种对称性.由此可选平分面与壁的平分面重合的立方盒子为高斯面.高斯定理给出 02q E S ε=内当2dD <时 2q DS ρ=内 0D E ρε=当2dD >时 q dS ρ=内 02d E ρε=方向垂直板面 0q > 向外 0q < 向内图17.917-9 解: (1) （a）1r R<时, Ⅰ区1d0⋅=⎰⎰E S2140E rπ⋅=1E=(b)12R r R<<时, Ⅱ区12dQε⋅=⎰⎰E S2124QE rπεε⋅=1224QErπε=1224Qrπε=E r(c)2r R>时Ⅲ区123dQ Qε+⋅=⎰⎰E S21234Q QE rπε+⋅=12324Q QErπε+=12324Q Qrπε+=E r(2) (a)2r R>时Ⅲ区()12332d d4r rQ QU rrπε∞∞+=⋅=⎰⎰E r r12120044rQ Q Q Qr rπεπε∞++=-=图17.10(b) 12R r R << Ⅱ区()22223d d R rR U r ∞=⋅+⋅⎰⎰E r E r221122200d d 44R rR Q Q Q r r rr πεπε∞+=+⎰⎰221120044R rR Q Q Q rrπεπε∞+=--120214Q Q r R πε⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(c) 1r R <时, Ⅰ区 ()12121123d d d R R r R R U r ∞=⋅+⋅+⋅⎰⎰⎰E r E r E r2121122200d d 44R R R Q Q Q r r rr πεπε∞+=+⎰⎰2121120044R R R Q Q Q rrπεπε∞+=--1201214Q Q R R πε⎛⎫=+ ⎪⎝⎭17-10 解: (1) 情况(a)可以间接用高斯定理求解,情况(b)不可以.(2) 这是一个非对称分布的电荷,因而不能直接用高斯定理求定解.但半径为R 的球及半径为r 的空腔是球对称的.可以利用这一特点把带电体看成半径为R 的均匀带电ρ+的球体与半径为r 的均匀带电ρ-的球体迭加.相当于在原空腔处补上体电荷密度为ρ+和ρ-的球体.这时空腔内任一点P 的场强12=+E E E其中1E 与2E 分别是带ρ+的大球和带ρ-的小球在P 点的场强. 1E 与2E 都可用高斯定理求得.图17.11()1113ρε==E r OP r()2223'ρε=-=E r O P r()120033ρρεε=-=OO'E r r r 由上述结果可知在空腔内各点场强都相等,方向由O 指向O',这是均匀场.17-11 解: 如图选取高斯面 (1) r R <时210d d r l πρε⋅=⎰⎰E S210d 2d r lE r l πρπε⋅=102r E ρε=102r ρε=r E e r R >时220d d R l πρε⋅=⎰⎰E S220d 2d R lE r l πρπε⋅=2202R E r ρε=2202R rρε=r E e(2) 求电势,选圆锥面为等势面 r R <时 ()2200d d 24RRr rrr U r R r ρρεε=⋅==-⎰⎰E r图17.12图17-13r R >时2200d d ln 22RRr rrR R RU r r rρρεε=⋅==⎰⎰E r17-12 解: (1) 根据场强迭加原理,O 点的场强 012340=+++=E E E E E (2) 根据电势迭加原理, O 点的电势 01234U U U U U =+++ 044qrπε=99244010910510.--⨯⨯⨯⨯=⨯()328810v .=⨯(3) ()000A q U =-()93101028810..-=⨯⨯-⨯628810J .-=-⨯(4) W A ∆=- 628810J .-=⨯17-13 解: (1) 00104q q U R R πε⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 0143D q q U R R πε⎛⎫=-⎪⎝⎭06q Rπε=-()00D A q U U =-006q qRπε=图17-15图18.1(2) 0U ∞=()0D A q U U ∞=-- 006q qRπε=17-14 解：（1）68310100310V U Ed ∆==⨯⨯=⨯ （2）一次释放的能量为8931030910J W q U =∆=⨯⨯=⨯17-15 （1）00d P rU =⋅⎰E r00cos d E r θ=⎰0cos r E r = 0cos E r θ=- 0E z =-（2）将电荷由P 点移至O 点，电场力所做的功为()P O P O A W W q U U =-=- 0co s q E r θ=- 0q E z =- ∴ 0cos P W qE r θ=- 0q E z=- 第十八章 静电场中的导体和电介质18－1 解：（1）B,C 极接地，所以B,C 极为零电势。
即A 极与B 极间的电压AB U 与A 极与C 极间的电压AC U 相等。
设B极的两表面由于静电感应所带面电荷密度分别为B 'σ和B σ。
C 极两表面由于静电感应所带面电荷密度分别为C 'σ和C σ。
由于B,C 极接地。
∴ 0B 'σ=0C 'σ= 如果0B 'σ≠ 0C 'σ≠，则会有电力线从B,C 外表面发出或终止，则0B U U ∞≠=，0C U U ∞≠≠。
∴ 0B 'σ=0C 'σ=。
在导体B 中取一点P ，则由于静电平衡0P =E 。
P E 的场强是由五个无限大带电平面在P 点产生的场强的矢量合。
0000022222C C B B A P ''σσσσσεεεεε=----E k k k k k ∴0B A C σσσ++= ①()()()()000000000000222222222222C B A C B A CB A A B AC A l l l U l d l d l d l U d l σσσεεεσσσεεεσσσεεεσσσεεεI ∏I ∏⎧=--⎪⎪⎪=+-⎪⎪⎨⎪⎡⎤=⋅-=-++⎣⎦⎪⎪---⎪⎡⎤=⋅-=+-⎣⎦⎪⎩E k k k E k k k E k E k ⇒ ()()()B A C B A C l l l d l d l d l σσσσσσ-++=-+--- ②① ②联立，求解得：C A ld σσ=-B A d l dσσ-=-∴ B B A d l d lQ S S Qd d σσ--=⋅=-⋅=- C C A l lQ S S Q d dσσ=⋅=-⋅=-（2）000222C B A σσσεεεI =--E k k k 000222A A A l d ld d σσσεεε-=--+k k k 0222Q l S d ε⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭k图18.7()0Q d l Sd ε-=-k()0d d zz Q d l U z SdεI I -=⋅=-⎰⎰E l()0Q d l z Sdε-=000222C B A σσσεεε∏=+-E k k k 000222A A l d ld d σσεεε-=-+-k k k 0Ql sdε=k ()00d d ddzzQl d z QlU z Sd Sdεε∏∏-=⋅==⎰⎰E l18－6 解：204max q E R πε=04max q U E R Rπε==⋅ KV3200mm=⨯600KV = 5610V =⨯18－7 解：（1）① 3C ，4C ，5C 串联3453451111C C C C =++ 3451F C =μ345C 与6C 并联 则345634563F C C C =+=μ② 3456C 与2C ，7C 串联，电容为C'3456271111C'C C C =++1F C'=μC'与8C 并联，电容为C''。