数学的语法规则——逻辑推理主题1 数学的语法规则——逻辑推理同学们，我们知道语文和外语都有自己的语法规则，数学作为一门描述大自然和经济生活的语言，当然也有自己的语法规则，这就是逻辑推理.法国著名的哲学家、数学家和物理学家笛卡尔曾经讲过：“几何学家惯于在极其困难的证明中运用简单而又容易的推理长链达至结论.这使我设想，凡是人能认识的事物全都以此方式相互联系，没有什么由于遥远而我们达不到的，或者由于隐蔽而发现不了的，只要我们力戒以假作真，始终在思想中保持从一个真理演绎出另一个真理所必需的秩序.”这段话深刻地说明逻辑推理对于数学和生活中的重要作用.正因如此，宝爸宝妈们已经从娃娃开始培养孩子的逻辑推理能力.【数学史话】逻辑学的历史和现状大约在公元前6世纪左右，古代中国、古代印度和古希腊的学者，就各自独立地建立了自己的逻辑学说.他们分别是“名辨之学”、因明和古希腊的逻辑学.其中，古希腊的逻辑学最为系统，因而在世界逻辑学发展史上影响也最大、最深.古希腊学者亚里士多德被认为是古希腊逻辑学的创始人，他在其由后人整理并取名为《工具论》的著作中，第一次全面、系统地论述了传统形式逻辑，提出了有关范畴、命题、三段证明和谬误等一系列重要论述和思想.他所创立的逻辑学，逻辑史上称之为古典的或传统的形式逻辑（“形式逻辑”这一称呼是17世纪康德提出的）或古典的演绎逻辑.这一逻辑的主要特点在于：它是建立的对范畴的研究基础之上，即它主要涉及范畴、又范畴组成的命题、由命题组成的三段论和论证等.这是古代逻辑中较为完整地建立起来的一个三段论系统，它构成了逻辑的一个初等的、但是重要的部分.亚里士多德以后，麦加拉-斯多葛学派研究了亚里士多德逻辑中欠缺的有关假言命题、选言命题、连言命题等属于复合命题的问题，研究了由这些命题所组成的各种推理形式及其规则，奠定了命题逻辑的基础.这是传统形式逻辑的一个重大发展，极大地丰富了传统形式逻辑、主要是演绎逻辑的内容.在近代，法国的阿尔诺与尼科尔根据笛卡尔的哲学、逻辑和方法论观点，于1662年发表了《逻辑或思维的艺术》一书.该书成为欧洲近代逻辑的范本，是传统形式逻辑，主要是传统演绎逻辑的主要代表作之一.17世纪末，法国哲学家莱布尼茨提出了逻辑数学化的思想，他在其1666年发表的《论组合术》一书中，提出了建立一种表意的普遍语言及思维演算，并成功地把命题表达为符号式，被公认为数理逻辑的先驱者.随后不到100年，英国数学家布尔用数学方法首倡了第一个逻辑演算系统-布尔代数，并把其中的符号解释为类时，布尔代数即为类代数，以及类逻辑的代表化，从而，把莱布尼茨的设想变成了现实，成为数理逻辑的早期形式.其后，再经德摩根、弗雷格等人的努力到 20世纪初，罗素和怀德合著《数学原理》，总结了前人的研究成果，建立了一个完全的命题演算与谓词演算系统，标志着数理逻辑作为一门独立的科学达到了成熟阶段.树立逻辑是再传统逻辑基础上发展起来的，因而被是为形式逻辑的现代类型，一般也称之为现代形式逻辑或简称现代逻辑.近几十年来，现代逻辑得到迅速发展，至今已成为拥有众多分支的学科.古代中国的逻辑学说形成于春秋战国时期，称为“名辨之学”.名家的邓析以及稍后的惠施和公孙龙，儒家的孔子，墨家的墨子，都对名辩逻辑的产生做出了重要贡献.后期墨家则在《墨经》中建立起一个逻辑体系，达到了中国古代逻辑发展的高峰.此后，荀子、韩非等也对名辩逻辑的发展起到了重要作用.可惜秦汉以后，由于种种原因，我国古代曾经兴起一时的逻辑学说却走向了衰落，没有获得进一步发展.直到近代，随着西方逻辑的传入，我国的逻辑研究才重又复兴，先秦时期的宝贵遗产也得到了重视.数学家、逻辑学家布尔布尔（Boole·George）是英国数学家及逻辑学家,1815年11月2日生于林肯，1864年12月8日卒于爱尔兰的科克.布尔是鞋匠之子，他完全靠自己的力量爬上去.他原想做牧师，但是他十六岁时在私立学校教数学，到1835年他自己开办一所学校.1849年，（尽管他没有张三走的原因是：“该来的没有来”的等价命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的，所以走了．李四走的原因是：“不该走的又走了”的等价命题是“没有走的人是该走的”，李四觉得自己是应该走的．例2.判断命题“已知a ,x 为实数，若关于x 的不等式22(21)20x a x a ++++≤的解集非空，则1a ≥”的逆否命题的真假.分析1：写出原命题的逆否命题，直接判断其真假.解法1：原命题的逆否命题为“已知a ，x 为实数，若1a <，则关于x 的不等式22(21)20x a x a ++++≤的解集为空集”.判断如下：抛物线22(21)2y x a x a =++++开口向上，判别式22(21)4(2)47a a a ∆=+-+=-.因为1a <，所以470a -<，即抛物线22(21)2y x a x a =++++与x 轴无交点，所以关于x 的不等式22(21)20x a x a ++++≤的解集为空集.故逆否命题为真.分析2：先判断原命题的真假，再利用原命题与其逆否命题的等价关系判断原命题的真假.解法2：因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式22(21)20x a x a ++++≤的解集非空，所以22(21)4(2)470a a a ∆=+-+=-≥，所以74a ≥. 因为714a ≥>，所以原命题为真. 又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真.分析3：因为问题涉及到不等式的解集，可利用集合的包含、相等关系求解.解法3：命题p ：关于x 的不等式22(21)20x a x a ++++≤有非空解集，命题q ：1a ≥.所以p ：{A a =关于x 的不等式22(21)20x a x a ++++≤有实数集}227{(21)4(2)0}{}4a a a a a =+-+≥=≥，q ：1a ≥. 因为A B ⊆，所以“若p ，则q ”为真，所以其逆否命题“若q ⌝，则p ⌝”为真，所以原命题的逆否命题为真.公务员考试中的常用逻辑问题每道题选给出定义，然后列出四种情况，要求你严格依据定义，从中选出一个最符合或最不符合该定义的答案.注意：假设这个定义是正确的，不容置疑的.1.集合概念是以事物的集合体为反映对象的概念.集合体是由许多个体组成的统一整体，集合体所具有的属性，只为该集合体所具有，而不必为这个集合体中的某一个体所具有.集合概念所涉及的关系不同于类和分子的关系，也不完全同于整体和部分的关系.组成类的各个分子都必然具有类的属性，而组成集合体的个体却不具有集合体的属性；整体是由不同的部分组成的，而集合体则是由同类的个体组成的.根据上述定义，下列划线语词在当前语境下所反映的概念不是集合概念的是：A.人定胜天B.主权在民C.羊入虎口D.正义之师2.命题可以分为四种：①伪命题，指的是无真假可言的命题；②永真命题，指的是不论在何种情况下都不可能假的命题；③永假命题，指的是不论在何种情况下都不可能真的命题；④可满足命题，指的是在有些情况下为真在有些情况下为假的命题.根据上述定义，下列属于永真命题的是：A.存在即合理B.思想或者是可捉摸的，或者不可捉摸的C.人既能在不同时间跨进同一条河流，又不能在不同时间跨进同一条河流D.地球是一直围绕太阳旋转的3.相邻效应指的是个体或者组织的付出和其应该获得的利益之间存在不一致，但由此形成的费用差别和收益差别在社会上却没有相应的弥补来源.根据上述定义，下列不涉及相邻效应的是：A.某厂训练的熟练工跳槽到其他厂家工作B.工厂的生产活动中产生的允许范围内的噪音对周边居民的生活有影响C.甲厂生产的品牌电脑非常畅销，乙厂也盗用该品牌进行销售D.邻居甲家养护良好的草坪花木常常使得习惯早起的乙神清气爽4.直接证据是指能够直接证明刑事案件主要事实的证据，间接证据是指不能够单独地直接证明刑事案件主要事实，需要与其他证据相结合才能证明的证据.所谓刑事案件的主要事实，是指犯罪行为是否系犯罪嫌疑人、被告人所实施.根据上述定义，下列属于直接证据的是：A.小区监控拍摄下的犯罪嫌疑人李某盗窃车辆的视频B.被害人的邻居王某提供的犯罪嫌疑人在案发前到过案发现场的证言C.刑警在凶案现场提取到的男性鞋印D.诈骗案受害人姜某提供的自己所遭受的金钱损失的银行记录5.布利丹效应源于法国哲学家布利丹讲述的一个寓言故事：一头驴子外出觅食，发现两堆相距不远的草料.东边是一大堆干草料，西边是一小堆新鲜的嫩草.驴子很高兴，跑到大堆的干草料处，刚要吃，突然想到西边草料那么新鲜，肯定好吃，不去可能会被别的驴子吃掉.于是它就跑到嫩草堆前，刚要吃又想，这堆草虽然很嫩，可别的驴子把那一大堆干草料吃光的话自己就要饿肚子了，还是回去吃干草吧！就这样来来回回，这只可怜的驴子，最后饿死在草堆旁. 根据上述定义，下列不符合布利丹效应的是：A.弈者举棋不定，终之拜矣B.一山望着一山高C.凡事预则立，不预则废D.鱼，我所欲也；熊掌，亦我所欲也答案：1.D此定义的关键词是“由许多个体组成的统一整体”，很显然A选项中的“人”、B选项中的“民”、C选项中的“羊”都符合这个定义要求.此题要求选择不是集合概念的，D选项中的“师”是对某类部队的定性，不是个体组成的整体，因而选择D.2.B此题属于定义匹配题.要选择属于“永真命题”的，此定义的关键词是“不论在何种情况下都不可能假”，B选项是或关系命题，对于或关系来说，只要一真则全真，因而符合该定义要求；A选项属于“可满足命题”；C选项属于“伪命题”；D选项属于“可满足命题”.所以此题选择B选项.3.B此定义的关键词是“个体或者组织的付出和其应该获得的利益之间存在不一致”，B 选项不涉及“付出和利益的不一致”；A 选项中“熟练工跳槽”、C 选项中“乙盗用品牌”、D 选项中“甲养的花而获利的是乙，存在不一致”.此题选择不涉及该定义的，因而选择B 选项.4.A双定义题，要求选择属于“直接证据”的，此定义的关键词是“能够直接证明刑事案件主要事实”，A 选项符合定义的要求，监控视频可以直接证明案件事实；B 选项中“在案发前到过案发现场的证言”，只是“案发前的”不能直接证明事实；C 选项中的“在现场提取的脚印”也无法直接证明事实；D 选项中的“遭受损失的银行记录”需要结合其他证据方可证明事实，这三者属于间接证据.因而此题选择A 选项.5.C布利丹效应的寓言故事实质反映了“人们在做决策时犹豫不决、难作决定的现象”.A 、B 、D 选项很明显符合这一实质.而C 选项强调的是“提前制定计划的重要性”，此题要求选择不符合的，因而选择C 选项.【思维导航】 从集合角度理解充要条件充要条件可以从集合的包含关系的角度来理解它们之间的对应关系，设满足条件p 的对象组成的集合为P ，满足条件q 的对象组成的集合为Q.（1） 若P Q ⊆，则p 为q 的充分条件，其中当P Q 时，p 为q 的充分不必要条件；（2） 若Q P ⊆，则p 为q 的必要条件，其中当Q P 时，p 为q 的必要不充分条件；（3） 若P Q ⊆且Q P ⊆，即P=Q ，则p 为q 的充要条件；（4） 如果以上三种关系均不成立，即P 、Q 之间没有包含或相等关系（P Q ⊄且Q P ⊄），此时P Q =∅或P 、Q 既有公共元素，也有非公共元素，则p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件.例1．已知p: x x 8202-≥，q: 22210(0)x x m m -+-≤>，若非p 是非q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.解析：由22210x x m -+-≤得11(0)m x m m -≤≤+>，所以“q ”所表示的集合为A= {}11(0)x m x m m -≤≤+>；由x x 8202-≥得210x -≤≤，所以“p ”所表示的集合为B={}210x R x ∈-≤≤，由非p 是非q 的必要不充分条件知，非p ⇒非q 但非q ⇒非p ，其逆否命题是：p q ⇒但q p ⇒，故B ⊂A0129110m m m m >⎧⎪∴-≤-⇒≥⎨⎪+≥⎩，故m 的取值范围为9m ≥.评注：复杂的推理问题常采用等价转化思想，可使问题简单化，具体化，互为逆否命题是等价命题，再转化为集合包含关系求解，这种转化思想重要，要注意灵活应用.蜂窝猜想4世纪古希腊数学家佩波斯提出，蜂窝的优美形状，是自然界最有效劳动的代表.他猜想，人们所见到的、截面呈六边形的蜂窝，是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的.他的这一猜想称为"蜂窝猜想"，但这一猜想一直没有人能证明.美密执安大学数学家黑尔宣称，他已破解这一猜想.蜂窝是一座十分精密的建筑工程.蜜蜂建巢时，青壮年工蜂负责分泌片状新鲜蜂蜡，每片只有针头大小而另一些工蜂则负责将这些蜂蜡仔细摆放到一定的位置，以形成竖直六面柱体.每一面蜂蜡隔墙厚度及误差都非常小.6面隔墙宽度完全相同，墙之间的角度正好1200，形成一个完美的几何图形.人们一直疑问，蜜蜂为什么不让其巢室呈三角形、正方形或其他形状呢?隔墙为什么呈平面，而不是呈曲面呢?虽然蜂窝是一个三维体建筑，但每一个蜂巢都是六面柱体，而蜂蜡墙的总面积仅与蜂巢的截面有关.由此引出一个数学问题，即寻找面积最大、周长最小的平面图形. 1943年，匈牙利数学家陶斯巧妙地证明，在所有首尾相连的正多边形中，正六边形的周长是最小的.但如果多边形的边是曲线时，会发生什么情况呢?陶斯认为，正六边形与其他任何形状的图形相比，它的周长最小，但他不能证明这一点.而黑尔在考虑了周边是曲线时，无论是曲线向外突，还是向内凹，都证明了由许多正六边形组成的图形周长最小.他已将19页的证明过程放在因特网上，许多专家都已看到了这一证明，认为黑尔的证明是正确的.加拿大科学记者德富林在《环球邮报》上撰文称，经过1600年努力，数学家终于证明蜜蜂是世界上工作效率最高的建筑者.【拓展提升】中国人数理逻辑思维领先世界背后的语言优势作用中国孩子的数学运算能力和逻辑思维能力向来在世界上广泛得到认可.原因有很多，今天可以站在我这个搞了N年第二语言教学教师的角度来探讨这个问题.中文在阿拉伯数字的发音是非常干净利落的，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10全都是单音节词，而且中文的发音没有时间的概念，也就是说不需要长短音的差异，所以干净利落，全是短音.英文有长短音差异，比如sheet 和shit, sheep 和ship，发音虽然只是长短差异，但是意思相差万里.再看看英文的阿拉伯数字发音，one, two, three ,four, five, six, seven, eight, nine ,ten.其中two, three, four，是需要发长音的，而且还有seven这个双音节词汇.首先从数字的发音上，中国孩子就占了很大的优势.其次，从十进制以上的读法上会更有优势.刚开始学英语的时候，我学英文数字几乎搞得乱七八糟，云里雾里，当时真的是怀疑自己的智商是不是有问题，但是现在想想真不是学生的问题，而是英国人实在不擅长数理逻辑，把语言中表达数概念的数词搞得支离破碎.比如，中国人到了十以后，就是十一、十二、十三…然后是二十一，二十二，二十三.但是我们看看英文，ten 以后，是eleven, twelve, thirteen, fourteen, fifteen, sixteen, seventeen, eighteen, nineteen, twenty, twenty-one.如果暂且说到了二十以后是符合规律的（其实也有特例，比如twenty, thirty, forty, fifty等不符合规律的写法, 按逻辑seventy，sixty才是符合规律的写法）.我们看看英文对从11到19之间的逻辑是无比混乱的.如果我们能以中国人的智商来帮英国人重新建造英文读数体系的话，那么最符合逻辑的应该是tenone ,tentw o ,tenthree, tenfour…直到twenty, 然后tewenty-one, twenty-two….或者沿用英国人的逻辑teen代表十几，那么可以是oneteen, twoteen, threeteen….嗨，纯粹搞笑一把了，老祖宗已经把错误犯下了，要把思维改过来就更难了.所以中国人在数字的读法和写法上又占了优势.其三中国人对于数字的表述更加直观，比如说分数：十分之一，读出来就懂了，是很形象的解释.但是英文的one tenth, two tenths 理解起来就转了很大一个圈了.既然中国人的数理逻辑思维有这么大的优势，那么应该说在数理化我们应该有很大的造诣.这句话没错，中国学生普遍的数理化水平要在世界上领先.但是我们在这些领域的大师却不多，尤其是按照我们的平均水平的比例.这是为什么？还是拉法法教育的观点，在一定的智商上，真正决定一个人成功的是他/她的SEL（Social and emotional learning）能力（社会和情感能力），正如上篇博客中的《异类》一书中提到的智商在195的兰根，正式因为没有和老师沟通和社会沟通的能力，而丧失掉了很多为成功做准备的机会.中国孩子可以凭借语言的先天优势形成数的敏感性，赢在起跑线.但是中国传统教育太注重孩子们记住数理化的知识、规律，前人发现的结果、公式、定理.而忽略了最重要的部分，就是如何带领孩子领略到前人发现这些规律的过程.没有让他们体验式、探究式的去悟道.没有反复让孩子感受到悟的过程，那么我们永远只能作为传承者，而无法作为开拓者，这就是我们缺乏大师的一点原因吧.【数学欣赏】罗素悖论19世纪70年代,德国数学家康托尔创立了集合论,集合论是数学上最具革命性的理论,初衷是为整个数学大厦奠定坚实的基础.1900年，在巴黎召开的国际数学家会议上，法国大数学家庞加莱兴奋的宣布：“我们可以说，现在数学已经达到了绝对的严格.”然而，正当人们为集合论的诞生而欢欣鼓舞之时,一串串数学悖论却冒了出来，又搅得数学家心里忐忑不安,其中英国数学家罗素1902年提出的悖论影响最大,“罗素悖论”的内容是这样的：设集合B是一切不以自身为元素的集合所组成的集合，问：B是否属于B？若B属于B，则B是B的元素，于是B不属于自身，即B不属于B；反之，若B不属于B，则B不是B的元素，于是B属于自己，即B属于B.这样，利用集合的概念，罗素导出了——集合B不属于B当且仅当集合B属于B时成立的悖论.之后，罗素本人还提出了罗素悖论的通俗版本，即理发师悖论.理发师宣布了这样一条原则：他只为村子里不给自己刮胡子的人刮胡子.那么现在的问题是，理发师的胡子应该由谁来刮？.如果他自己给自己刮胡子，那么他就是村子里给自己刮胡子的人，根据他的原则，他就不应给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，那么他就是村子里不给自己刮胡子的人，那么又按他的原则他就该为自己刮胡子.同样有产生了这样的悖论：理发师给自己刮胡子当且仅当理发师不给自己刮胡子.这就是历史上著名的罗素悖论.罗素悖论的出现，动摇了本来作为整个数学大厦的基础——集合论，自然引起人们对数学基本结构有效性的怀疑.罗素悖论的高明之处，还在于它只是用了集合的概念本身，而并不涉及其它概念而得出来的，使人们更是无从下手解决.罗素悖论的提出使数学家们面临着极大的困难.数学家弗雷格在他刚要出版的《论数学基础》卷二末尾就写道：“对一位科学家来说，没有一件比下列事实更令人扫兴：当他工作刚刚完成的时候，它的一块基石崩塌下来了.在本书的印刷快要完成时，罗素先生给我的一封信就使我陷入这种境地.”可见罗素悖论使人们面临多么尴尬的境地.然而科学面前没有人会回避，数学家们立即投入到了消除悖论的工作中，值得庆幸的是，产生罗素悖论的根源很快被找到了，原来康托尔提出集合论时对“集合”的概念没有做必要的限制，以至于可以构造“一切集合的集体”这种过大的集合而产生了悖论.为了从根本上消除集合论中出现的各种悖论，许多数学家进行了不懈的努力.如以罗素为主要代表的逻辑主义学派，提出了类型论以及后来的曲折理论、限制大小理论、非类理论和分支理论，这些理论都对消除悖论起到了一定的作用；而最重要的是德国数学家策梅罗提出的集合论的公理化，策梅罗认为，适当的公理体系可以限制集合的概念，从逻辑上保证集合的纯粹性，他首次提出了集合论公理系统，后经费兰克尔、冯•诺伊曼等人的补充形成了一个完整的集合论公理体系（ZFC系统），在ZFC系统中，“集合”和“属于”是两个不加定义的原始概念，另外还有十条公理.ZFC系统的建立，使各种矛盾得到回避，从而消除了罗素悖论为代表的一系列集合悖论，第三次数学危机也随之销声匿迹了.在消除悖论的过程中数理逻辑也取得了很大发展，证明论、模型论和递归论相继诞生，出现了数学基础理论、类型论和多值逻辑等.可以说悖论引起的第三次数学危机大大促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性，而且也因此直接造成了数学哲学研究的“黄金时代”.哥德巴赫猜想简介克里斯蒂安•哥德巴赫（Christian Goldbach， 1690年3月18日－1764年11月20日），又译歌德巴赫，普鲁士数学家，他在数学上的研究以数论为主，作为哥德巴赫猜想的提出者而闻名.哥德巴赫(C. Goldbach)并不是职业数学家，而是一个喜欢研究数学的富家子弟.他于1690年生于德国哥尼斯堡，受过很好的教育.哥德巴赫喜欢到处旅游，结交数学克里斯蒂安•哥德巴赫哥德巴赫猜想手稿家，然后跟他们通讯.1742年，他在给好友欧拉的一封信里陈述了他著名的猜想——哥德巴赫猜想.在1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和.但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明.因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和.欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和.今日常见的猜想陈述为欧拉的版本.把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b 个的数之和"记作"a+b".1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和".今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”.从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出：任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想.后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”.若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的.弱哥德巴赫猜想尚未完全解决，但1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”.费马大定理简介费马猜想﹝Fermat's conjecture﹞又称费马大定理或费马问题，是数论中最著名的世界难题之一.1637年，法国数学家费马在巴歇校订的希腊数学家丢番图的《算术》第II卷第8命题旁边写道：「将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的.关于此，我确信已发现一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下.」费马去世后，人们找不到这个猜想的证明，由此激发起许多数学家的兴趣.欧拉、勒让德、高斯、阿贝尔、狄利克雷、柯西等大数学家都试证过，但谁也没有得到普遍的证法.300多年以来，无数优秀学者为证明这个猜想，付出了巨大精力，同时亦产生出不少重要的数学概念及分支.。