数学初中竞赛 逻辑推理 专题训练．选择题则不同的站位方法有（ ）3．仪表板上有四个开关，每个开关只能处于开或者关状态，如果相邻的两个开关不能同时 是开的，那么所有不同的状态有（ ）6．﹣2 和 2对应的点将数轴分成 3 段，如果数轴上任意 n 个不同的点中至少有 3 个在其中 之一段，那么 n 的最小值是（）1．某校九年级 6 名学生和 1 位老师共 7 人在毕业前合影留念 站成一行） ，若老师站在中间，A ．6种B ． 120种C ．240 种D ．720 种 2．钟面上有十二个数 1， 2， 3，⋯， 12．将其中某些数的前面添上一个负号，使钟面上所 有数之代数和等于零，则至少要添 n 个负号，这个数 n 是（A ．4B ．5C ．6D ．7A ．6 种B ．7种 4．小明训练上楼梯赛跑．他每步可上同方法共有（ ）（注：两种上楼梯的方法，只要有A ．15 种B ．14 种 5．如图， 2× 5 的正方形网格中，C ． 8 种D ．9 种 2 阶或 3 阶（不上 1 阶），那么小明上 12 阶楼梯的不 1 步所踏楼梯阶数不相同，便认为是不同的上法． ）C ．13种D ．12 种 5张 1×2的矩形纸片将网格完全覆盖，则不同的覆盖 A ．3 种 B ．5种 C ． 8 种 D ．13 种C ．7D ．8A ．5B ．610．如图所示，韩梅家的左右两 侧各摆了 3 盆花，韩梅每次按照以下规则往家中搬一盆花， 先选择左侧还是右侧，然后搬该侧离家最近的，要把所有的花搬到家里，共有（ ） 种不同的搬花顺序．A ． 8B ． 12C ．16D ．2011．如图，在一块木板上均匀钉了 9颗钉子， 用细绳可以像图中那样围成三角形， 在这块木板上，还可以围成 x 个与图中三角形全等但位置不同的三角形，则 x 的值为 （ ）7．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后 出''的原则．如图，堆栈（ 1）的 2 个连续存储单元已依次存入数据 b ，a ，取出数据的 顺序是 a ， b ；堆栈（ 2）的 3 个连续存储单元已依次存人数据 e ， d ， c ，取出数据的顺序 则是 c ，d ，e ，现在要从这两个堆栈中取出这 5 个数据（每次取出 1 个数据），则不同顺 序的取法的种数有（A ．5种B ．6种C ．10种D ．12 种8．用六根火柴棒搭成 4 个正三角形 （如图），现有一只虫子从点 A 出发爬行了 5 根不同的火D ．7 条 并使每条边的两端异色， 若共有 3 种颜色可供使用（并不要求每种颜色都用上） ，则不同的涂色方法为（ ）种．A ．6B ． 12C ．18D ．24 C ．6条9．将四边 ABCD 的每个顶点涂上一种颜色，A ． 8B ． 12C ．15D ．1712．初二（ 1）班有 37 名学生，其中参加数学竞赛的有 30 人，参加物理竞赛的有 20 人，有4 人没有参加任何一项竞赛，则同时参加这两项竞赛的学生共有（ ）人．A ． 16B ． 17C ．18D ．19二．填空题13．湖南卫视推出的电视节目《我是歌手第三季》于 3 月 27 日落下帷幕，歌手韩红夺得歌王称号．在这个节目中，每场比赛 7 位歌手的成绩排位顺序是由现场 500 位大众评委投 票决定的，每场比赛每位大众评委有 3 张票（必须使用）以投给不同的 3 位歌手．在某 一场比赛中，假设全部票都有效，也不会产生并列冠军，那么要夺得冠军至少要 获得 张票． 14．如图，在一个 4×4 的方格棋盘的 A 格里放一枚棋子，如果规定棋子每步只能向上、下装入红、 白、黄三个盒子中， 每个盒子中装有相同颜色的小球． 已（ 1）黄盒中的小球比黄球多；（2）红盒中的小球与白球不一样多；（ 3）白球比白盒中的球少． 则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是 ．16．在表达式 S ＝ 中， x 1、x 2、x 3、x 4 是 1、2、3、4 的一种排列（即： x 1、x 2、x 3、x 4取 1、2、3、4 中的某一个数，且 x 1、x 2、x 3、x 4互不相同）．则使 S 为实数的 不同排列的种数有 种．17．如图，一个田字形的区域 A 、B 、C 、D 栽种观赏植物，要求同一个区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有 4 种不同的植物可供选择，那么有 种栽种方案． 18．6 名乒乓球运动员穿着 4 种颜色的服装进行表演赛， 其中 2 人穿红色的， 2 人穿黄色的，或左、右走一格，那么这枚棋子走 28 步后到达 B 处．（填“一定能”或“一定不 能”或“可能” ） 知：1 人穿蓝色的， 1 人穿黑色的．每次表演选 3 人出场，且仅在服装颜色不同的选手间对局比赛，具体规则是：（1）出场的“ 3人组”中若服装均不相同，则每两人都进行1局比赛，且比赛过的 2 名选手在不同的“ 3 人组”中再相遇时还要比赛．（2）出场的“ 3人组”中若有服装相同的2名选手，则这 2 名选手之间不比赛，并且只派1 人与另 1 名选手进行 1 局比赛．按照这样的规则，当所有不同的“ 3 人组”都出场后，共进行了局比赛．19．将1、2、3、⋯、64 填入右图8×8 的表格中，每格一个数．如果某格所填的数至少大于同行中的 5 个，且至少大于同列的 5 个，那么就将这个格子涂上红色．涂上红色的格子最多个．三．解答题20．120人参加数学竞赛，试题共有 5 道大题，已知第1、2、3、4、5 题分别有96、83、74、66、35人做对，如果至少做对 3 题便可获奖，问：这次竞赛至少有几人获奖？21．某校一间宿舍里住有若干位学生，其中一人担任舍长．元旦时，该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51 张贺卡．问这间宿舍里住有多少位学生．22．世界杯足球赛每个小组共有四个队参加比赛， 采用单循环赛制 （即每两个队之间要进行一场比赛），每场比赛获胜的一方得 3 分，负的一方得 0 分，如果两队战平，那么双方各 得 1 分，小组赛结束后，积分多的前两名从小组出线．如果积分相同，两队可以通过比 净胜球或其他如抽签等方式决定谁是第二名，确保有两支队伍出线．6 分，是否一定从小组出线？3 分，能从 小组出线吗？2 分，能从小组出线吗？1 分，有没有出线的可能？ 23．把一条宽为 1厘米的长方形纸片对折 n 次，得到一个小长方形，宽仍然是 1 厘米，长是整数厘米．然后，从小长方形的一端起，每隔 1 厘米剪一刀，最后得到一些面积为 1 平 方厘米的正方形纸片和面积为 2 平方厘米的长方形纸片． 如果这些纸片中恰好有 1282 块 正方形，那么，对折的此数 n 共有多少种不同的数值？24．圆周上的十个点将圆周十等分， 连接间隔两个点的等分点，共得到圆的十条弦，它们彼此相交，构成各种几何图形．图中有多少个平行四边形？1）某队小组比赛后共得 2）某队小组比赛后共得 3）某队小组比赛后共25．足球的球面由若干个五边形和正六边形拼接而成，已知有12 块正五边形，则正六边形的块数是？26．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2P3⋯P m中，若1≤i < j ≤m时，P i > P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列（n+1）n（n﹣1）⋯321 的逆序数为a n，如排列21 的逆序数a1＝1，排列4321 的逆序数a3＝6．（1）求a4、a5，并写出a n的表达式（用n 表示，不要求证明）；（2）令b n＝+ ﹣2，求b1+b2+⋯b n 并证明b1+b2+⋯b n<3，n＝1，2，⋯．参考答案．选择1．解：老师在中间，故第一位同学有6种选择方法，第二名同学有 5 种选法，第三名同学有 4 种选法，第四名同学有 3 种选法，第五名同学有 2 种选法，第六名同学有 1 种选法，所以共有6×5×4×3×2×1＝720 种．故选：D．2．解：因为1+2+3+⋯+11+12＝78，所以78÷ 2＝39，也就是添上负号的数的和为﹣39，其余数的和为39 使代数和等于零，要填负号最少，首先从大数前面加负号，因此﹣10﹣11﹣12＝﹣33，﹣33﹣6＝﹣39，由此得到至少要添 4 个负号．故选：A．3．解：我们用O表示开的状态，F 表示关的状态，则各种不同的状态有OOO，OOOO，F OOFO，OFO，O FOO，O FOFO，OFO，F FOOF共8种状态．故选：C．4．解：设小明上n 阶楼梯有a n 种上法，n 是正整数，则a1＝0，a2＝1，a3＝1．由加法原理知a n＝a n﹣2+a n﹣3，n≥4．递推可得a4＝a2+a1＝1，a5＝a3+a2＝2，a6＝a4+a3＝2，a7＝a5+a4＝3，a8＝a6+a5＝4，a9＝a7+a6＝5，a10＝a8+a7＝7，a11＝a9+a8＝9，a12＝a10+a9＝12．故选：D．5．解：如图所示，直线代表一个1×2 的小矩形纸片：＝ 8 （种）． 答：不同的覆盖方法有 8 种．故选： C ．6．解：∵令每个抽屉最多有 2 个点，则最多有 6 个点，∴n ≥7．故选： C ．7．解：先取出堆栈（ 1）的数据首次取出的只能是 a ，可以有下列情况，abcde ， acbde ，acdbe ， acdeb 四种情况；先取出堆栈（ 2）的数据首次取出的只能是 c ，可以有下列情况，cdeab ， cdabe ，cdaeb ， cabde ， caedb ， cadeb 六种情况，综上所知，共 10 种取法．故选： C ．8．解：从点 A 出发爬行了 5 根不同的火柴棒后，到了 C 点，不同的爬行路径有 ：① AB ﹣BC ﹣CA ﹣AD ﹣DC ；②AB ﹣BC ﹣CD ﹣DA ﹣AC ；③ AC ﹣CB ﹣BA ﹣AD ﹣DC ；④ AC ﹣CD ﹣DA ﹣AB ﹣ BC ；⑤ AD ﹣ DC ﹣CA ﹣ AB ﹣BC ；⑥ AD ﹣DC ﹣CB ﹣BA ﹣AC ．共有 6 条．故选： C ．9．解：设供选用的颜色分别为 1， 2，3 ；当 A 选 1 时，有两种情况：①C 与 A 的颜色相同时， B 、D 的选法有： 1+4+3一、B 选2，D 选3；二、B 选 3，D 选 2；三、B 选2，D 选2；四、B 选3，D 选3； 共 4 种涂色方法；②C 与 A 的颜色不同时，选法有：一、 C 选 2，B 、D 选 3；二、 C 选 3， B 、D 选 2； 共 2 种涂色方法；因此当 A 选 1 时，共有 2+4＝6 种涂色方法；而 A 可选 1、 2、 3三种颜色； 因此总共有 3× 6＝18 种涂色方法．故选 C ．10．解： 韩梅每次只能选择搬左侧或者右侧的花，左侧和右侧分别只能选择三次， 我们将三个左和三个右组成的排列（例如：左左右左右右是一种情况）分别对应一种搬 花的顺序， 并且不同的排列对应不同的搬花顺序，所以三个左和三个右组成的排列的个数与搬花顺 序的个数相同，故只需考虑所以三个左和三个右组成的排列的个数，对于这种排列只需要考虑在置中选择三个为左的个数，这样的个数一共有 ＝ 20．故选： D ．11．解：如图所示：第②个小正方形中符合题意的三角形有 第③个小正方形中符合题意的三角形有 第④个小正方形中符合题意的三角形有 综上可得共有 15 个与图中三角形全等但位置不同的三角形，即x ＝15．故选： C ．12．解：设同时参加两项竞赛的学生有 x 人，根据题意可列出方程：37＝30+20+4﹣x ， 解得 x ＝ 17（人）； 故选： B ．二．填空13．解：∵（ 500×3）÷ 7＝214（张）⋯ 2（张）， 又∵全部票都有效，也不会产生并列冠6 个位第①个小正方形中符合题意的三角形有 3 个；4 个；4 个；4 个；军，∴夺得冠军至少要获得票数＝214+2＝216（张）故答案为：216．14．解：棋子每走一步都有 2 一 4 种可能的选择，所以该棋子走完28 步后，可能出现的情况十分复杂．如果把棋盘上的方格分成黑白相间的两类，且使每个黑格的四周都是白格，那么，棋子从黑色 A 格出发，第一步必定进人白格；第二步必定进人黑格，第三步又进入白格⋯也就是说棋子走奇数步时进人白格；走偶数步时，进人黑格，所以当棋子从A格出发28 步后，必定落在黑格．故这枚棋子走28 步后可能到达B处．故答案为：可能．15．解：由条件（2）知红盒不装白球，由条件（3）知白盒不装白球，故黄盒装白球．假设白盒装黄球，由条件（3）知白球比黄球少，这与条件（1）矛盾，故白盒装红球，红盒装黄球．故答案为：黄、红、白．16．解：∵ x1﹣x2+x3﹣x4≥0，∴ x1+x3≥x2+x4；符合条件的排列数是：P44﹣C42P22＝24﹣8＝16（种）故答案为：16．17．解：若A，C种同一种植物，则A，C有4× 1种栽种方法，B，D都有 3 种栽种法，共有4× 3×3＝36 种栽种方案；若A，C种不同的植物，则有4×3 种栽种法，B，D都有2种栽种法，一共有4×3×2×2＝48 种栽种法．所以共有36+48＝84 种．故答案为：84．18．解：将穿红色服装的 2 名选手表示为平行直线l 1、l 2；将穿黄色服装的 2 名选手表示为另两条平行直线l 3、l 4；将穿蓝色、黑色服装的选手表示为相交直线l 5、l 6、且与l 1、l 2、l3、l 4均相交，这就得到了图1，图中无三线共点．（1）“3人组”的服装均不相同时，按规则，对应着3 条直线两两相交，其比赛局数恰为图中的线段数（图2）因为l 1、l 2、l 3、l 4上各有 4 个交点，每条直线有6条线段，共有24条线段．（2）当“3 人组”有2人服装相同，按规则，其比赛局数恰好为图中的线段数（图3）因为l 5、l 6上各有 5 个交点，每条直线上都有10条线段，共得20条线段．44 局．19．解：因为一行有8 个数，至多有3 个数可以大于同行的 5 个数，只有当这两个数分别同时大于所在列的 5 个数时，涂上红色，所以一行最多有3个涂上红色，8行最多有3×8＝24 个涂上红色，如图所示：1 所在位置，都可以涂成红色．故答案为：24．三．解答20．解：将这120 人分别编号为P1，P2，⋯，P120，并视为数轴上的120 个点，用A k表示这120 人之中未答对第k题的人所成的组，| A k| 为该组人数，k＝1，2，3，4，5，则|A1| ＝24，| A2| ＝37，| A3| ＝46，| A4| ＝54，| A5| ＝85，将以上五个组分别赋予五种颜色，如果某人未做对第k 题，则将表示该人点染第k 色，k＝1，2，3，4，5，问题转化为，求出至少染有三色的点最多有几个？由于| A1|+| A2|+| A3|+| A4|+| A5| ＝246，故至少染有三色的点不多于＝82 个，图是满足条件的一个最佳染法，即点P1，P2，⋯，P85这85 个点染第五色；点P1，P2，⋯，P37 这37 个点染第二色；点P38，P39，⋯，P83这46 个点染第四色；点P1，P2，⋯，P24 这24 个点染第一色；点P25，P26，⋯，P78这54 个点染第三色；于是染有三色的点最多有78 个．因此染色数不多于两种的点至少有42 个，即获奖人数至少有42 个人（他们每人至多答错两题，而至少答对三题，例如P79，P80，⋯，P120这42个人）．答：获奖人数至少有42 个人．21．解：设有x 个学生，y 个管理员．该宿舍每位学生与赠一张贺卡，那么每个人收到的贺卡就是x﹣1张，那么总共就用去了x （x﹣1）张贺卡；每个人又赠给每一位管理员一张贺卡，那么就用去了xy 张贺卡；每位管理员也回赠舍长一张贺卡，那么就用去了y 张贺卡；∴ x（x﹣1）+xy+y＝51，∴51＝x（x﹣1）+xy+y＝x（x﹣1）+y（x+1）≥x（x﹣1）+x+1＝x2+1（当y＝1 时取“＝”），解得，x≤7；x（x﹣1）+（x+1）y＝51∵51是奇数，而x和x﹣1中，有一个是偶数，∴ x（x﹣1）是偶数，∴（x+1）y 是奇数，∴x 是偶数，而x ≤7，所以x 只有 2 4 6 三种情况；当x＝2 时，y＝（不是整数，舍去）；当x＝4 时，y＝（不是整数，舍去）；当x ＝ 6 时，y ＝3．所以这个宿舍有 6 个学生．22．解：（1）不一定．设四个球队分别为A、B、C、D，如四个球队的比赛结果是 A 战胜了B，D，而B战胜了C，D，C战胜了A，D，D在 3 场比赛中都输了，这样，小组赛之后，ABC三个球队都得 6 分，D队积0 分，因此小组中的第三名积分是 6 分，∴不能出线；（2）有可能出线．如A在3场比赛中获得全胜，而B战胜了C，C战胜了D，D战胜了B，这样，小组赛之后，A积9 分，B、C、D都积 3 分，因此这个小组的第二名，一定是 3 分出线；（3）有可能出线．如 A 队三战全胜，B、C、D之间的比赛都战平，这样这个小组的第二名的积分一定是 2 分，自然有出线的可能．（4）不可能出线．如果只得1分，说明他的3场比赛成绩是1平2负，而他负的两个球队的积分至少是 3 分，他就不可能排到小组的前两名，必然被淘汰．23．解：设长方形的长为a，若n＝1，即对折一次，按题中操作可得1 平方厘米的正方形纸片个数为：（﹣1）× 2＝a﹣2＝1282，解得：a＝1284，2|1284 ，符合条件；若n＝2，即对折 2 次，按题中操作可得 1 平方厘米的正方形纸片个数为：（﹣1）× 2+（﹣2）×（4﹣2）＝a﹣6＝1282，解得：a＝1288，4|1288 ，符合条件；若n＝3，即对折 3 次，按题中操作可得 1 平方厘米的正方形纸片个数为：（﹣1）× 2+（﹣2）×（8﹣2）＝a﹣2×（8﹣1）＝1282，解得：a＝1296，8|1296 ，符合条件；对一般的n，得到的正方形个数为；a﹣2×（2n﹣1），另a﹣2×（2n﹣1）＝1282，解得：a＝2×（2n﹣1）+1282＝2× 2n+1280，若2n| a，则符合条件，显然，当2n|1280 时符合条件，1280＝28×5，∴n可取 1 到8，对折的次数n共有8 种不同的可能数值．24．解：连接圆周上的十个等分点的“对径点”）］＝3﹣<3．则可得 5 条直径， 因为每条直径是一个平行四边形的较长的那条对角线， 所以可得 5 个平行四边形．即图中有 5 个平行四边形．25．解：设正六边形有 5x 块，则正五边形有 3x 块， 由题意得：共有 12 块正五边形，即 3x＝ 12， 解得： x ＝4， 5x ＝20．即正六边形的块数是 20 块．26．解：（1）由排列 21的逆序数 a 1＝1，排列 4321的逆序数 a 3＝6，得 a 4＝4+3+2+1＝10，a 5＝ 5+4+3+2+1＝15，∴ a n ＝ n +（n ﹣1） +⋯+2+1又∵ n ＝1， 2，⋯，∴ b 1+b 2+⋯ b n ＝ 3 ﹣ 2）∵ a n ＝ n +（n ﹣1） +⋯ +2+1＝ ， b n ＝ ﹣2，∴b n∴ b 1+b 2+⋯ +b n ＝2[。