知识点小结：
1． 函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线2
a b x +=对称；特别的，当()y f x =满足()()f a x f a x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线x a =对称；
2． 函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=时，函数()y f x =的图象关于点,22a b c +⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称；特别的，当函数()y f x =满足()()0f a x f a x ++-=时，函数()y f x =的图象关于点(),0a 对称；
3． 一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有
(T)()f x f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期；
4． 对于非零常数A ，若函数()y f x =满足(A)()f x f x +=-，则函数()y f x =必有一个周期为2A ；
5． 对于非零常数A ，函数()y f x =满足1(A)()
f x f x +=，则函数()y f x =的一个周期为2A ；对于非零常数A ，函数()y f x =满足1()()
f x f x =-，则函数()y f x =的一个周期为2A . 例1：()f x 为定义在R 上的偶函数，且()()22f x f x -=+对x R ∈恒成立.
⑴ 求证：()y f x =为周期函数；
⑵ 当[]0,2x ∈时，()2
f x x x =-，求函数()f x 在[]2,6上的解析式.
例2：若定义在上的函数对任意，都有成立，且时，成立．
（1）证：是上的增函数； （2），解关于的不等式．
R ()x f R x x ∈11,()()()12121-+=+x f x f x x f 0>x ()1>x f ()x f R ()54=f x ()
3232<--x x f
1、函数()11f x x x =++-是_________函数．（填奇偶性）
2、已知函数b a bx ax x f +++=3)(2，其定义域为[]a a 2,1-， )(x f 为偶函数，则b =______．
4、函数1sin )(3++=x b ax x f ，若2f =，则
(f 的值为___________．
5、奇函数()f x 的定义域是R ，当0x >时，2()22f x x x =-++，则()f x 在R 上的表达式为_______________.
6、已知)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，若1
1)()(-=+x x g x f ，则)(x f 的解析式是_________. 8、若函数()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，且在[]0,1-上为减函数，若2(1)(45)0f a a f a --+->，则实数a 的取值范围为________________.
9、函数()(0)y f x x =≠是奇函数，且当(0,)x ∈+∞时是增函数，若(1)0f =，求不等式1[()]02f x x -<的解集.
10、已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+.
（1）求证：()f x 是奇函数； （2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f .
11、设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称，对任意121,0,2x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()()1212f x x f x f x +=⋅ 且()10f a =>.
（1）求14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）证明()f x 是周期函数.。