函数的对称性、奇偶性和周期性的综合运用一．函数的对称性（一）函数)(x f y = 的图象自身对称 1、轴对称对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =图象关于直线22)()(ba xb x a x+=-++=对称.推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称.推论2：)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称.推论3：)2()(x a f x f +=-⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称.求对称轴方法：22)()(ba xb x a x +=-++=2、中心对称对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2(c ba +对称.推论：b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称.推论：b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称. 推论：b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称.求对称中心方法：.22,2)()(c c y x b x a x ==-++=纵坐标横坐标小结: 轴对称与中心对称的区别轴对称：f(a+x)= f(b-x)中，自变量系数互为相反数（内反），函数值相等(差为零)； 中心对称：f(a+x)= - f(b-x)+2c 中，自变量系数互为相反数（内反），函数值和为定值. （二）两个函数的图象相互对称 1、函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=图象关于直线2ab x -=对称；特别地，函数y ＝f(a ＋x)与y ＝f(a －x)关于直线x=0(y 轴)轴对称；函数)(x f y=与函数)(x f y -=图象关于y 轴对称；求对称轴方法：令a+x=b-x,得 2a b x -=.2、函数y ＝f(a ＋x)+c 与y ＝－f(b －x)+d 关于点)2,2(d c a b +-中心对称；特别地，函数y ＝f(a ＋x)与y ＝－f(a －x)关于点（0,0）（原点）中心对称.函数)(x f y =与函数)(x f y --=图象关于原点对称函数.求对称中心方法：横坐标令a+x=b-x,得2ab x -=，纵坐标y=.2d c +二． 函数的奇偶性1. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝f(x) （f(x) －f(－x)＝0），那么函数f(x)叫做偶函数．偶函数的图象关于y 轴（x=0）对称．推论：若y ＝f(x ＋a)为偶函数，则f(x ＋a)＝f(－x ＋a)，即y ＝f(x)的图像关于直线x ＝a 轴对称. 2. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝－f(x) （f(x) +f(－x)＝0），那么函数f(x)叫做奇函数．奇函数的图象关于原点(0,0)对称.推论：若y ＝f(x ＋a)为奇函数，则f(－x ＋a)＝－f(a ＋x)，即y ＝f(x) 的图像关于点（a ，0）中心对称. 三．函数的周期性1. 定义：对于()f x 定义域内的任意一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期.2. 推论：①()()f x T f x ±=( 0T ≠) ⇔)(x f y =的周期为T.②()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T-=③)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T2=④)(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= ⑤)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2= ⑥)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔)(x f y =的周期为.2a T=⑦1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= ⑧)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 4=⑨)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T6=⑩若.),()(,0p a T a px f px f p =+=>则⑾若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|. 推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期aT 2=⑿若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|. 推论：奇函数)(x f y =满足0)()(=-++x a f x a f ⇔)(x f y =周期aT 4=⒀)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔()f x 的周期T ＝4|a －b|.小结：①函数对称性、奇偶性和周期性定义共同点：“对于函数f(x)定义域内任意一个x ”；②对称性、周期性定义中条件，“内反表示对称性，内同表示周期性”；③定义在Ｒ上的函数)(x f y =，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在.题型分类1. 求函数值例1. 设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，xx f =)(，则)5.7(f 等于（）（A ）; （B ）; （C ）; （D ）.例2.偶函数y ＝f(x)满足条件f(x ＋1)＝f(x －1)，且当x ∈[－1,0]时，f(x)＝3x＋49，则f(13log 5)的值等于( )A ．－1 B.2950 C. 10145D ．1 解：由于偶函数y ＝f(x)满足条件f(x ＋1)＝f(x －1)，，说明函数的周期为2，f(-x)=f(x) 当x ∈[－1,0]时，f(x)＝3x＋49，则对于133log 5=-log 5，f(13log 5)=f(2+13log 5)=f(2- 3log 5)=33log 5＋49=1故可知答案为D. 2．比较函数值大小例3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时，,)(19981xx f =试比较)1998(f 、)17101(f 、)15104(f 的大小. 解：))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，又19981)(xx f = 在[]1,0上是增函数，且1151419161710<<<<，).15104()1998(17101(),1514()1916()171(f f f f f f <<<<∴即 3、求函数解析式例4. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当[]0,2-∈x 时，f(x)=－2x+1，求当[]6,4∈x 时求f(x)的解析式. 例5．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式.解：当[]2,3--∈x ，即[]3,2∈-x ，4)3(24)3(2)()(22++-=+---=-=x x x f x f又)(x f 是以2为周期的周期函数，于是当[]2,1∈x ，即243-≤-≤-x 时，[]).21(4)1(243)4(2)()4()(22≤≤+--=++--=⇒-=x x x x f x f x f 有).21(4)1(2)(2≤≤+--=∴x x x f4、判断（证明）函数性质 例6.已知)(x f 的周期为4，且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立，判断函数)(x f 的奇偶性.解：由)(x f 的周期为4，得)4()(x f x f +=，由)2()2(x f x f -=+得)4()(x f x f +=-，),()(x f x f =-∴故)(x f 为偶函数.例7.已知f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(x+999)=)(1x f -，f(999+x)=f(999－x)， 试判断函数f(x)的奇偶性.例8.已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当[]0,2-∈x 时，f(x)是减函数，求证当[]6,4∈x 时f(x)为增函数 解：设1246x x ≤<≤则212440x x -≤-+<-+≤∵ f(x)在[-2，0]上是减函数∴21(4)(4)f x f x -+>-+又函数f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4 故f(x+4)=f(x) ∴21()()f x f x ->- ∵ f(-x)=f(x) ∴21()()f x f x >故当[]4,6x ∈时f(x)为增函数例9.设f(x)是定义在R 上的偶函数，其图象关于x ＝1对称，证明f(x)是周期函数例10.设f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（C ）A ．偶函数，又是周期函数B ．偶函数，但不是周期函数C ．奇函数，又是周期函数D ．奇函数，但不是周期函数例11.设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且满足对任意x ∈R 都有f(2+x)=-f(x)，又当x ∈[-1,1]时 f(x)=x 3， ⑴ 证明：直线x=1是f(x)图像的一条对称轴； ⑵ 当x ∈[1,5]时，求函数f(x)的解析式．判断函数的单调性 5、确定函数零点个数 例12.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，),7()7(x f x f -=+且,0)0(=f 判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.解：由题设知函数)(x f 图象关于直线2=x 和7=x 对称，又由函数的性质得)(x f 是以10为周期的函数.在一个周期区间[)10,0上，,)(0)0()22()22()4(,0)0(不能恒为零且x f f f f f f ==-=+==故)(x f 图象与x 轴至少有2个交点.而区间[)30,30-有6个周期，故在闭区间[]30,30-上)(x f 图象与x 轴至少有13个交点.6、求参数的值（范围）例13.①若函数f(x)=|x+a|，且f(x)满足对x ∈R 都有f(3+x)=f(2-x)，则实数a=______．②若函数f(x)=(x+a)3，且f(x)满足对x ∈R 都有f(3+x)=-f(2-x)，则实数a=______．例(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a ∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a 的值. 例15．设()x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，()2x x f =.若对任意的[]2,+∈a a x ,,则实数a 的取值范围是( )A ．0≤aB ．0≥a7. 两个函数图像的对称性例16.函数y ＝f(x)是定义在实数集R 上的函数，那么y ＝－f(x ＋4)与y ＝f(6－x)的图象之间（D ）A ．关于直线x ＝5对称B ．关于直线x ＝1对称C ．关于点（5，0）对称D ．关于点（1，0）对称 解：据复合函数的对称性知函数y ＝－f(x ＋4)与y ＝f(6－x)之间关于 点（（6－4）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D.例17.求与函数y=lg(1+x)的图像关于点（2,1）成中心对称的函数解析式.。