题型一：判断函数奇偶性 1.判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断f (x)±f (-x)是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断．
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
⑴
1y x =； ⑵
422y x x =++； ⑶
3y x x =+； ⑷
31y x =-．
【例2】 判断下列函数的奇偶性：
⑴4()f x x =； ⑵5()f x x =； ⑶1()f x x x =+； ⑷21()f x x =．
典例分析
板块二.函数的奇偶性与对称性
【例3】 判断下列函数的奇偶性并说明理由：
⑴
221()1x x a f x a +=-(0a >且1)a ≠； ⑵
()f x ⑶
2()5||f x x x =+．
【例4】 判别下列函数的奇偶性：
（1）31()f x x x
=-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-.
【例5】 判断函数
的奇偶性．
2.由函数奇偶性的定义，有下面的结论： 在公共定义域内
（1）两个偶函数之和（积）为偶函数；
（2）两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数；
（3）一个奇函数和偶函数之积为奇函数．
【例6】 判断下列函数的奇偶性：
⑴
()(f x x =- ⑵
11()()()12
x f x F x a =+-，其中0a >且1a ≠，()F x 为奇函数．
【例7】 若函数f(x)= 3(x x)+g(x)是偶函数，且f (x)不恒为零，判断函数
g(x)的奇偶性．
【例8】 函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域，对定义域中任何x ，有
()()0f x f x +-=，()()1g x g x -=，则2()()()()1f x F x f x g x =+-是（ ）
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数
【例9】 已知()f x ，)()lg g x x =．则乘积函数()()()
F x f x g x =在公共定义域上的奇偶性为（ ）．
A ．是奇函数而不是偶函数
B ．是偶函数而不是奇函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既非奇函数又非偶函数
【例10】 已知函数()f x 是奇函数；2()(1)()21
x F x f x =+-（x ≠0）是偶函数，且()f x 不恒为0，判断()f x 的奇偶性．
题型二：求解析式与函数值
1.利用函数奇偶性可求函数解析式．
【例11】 函数()f x =a 的取值范围是（ ）．
A ．10a -<≤或01a <≤
B ．1a -≤或1a ≥
C ．0a >
D ．0a <
【例12】 设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时，()(1f x x =，那么
当(,0)x ∈-∞时，()f x =_________．
【例13】 已知偶函数f (x)的定义域为R ，当x ≥0时，f (x)=2x 3x-1+，求
f (x)的解析式．
设x ＜0，则－x ＞0
【例14】 已知函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时()(1)f x x x =-．求函数
()f x 的解析式．
【例15】 已知函数22()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++，当,m n 为何值时，()f x 是奇
函数？
【例16】 已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解
析式.
【例17】 已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x <时，2()2f x x x =+-，求
()f x 的解析式.
【例18】 ()y f x =图象关于1x =对称，当1x ≤时，2()1f x x =+，求当1x >时()
f x 的表达式．
【例19】 已知函数21()(,,)ax f x a b c Z bx c
+=∈+是奇函数,且(1)2,(2)3f f =<,求,,a b c 的值.
2.对于函数奇偶性有如下结论：定义域关于原点对称的任意一个函数f (x)都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和．
即 f (x)=12
[F (x)+G(x)] 其中F (x) =f (x)+f (-x),G(x) =f (x)－f (-x) 利用这一结论，可以简捷的解决一些问题．
【例20】 定义在R 上的函数f (x)=22x x x 1++，可表示成一个偶函数g(x)和一个奇函数h(x)之和,求g(x)，h(x)．
【例21】 已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数并且()()1f x g x x +=+，则求()
f x 与()
g x 的表达式．。