华大新高考联盟2019届11月教学质量测评数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}{1A x x =<,}{3log 0B x x =<,则A B =（ ） A ．A B ．B C ．R D ．∅2. 在区间[]0,1上随机取两个数,x y ,则事件“221x y +≤”发生的概率为（ ） A ．4π B ．22π- C ．6π D ．44π- 3. 已知复数z 满足(12)43i z i +=+,则z 的虚部是（ ） A ．-1 B ．i - C ．1 D ．i 4. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,3123S a a =+，则42S S =（ ） A ．2 B ．3 C.4 D ．55. 已知函数()sin f x x x =+,(1,1)x ∈-，如果(1)(2)0f t f t -+-<,则实数t 的取值范围是（ ） A ．32t > B ．312t << C. 322t << D ．332t << 6. 5(3)(2)x y x y +-的展开式中, 24x y 的系数为（ ） A ．-110 B ．-30 C.50 D ．1307. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是由长方形及其一条对角线组成，长方形的宽为3,俯视图为等腰直三角形，直角边长为4,则该多面体的体积是（ ）A ．8B ．12 C.16 D ．248. 执行如图所示的程序框图,若输出a 的值为2,则图中的0x =（ ）A ．-1B ．12- C. 12D ．2 9. 将函数()cos(2)3f x x π=+图象上所有的点向右平移512π个单位长度后得到函数()g x 的图象,则函数()g x 具有的性质是（ ） A ．图象的对称轴为4x π= B ．在5(,)84ππ--上单调递减,且为偶函数 C.在97(,)88ππ--上单调递增,且为奇函数 D ．图象的中心对称点是(,0)2π10. 已知定点(2,0)P 及抛物线C ：22y x =,过点P 作直线l 与C 交于A ，B 两点,设抛物线C 的焦点为F ,则ABF ∆面积的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C.4 D ．511. 设x ，y ，z 为正实数,且235log log log 0x y z ==>,则,,235x y z的大小关系不可能是（ ） A ．235x y z << B ．235x y z == C. 532z y x << D ．325y x z << 12. 已知数列{}n a 满足11a =且2cos3n n n a b π=,则数列{}n b 的前59项和为（ ） A ．-1840 B ．-1760 C.1760 D ．1840第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知单位向量1e ，2e 的夹角为120°,且122a e e =-,123b e e =+,则2a b += ．14.已知圆C 被平面区域21,21,22,x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤-⎩所覆盖,则满足条件的最大圆C 的圆心坐标为 ．15.已知双曲线C :221916x y -=的左焦点为点1F ,右焦点为点2F ,点(,)(5)M x y x ≠±为双曲线C 上一动点,则直线1MF 与2MF 的斜率的积12MF MF k k ∙的取值范围是 ．16. 以棱长为2的正方体中心点O 为球心，以(1r r <为半径的球面与正方体的表面相交得到若干个圆（或圆弧）的总长度的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ,c 已知222a c b +=cos 0A B +=. （1）求cos C ；（2）若ABC ∆的面积52S =，求b .18.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，//AB CD ，且22CD AB AD ==，AB AD ⊥，PA PD =，点E 为PC 的中点，点F 为AD 的中点.（1）证明：//EF 平面PAB ；（2）若PE PF EF ==，求二面角B EF C --的余弦值.19.某种子公司对一种新品种的种子的发芽多少与昼夜温差之间的关系进行分析研究，以便选择最合适的种植条件.他们分别记录了10块试验地每天的昼夜温差和每块实验地里50颗种子的发芽数，得到如下资料：（1）从上述十组试验数据来看，是否可以判断昼夜温差与发芽数之间具有相关关系？是否具有线性相关关系？（2）若在一定温度范围内，昼夜温差与发芽数近似满足相关关系：ˆˆy bz a =+（其中2(12)z x =-）.取后五组数据，利用最小二乘法求出线性回归方程ˆˆy bz a =+（精确到0.01）；（3）利用(2)的结论，若发芽数试验值与预测值差的绝对值不超过3个就认为正常,否则认为不正常.从上述十组试验中任取三组，至少有两组正常的概率是多少？附:回归直线方程ˆˆy bza =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆni ii nii x ynx y b xnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =- 20. 已知锐角ABC ∆的一条边AB 的长为4，并且1tan tan 4A B =，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系. （1）试求顶点C 的轨迹方程； （2）设直线l ：33()510y kx k =-≠±与顶点C 的轨迹相交与两点M ，N ，以MN 为直径的圆恒过y 轴上一个定点P ，求点P 的轨迹方程.21. 已知函数2()z f x e mx x =--（e 为自然对数的底数）. （1）若0m =，求()f x 的单调区间； （2）若1m =，求()f x 的极大值； （3）若102m ≤≤，指出()f x 的零点个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点(1,0)P ,倾斜角为6π.以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=+.（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()f x x t =+.（1）若(1)21f t ≥-，求实数t 的取值范围； （2(0)(1)f f ≤+-.华大新高考联盟2019届11月教学质量测评数学（理）试题答案一、选择题1-5: BACBC 6-10:ACCCB 11、12：DB二、填空题33(,)44- 15.16(,0](,)9-∞+∞ 16. (0,12]π三、解答题17.解：（1）由222a cb++=，得222a c b+-，∴222cos2a c bBac+-===.∵0Bπ<<，∴34Bπ=.cos0AB+=，得sin(A B===∴cos A=∴cos cos()4C A A Aπ=-===.（2）由（1），得sin C=由1sin2S ac B=及题设条件，得135sin242acπ=，∴ac=由sin sin sina b cA BC====∴225b==，∴5b=.18.解：（1）证明：设BC中点为点G，连接,FG EG，易知//,//FG AB EG PB，所以//FG平面PAB，//EG平面PAB，则平面//EFG平面PAB，所以//EF平面PAB；（2）∵P A P D=，点F为AD中点，∴PF AD⊥.又在PFC∆中，点E为PC的中点，PE PF EF==，∴PF FC ⊥，∴PF ⊥平面ABC，且FC .不妨设2AB =，则4DC =，1FD =，∴FC =PF =， 以点F 为原点，,,FA FG FP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，(1,2,0)B，1(2E -， 易知平面EFC 的法向量为0(4,1,0)n =，设平面BEF 的法向量为(,,z)n x y =，则20,120,2x y x y +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩取511,(,z n ==. 041(01cos ,n n ⋅+⋅<>==二面角B EF C --. 19.解：（1）可以判断昼夜温差与发芽数之间具有相关关系， 不具有线性相关关系； （2）6,22.8z y ==，1221538684ˆ0.84354180ni ii nii x ynx y bxnx==--==≈---∑∑，ˆˆ22.8(0.84)627.84ay bz =-=--⨯=，ˆ0.8427.84y z =-+. （3）十组数据中有两组不正常，128231014115P C C C=-=（或32188231056561412015P C C C C++===）20.由题意，不妨设(2,0),(2,0)A B -，设(,)C x y ，1224x y x x ∙=-+-， 化简得221(0)4x y y +=≠.（2）设11(,)M x y ，N 22(,)x y ，(0,)P t ，将直线l ：33()510y kx k =-≠±方程代入221(0)4x y y +=≠得222464(14)0525k x kx +--=，2576256(14)02525k ∆=++>，122245(14)x x k +=+，1226425(14)x x k =+， ∴1211158k x x +=-. 1212121233()()55kx t kx t y t y t x x x x ------+=2212121233()()()55k x x t kx kx t x x -++++= 222231525(14)3()()58645k k k t t +=++∙-+22253153[()()1]16585t t k =-++++2253()1645t =-+=-. ∴22253()1,645253153()()10,16585t t t ⎧+=⎪⎪⎨⎪-++++=⎪⎩解得1t =.21.解：（1）0m =时，则()x f x e x =-，∴()1x f x e '=-.0x >时，()0f x '>；0x <时，()0f x '<， ∴()f x 的单调增区间为(0,)+∞，()f x 的单调减区间为(,0)-∞. （2）1m =时，2()x f x e x x =--，()21x f x e x '=--，设g()21x x e x =--.()e 2x g x '=-，∴()g x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增，且g(ln 2)0<，又g(0)0=，∴()f x 的极大值为(0)1f =.（3）当0m =时，∵1x e x ≥+，∴()0x f x e x =->，此时()f x 的零点个数为0. 当102m <≤时，()21x f x e mx '=--.若0x ≥，()2110x x f x e mx e x '=--≥---≥，(0)10,()0f f x =>=无解； 若0x <，2()0x f x e mx x =--=，即2x e mx x =+，在1(,0)m上20x e mx x >>+，在1(,)m-∞-上x y e =单调递增，2y mx x =+单调递减，且x →-∞时，0x e →，2mx x +→+∞， ∴()f x 有且仅有一解.∴当102m <≤时，()f x 的零点个数为1.综上可得，0m =时，()f x 的零点个数为0；当102m <≤时，()f x 的零点个数为1.22.解：（1）l 的参数方程为1cos ,6sin ,6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），即1,1,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.由4cos()3πρθ=+，得2cos ρθθ=-，∴22cos sin ρρθθ=-，从而有2220x y x +-+=，∴C的直角坐标方程为22(1)(4x y -+=. （2）将l 的参数方程代入C的直角坐标方程，得221(42t ++=，整理，得210t -=.此时2241(1)70∆=-⨯⨯-=>.设,A B 两点对应的参数分别为12,t t，则12t t +=121t t =-，∴1212PA PB t t t t +=+=+=23.解：（1）由(1)21f t ≥-，得121t t +≥-， 当1t ≤时，∴(1)2t 1t -+≥-，解得0t ≤，此时1t ≤-； 当1t >-时，∴121t t +≥-，解得2t ≤，此时12t -<≤. 综上，t 的取值范围是(,2]-∞. （2）显然0a ≥，当0a =0=； 当0a >21=≤=，即1a =时，等号成立.∴01≤≤.而(0)(1)1(1)1 +-=+-+≥--+=.f f t t t t≤+-.(0)(1)f f。