2017年11月02日金博高数20的高中数学组卷一．选择题（共16小题）1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A．1440种B．960种C．720种D．480种2．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母（字母可重复）后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）A．（C261）2A104个B．A262A104个C．（C261）2104个D．A262104个3．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（）A．C1214C412C48B．C1412A124A84C．D．C1412A124C84A334．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（）A．6 B．12 C．15 D．305．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）A．C124C84C44种 B．3C124C84C44种C．C124C84A33种 D．种6．5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为（）A．480 B．240 C．120 D．967．从单词“equation”选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列共有（）A．120个B．480个C．720个D．840个8．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）A．36个B．24个C．18个D．6个9．五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（）A．C41C44种B．C41A44种C．C44种D．A44种10．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有（）A．24种B．18种C．12种D．6种11．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（）A．24 B．18 C．12 D．612．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324 B．328 C．360 D．64813．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．8 B．24 C．48 D．12014．在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（）A．C61C942B．C61C992C．C1003﹣C943D．P1003﹣P94315．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（）A．A88A92B．A88C92C．A88A72D．A88C7216．若（1+）5=a+b（a，b为有理数），则a+b=（）A．45 B．55 C．70 D．80二．填空题（共10小题）17．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．18．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种．19．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有个．（用数字作答）20．的展开式中常数项为；各项系数之和为．（用数字作答）21．在的展开式中，x2的系数为（用数字作答）．22．若展开式的各项系数之和为32，则n=，其展开式中的常数项为．（用数字作答）23．展开式中的常数项是．24．在（1﹣2x）6的展开式中，x2的系数为．（用数字作答）25．在（2+x）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答）26．在的展开式中，x3的系数是．（用数字作答）2017年11月02日金博高数20的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A．1440种B．960种C．720种D．480种【分析】因为2位老人不排在两端，所以从5名志愿者中选2名排在两端，因为2位老人相邻，所以把2位老人看成一个整体，与其他元素进行排列，注意整体之间的排列．【解答】解：可分3步．第一步，排两端，∵从5名志愿者中选2名有A52=20种排法，第二步，∵2位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有A44=24种排法第三步，2名老人之间的排列，有A22=2种排法最后，三步方法数相乘，共有20×24×2=960种排法故选B【点评】本题主要考查了有限制的排列问题的解决，掌握这些常用方法．2．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母（字母可重复）后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）A．（C261）2A104个B．A262A104个C．（C261）2104个D．A262104个【分析】由题意知本题是一个分步计数问题，先选两个字母，第一个有26种选法，由于字母可以重复，第二个也有26种选法，字母后面的4个数字，可以从10个数字中选4个排列，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：本题是一个分步计数原理，先选两个字母，第一个有26种选法，由于字母可以重复，第二个也有26种选法，字母后面的4个数字，可以从10个数字中选4个排列，共有A104种结果，根据分步计数原理知共有26×26×A104，故选A．【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．3．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（）A．C1214C412C48B．C1412A124A84C．D．C1412A124C84A33【分析】先从14人中选12人，有C1412种选法，早班从12人中选取4人，中班从剩余的8人中选4人，剩余的4人是晚班；开幕式当天不同的排班种数为C1412C124C84，即可得答案．【解答】解：先从14人中选12人，有C1412种选法，早班从12人中选取4人，有C124种选法，中班从剩余的8人中选4人，有C84种选法，剩余的4人是晚班．∴开幕式当天不同的排班种数为C1412C124C84．故选A．【点评】本题考查组合的基本知识，解题时要认真审题，仔细解答．4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（）A．6 B．12 C．15 D．30【分析】增加两个新节目，将这两个新节目插入原节目单中，原节目单不变，两个新节目不相邻，可以应用插空法来解，原来的5个节目形成6个空，新增的两个节目插到6个空中，得到结果．【解答】解：∵增加两个新节目，将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，∴可以应用插空法来解，原来的5个节目形成6个空，新增的两个节目插到6个空中，共有A62=30故选D．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，是一个不相邻问题，这种问题一般采用插空法，本题原来的元素顺序不变不用排列，有的题目需要先排原来的，再在形成的空中排列新元素，再根据分步计数原理得到结果．5．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）A．C124C84C44种 B．3C124C84C44种C．C124C84A33种 D．种【分析】首先把12个人平均分成3组，这是一个平均分组，从12个中选4个，从8个中选4个，最后余下4个，这些数相乘再除以3个元素的全排列，再把这三个小组作为三个元素分到三个路口，这样就有一个全排列，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：首先把12个人平均分成3组，共有个小组，再把这三个小组作为三个元素分到三个路口，这样就有一个全排列，共有A33种结果，根据分步计数原理知共有A33=C124C84C44故选A．【点评】本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．6．5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为（）A．480 B．240 C．120 D．96【分析】由题意知先把5本书中的两本捆起来看做一个元素，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列，根据分步计数原理两个过程的结果数相乘得到结果．【解答】解：由题意知先把5本书中的两本捆起来看做一个元素共有C52，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有A44，∴分法种数为C52•A44=240．故选B．【点评】排列组合问题在几何中的应用，在计算时要求做到，兼顾所有的条件，先排约束条件多的元素，做的不重不漏，注意实际问题本身的限制条件．7．从单词“equation”选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列共有（）A．120个B．480个C．720个D．840个【分析】由题意知本题所给的单词除去要求的两个之外还有6个，因为要取5个字母，所以好要从6个字母中选三个，把要求的两个字母看成一个元素，这样有四个元素进行排列．【解答】解：要选取5个字母时首先从其它6个字母中选3个有C63种结果，再与“qu“组成的一个元素进行全排列共有C63A44=480，故选B．【点评】排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查．8．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）A．36个B．24个C．18个D．6个【分析】各位数字之和为奇数的有两类：一是两个偶数一个奇数：有C31A33种结果，所取得三个都是奇数：有A33种结果，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，各位数字之和为奇数的有两类：①两个偶数一个奇数：有C31A33=18个；②三个都是奇数：有A33=6个．∴根据分类计数原理知共有18+6=24个．故选B．【点评】本题考查分类计数问题，是一个数字之和是奇数还是偶数的问题，数字问题是排列组合与计数原理的主角，经常出现，并且常出常新．9．五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（）A．C41C44种B．C41A44种C．C44种D．A44种【分析】依题意，优先分析甲甲工程队，除1号子项目外有4种方法，其他4个工程队分别对应4个子项目，由排列公式可得其情况数目，根据乘法原理，分析可得答案．【解答】解：根据题意，甲工程队不能承建1号子项目，则有4种方法，其他4个工程队分别对应4个子项目，有A44种情况，根据乘法原理，分析可得有C41A44种情况；故选B．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意优先分析受到限制的元素．10．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有（）A．24种B．18种C．12种D．6种【分析】根据题意，由于黄瓜必选，故需要再选2种蔬菜，其方法数是C32种，进而由排列的意义，进行全排列，计算可得答案．【解答】解：∵黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是C32种，在不同土质的三块土地上种植的方法是A33，∴种法共有C32•A33=18种，故选B．【点评】本题考查排列、组合的综合运用，要注意排列、组合的不同意义，进而分析求解．11．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（）A．24 B．18 C．12 D．6【分析】分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．【解答】解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有=6种；从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有=6种；2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有=6种；故共有3=18种故选B．【点评】本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．12．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324 B．328 C．360 D．648【分析】本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数．【解答】解：由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有8×8×4=256当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有9×8×1=72根据分类计数原理知共有256+72=328故选B【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．13．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．8 B．24 C．48 D．120【分析】本题需要分步计数，首先选择2和4排在末位时，共有A21种结果，再从余下的其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43种结果，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数．【解答】解：由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有A21=2种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43=4×3×2=24种排法，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24=48（个）．故选C．【点评】本题考查分步计数原理，是一个数字问题，这种问题是最典型的排列组合问题，经常出现限制条件，并且限制条件变化多样，是一个易错题．14．在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（）A．C61C942B．C61C992C．C1003﹣C943D．P1003﹣P943【分析】在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的对立事件是没有次品，没有次品的事件有C943，得到至少有1件次品的不同取法用所有减去不合题意的．【解答】解：在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，共有C1003种结果，至少有1件次品的对立事件是没有次品，没有次品的事件有C943，∴至少有1件次品的不同取法有C1003﹣C943，故选C．【点评】本题考查分步计数原理，是一个基础题，解题时可以从正面来考虑，至少有一件次品包括有一件次品，有两件次品，有三件次品，分别写出结果再相加．15．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（）A．A88A92B．A88C92C．A88A72D．A88C72【分析】本题要求两个教师不相邻，用插空法来解决问题，将所有学生先排列，有A88种排法，再将两位老师插入9个空中，共有A92种排法，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：用插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有A88种排法，然后将两位老师插入9个空中，共有A92种排法，∴一共有A88A92种排法．故选A．【点评】本题考查排列组合的实际应用，考查分步计数原理，是一个典型的排列组合问题，对于不相邻的问题，一般采用插空法来解．16．若（1+）5=a+b（a，b为有理数），则a+b=（）A．45 B．55 C．70 D．80【分析】利用二项式定理求出展开式，利用组合数公式求出各二项式系数，化简展开式求出a，b，求出a+b【解答】解析：由二项式定理得：（1+）5=1+C51+C52（）2+C53（）3+C54（）4+C55•（）5=1+5+20+20+20+4=41+29，∴a=41，b=29，a+b=70．故选C【点评】本题考查二项式定理求二项展开式、组合数公式求二项式系数．二．填空题（共10小题）17．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是96．【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种．故答案为：96．【点评】本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．18．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种．【分析】分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②计算其中A、B相邻又满足B、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案．【解答】解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有2=48种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2=12种摆法，故满足条件的摆法有48﹣12=36种．故答案为：36．【点评】本题考查分步计数原理的应用，要优先分析受到限制的元素，如本题的A、B、C．19．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有14个．（用数字作答）【分析】本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数，当数字中有1个2，3个3时，当数字中有2个2，2个3时，当数字中有3个2，1个3时，写出每种情况的结果数，最后相加．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数，当数字中有1个2，3个3时，共有C41=4种结果，当数字中有2个2，2个3时，共有C42=6种结果，当数字中有3个2，1个3时，共有有C41=4种结果，根据分类加法原理知共有4+6+4=14种结果，故答案为：14【点评】本题考查分类计数原理，是一个数字问题，这种问题一般容易出错，注意分类时要做到不重不漏，本题是一个基础题，也是一个易错题，易错点在数字中重复出现的数字不好处理．20．的展开式中常数项为10；各项系数之和为32．（用数字作答）【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项；令x的指数为0求出展开式的常数项；令二项式中的x等于1求出各项系数和．【解答】解：，由10﹣5r=0得r=2，故展开式中常数项为C52=10；取x=1即得各项系数之和为（1+1）5=32．故答案为10，32．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、考查求展开式的系数和问题常用的方法是赋值法．21．在的展开式中，x2的系数为﹣14（用数字作答）．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2，求出r，代入通项求出展开式中x2的系数．【解答】解：展开式的通项令得r=1故x2的系数为（﹣2）×C71=﹣14故答案为﹣14【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．22．若展开式的各项系数之和为32，则n=5，其展开式中的常数项为10．（用数字作答）【分析】显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和，也即n=5；将5拆分成“前3后2”恰好出现常数项，C52=10．【解答】解：∵展开式的各项系数之和为32∴2n=32解得n=5=C5r x10﹣5r展开式的通项为T r+1当r=2时，常数项为C52=10．故答案为5，10．【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，课本中的典型题目，套用公式解题时，易出现计算错误，二项式的考题难度相对较小，注意三基训练．23．展开式中的常数项是210．【分析】写出通项公式，令x的系数为0，求出k的值，即可写出常数项．【解答】解：令，得k=6，所以展开式中的常数项是T7=C106（﹣1）6=210故答案为：210【点评】本题考查二项式定理的通项的应用，属基本题型、基本方法的考查．24．在（1﹣2x）6的展开式中，x2的系数为60．（用数字作答）【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出．【解答】解：（1﹣2x）6的展开式中，通项公式T r=（﹣2x）r=（﹣2）r x r，+1令r=2，则x2的系数==60．故答案为：60．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．25．在（2+x）5的展开式中，x3的系数为40（用数字作答）【分析】写出二项式定理展开式的通项公式，利用x的指数为3，求出r，然后求解所求数值．=25﹣r x r，【解答】解：（2+x）5的展开式的通项公式为：T r+1所求x3的系数为：=40．故答案为：40．【点评】本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力．26．在的展开式中，x3的系数是84．（用数字作答）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3得到x3的系数．【解答】解：，令7﹣2r=3，解得r=2，故所求的系数为（﹣2）2C72=84故答案为84【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题．。