江苏高考数学_函数_十年汇编（2005-2017）一．基础题组1. 【2005江苏，理2】函数123()x y x R -=+∈的反函数的解+析表达式为（ ）（A ）22log 3y x =- （B ）23log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22log 3y x =-2. 【2005江苏，理15】函数y =的定义域为 .3. 【2005江苏，理16】若3a =0.618,a ∈[),1k k +,k ∈Z ，则k = .4. 【2005江苏，理17】已知a ,b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++则5a b -= .5. 【2007江苏，理6】设函数f （x ）定义在实数集上，它的图像关于直线x =1对称，且当x ≥1时，f （x ）＝3x -1，则有（ ）A.f （31）＜f （23）＜f （32）B.f （32）＜f （23）＜f （31）C.f （32）＜f （31）＜f （23）D.f （23）＜f （32）＜f （31）6. 【2007江苏，理8】设f （x ）=l g （a x+-12）是奇函数，则使f （x ）＜0的x 的取值范围是（ ）A.（-1，0）B.（0，1）C.（-∞，0）D.（-∞，0）∪（1，+∞）7. 【2007江苏，理16】某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t =0时，点A 与钟面上标12的点B 重合.将A 、B 两点间的距离d （cm ）表示成t （s ）的函数，则d = __________，其中t ∈0，60].8. 【2009江苏，理10】.已知12a =，函数()x f x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为 ▲ .9. 【2010江苏，理5】设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为__________．10. 【2011江苏，理2】函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是 . 11. 【2011江苏，理8】在平面直角坐标系xoy 中，过坐标原点的一条直线与函数()xx f 2=的图象交于Q P ,两点，则线段PQ 长的最小值为 .12. 【2011江苏，理11】已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为 .13. 【2012江苏，理5】函数()f x =__________． 14. 【2012江苏，理10】设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间－1,1]上，f (x )＝1,10,2,01,1ax x bx x x +-≤<⎧⎪+⎨≤≤⎪+⎩其中a ，b ∈R .若13()()22f f =，则a ＋3b 的值为__________．15. 【2014江苏，理10】已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 .16.【2016年高考江苏卷】函数y的定义域是 .17.【2016年高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间1,1-)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩ 其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是▲ .二．能力题组1. 【2010江苏，理14】将边长为1的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝2()梯形的周长梯形的面积，则S 的最小值是__________．2. 【2012江苏，理17】如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．3. 【2013江苏，理13】在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数1y x =(x＞0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为a 的所有值为__________．4. 【2014江苏，理13】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21()22f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 .5. 【2015高考江苏，13】已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为三．拔高题组1. 【2005江苏，理22】已知,a R ∈函数2().f x x x a =- （Ⅰ）当a =2时，求使f （x ）＝x 成立的x 的集合； （Ⅱ）求函数y ＝f (x )在区间1,2]上的最小值.2. 【2006江苏，理20】设a 为实数，设函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a ).（Ⅰ）设t ＝x x -++11，求t 的取值范围，并把f (x )表示为t 的函数m (t )（Ⅱ）求g (a )（Ⅲ）试求满足)1()(ag a g =的所有实数a3. 【2007江苏，理21】已知a ，b ，c ，d 是不全为零的实数，函数f （x ）=bx 2+cx +d ，g （x ）=ax 2+bx 2+cx +d .方程f （x ）=0有实数根，且f （x ）=0的实数根都是g （f （x ））=0的根；反之，g （f （x ））=0的实数根都是f （x ）=0的根. （1）求d 的值；（3分）（2）若a =0，求c 的取值范围；（6分）（3）若a =l ，f （1）=0，求c 的取值范围.（7分）4. 【2008江苏，理20】已知函数11()3x p f x -=，22()23x p f x -=⋅（12,,x R p p ∈为常数）．函数()f x 定义为：对每个给定的实数x ，112212(),()()()(),()()f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨>⎩若若 （1）求1()()f x f x =对所有实数x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示）； （2）设,a b 是两个实数，满足a b <，且12,(,)p p a b ∈．若()()f a f b =，求证：函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为2b a-（闭区间[,]m n 的长度定义为n m -）5. 【2009江苏，理19】按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a+；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h 现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙(1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；(2)设35A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.6. 【2009江苏，理20】设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--.(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2)求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.7.【2016年高考江苏卷】（本小题满分16分）已知函数()(0,0,1,1)x xf x a b a b a b =+>>≠≠. （1）设12,2a b ==.①求方程()f x =2的根；②若对任意x ∈R ，不等式(2)()6f x mf x ≥-恒成立，求实数m 的最大值； （2）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值.2017-14．（5分）（2017•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f （x）﹣lgx=0的解的个数是．2017-20．（16分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．答案一．基础题组1. 【2005江苏，理2】函数123()x y x R -=+∈的反函数的解+析表达式为（ ）（A ）22log 3y x =- （B ）23log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22log 3y x=-2. 【2005江苏，理15】函数y =的定义域为 . 【答案】]1,43()0,41[⋃-由题意得：0)34(log 25..0≥-x x则由对数函数性质得：13402≤-<x x即⎪⎩⎪⎨⎧≤--<13434022x x x x ,求得函数的定义域为：]1,43()0,41[⋃-. 3. 【2005江苏，理16】若3a =0.618,a ∈[),1k k +,k ∈Z ，则k = . 【答案】 1.k =-如图观察分析指数函数y=3x 的图象，函数值为0.168)0,1[-∈上，与3a =0.168,[,1): 1.a k k k ∈+=-比较得4. 【2005江苏，理17】已知a ,b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++则5a b -= .【答案】2由f(x)=x 2+4x+3, f(ax+b)=x 2+10x+24, 得：（ax+b ）2+4(ax+b)+3=x 2+10x+24, 即：a 2x 2+2abx+b 2+4ax+4b+3=x 2+10x+24,比较系数得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=24341042122b b a ab a求得：a=-1,b=-7, 或a=1,b=3，则5a-b=2.5. 【2007江苏，理6】设函数f （x ）定义在实数集上，它的图像关于直线x =1对称，且当x ≥1时，f （x ）＝3x -1，则有（ ）A.f （31）＜f （23）＜f （32）B.f （32）＜f （23）＜f （31）C.f （32）＜f （31）＜f （23）D.f （23）＜f （32）＜f （31）【答案】B6. 【2007江苏，理8】设f （x ）=l g （a x+-12）是奇函数，则使f （x ）＜0的x 的取值范围是（ ）A.（-1，0）B.（0，1）C.（-∞，0）D.（-∞，0）∪（1，+∞） 【答案】A7. 【2007江苏，理16】某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t =0时，点A 与钟面上标12的点B 重合.将A 、B 两点间的距离d （cm ）表示成t （s ）的函数，则d = __________，其中t ∈0，60].【答案】10sin 60tπ8. 【2009江苏，理10】.已知51a -=，函数()x f x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为 ▲ .9. 【2010江苏，理5】设函数f (x )＝x (e x＋a e －x)(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为__________． 【答案】－1∵函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )，x ∈R 是偶函数，∴设g (x )＝e x ＋a e －x ，x ∈R .由题意知g (x )应为奇函数(奇函数×奇函数＝偶函数)，又∵x ∈R ，∴g (0)＝0，则1＋a ＝0，∴a ＝－1.10. 【2011江苏，理2】函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是 .【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21 由012>+x ，得21->x ，所以函数的单调增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21. 11. 【2011江苏，理8】在平面直角坐标系xoy 中，过坐标原点的一条直线与函数()xx f 2=的图象交于Q P ,两点，则线段PQ 长的最小值为 .12. 【2011江苏，理11】已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为 .【答案】43-本题考查了函数的概念及函数和方程的关系，是A 级要求， 中档题.由题意得，当0>a 时，11,11<->+a a ，a a a a 2)1()1(2-+-=+-，解之得23-=a ，不合舍去；当0<a 时，11,11>-<+a a ，a a a a 2)1()1(2---=++，解之得43-=a .本题只要根据题意对a 分类，把问题化为方程问题求解即可，而无需画图，否则较易错.要分析各类问题的特点，恰当转化是解决问题的关键，要培养相关的意识.13. 【2012江苏，理5】函数6()12log f x x =-__________． 【答案】(06] 要使函数6()12log f x x=-612log 00x x -≥⎧⎨>⎩，，解得06，故f(x)的定义域为(06].14. 【2012江苏，理10】设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间－1,1]上，f (x )＝1,10,2,01,1ax x bx x x +-≤<⎧⎪+⎨≤≤⎪+⎩其中a ，b ∈R .若13()()22f f =，则a ＋3b 的值为__________．15. 【2014江苏，理10】已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 .【答案】( 据题意222()10,(1)(1)(1)10,f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩解得0m <<． 16.【2016年高考江苏卷】函数y的定义域是 . 【答案】[]3,1-试题分析：要使函数式有意义，必有2320x x --≥，即2230x x +-≤，解得31x -≤≤．故答案应填：[]3,1-【考点】函数定义域【名师点睛】函数定义域的考查，一般是多知识点综合考查，先“列”后“解”是常规思路.列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发，而解则与一元二次不等式、指（对）数不等式、三角不等式等联系在一起.17.【2016年高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间1,1-)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩ 其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是▲ .二．能力题组1. 【2010江苏，理14】将边长为1的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝2()梯形的周长梯形的面积，则S 的最小值是__________．【答案】3设剪成的上一块正三角形的边长为x.则S222(3)1x x =－－ (0＜x ＜1)， S′＝22262063(1)x x x +⋅－－－＝－22262063(1)x x x +⋅－－－， 令S ′＝0，得x ＝13或3(舍去)．x ＝13是S 的极小值点且是最小值点．tan tan sin cos sin cos sin (sin cos cos sin )tan tan sin cos sin cos sin sin cos C C C S C B C B A B A A B A C B C A B C⋅⋅++=+=⋅⋅⋅⋅ ∴S min＝21(3)313319=－－. 2. 【2012江苏，理17】如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－120(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．3. 【2013江苏，理13】在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数1yx(x＞0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为，则满足条件的实数a的所有值为__________．4. 【2014江苏，理13】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21()22f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 .【答案】1(0,)2作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点，则有1(0,)2a ∈．5. 【2015高考江苏，13】已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为三．拔高题组1. 【2005江苏，理22】已知,a R ∈函数2().f x x x a =- （Ⅰ）当a =2时，求使f （x ）＝x 成立的x 的集合； （Ⅱ）求函数y ＝f (x )在区间1,2]上的最小值.【答案】（Ⅰ）}.21,0{+（Ⅱ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤<≤-=;37,1;372),2(4;21,0;1,1时当时当时当时当a a a a a a a m(Ⅰ)由题意,f(x)=x2.2-x当x<2时,f(x)=x2(2-x)=x,解得x=0,或x=1;当x.21,)2()(,22+==-=≥x x x x x f 解得时 综上所述,所求解集为}.21,0{+. (Ⅱ)设此最小值为m.①当.)(]21[123ax x x ，f ，，a -=≤上在区间时 因为:),2,1(,0)32(3223)(/∈>-=-=x a x x ax x x f则f(x)是区间1,2]上的增函数,所以m=f(1)=1-a..2. 【2006江苏，理20】设a 为实数，设函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a ).（Ⅰ）设t ＝x x -++11，求t 的取值范围，并把f (x )表示为t 的函数m (t )（Ⅱ）求g (a )（Ⅲ）试求满足)1()(ag a g =的所有实数a【答案】（Ⅰ）m (t )=21,2at t a t +-∈（Ⅱ）2,1(),2a g a a a ⎧+⎪⎪=--⎨121,22a a a >--<<-≤（Ⅲ）a ≤≤或a=1综上有2,1(),2a g a a a ⎧+⎪⎪=--⎨121,222a a a >--<<-≤-1()g a=1,222a a a a --==->-解得与矛盾. 情形5：当102a -<<时，12a <-，此时g(a)=a+2, 1()g a =由2a +=解得12,2a a =>-与矛盾.情形6：当a>0时，10a >，此时g(a)=a+2, 11()2g a a =+ 由1221a a a +=+=±解得，由a>0得a=1.综上知，满足1()()g a g a =的所有实数a 为2a ≤≤-或a=1. 3. 【2007江苏，理21】已知a ，b ，c ，d 是不全为零的实数，函数f （x ）=bx 2+cx +d ，g （x ）=ax 2+bx 2+cx +d .方程f （x ）=0有实数根，且f （x ）=0的实数根都是g （f （x ））=0的根；反之，g （f （x ））=0的实数根都是f （x ）=0的根. （1）求d 的值；（3分）（2）若a =0，求c 的取值范围；（6分）（3）若a =l ，f （1）=0，求c 的取值范围.（7分）【答案】（1）d =0.（2）0，4）.（3）0，316）（3）由a=1，f （1）=0得b = -c ，f （x ）=bx 2+cx =cx （-x +1）， g （f （x ））=f （x ）f 2（x ）-cf （x ）+c ]. ③ 由f （x ）=0可以推得g （f （x ））=0，知方程f （x ） =0的根一定是方程g （f （x ））=0的根.当c=0时，符合题意.当c≠0时，b≠0，方程f （x ）=0的根不是方程f 2（x ）-cf （x ）+c =0 ④ 的根，因此，根据题意，方程④应无实数根，那么当（-c ）2-4c ＜0，即0＜c ＜4时，f 2（x ）-cf （x ）+c >0，符合题意. 当（-c ）2-4c ≥0，即c ＜0或c ≥4时，由方程④得f （x ）=-cx 2+cx =242c c c -±，即cx 2–cx +242c c c -±=0， ⑤则方程⑤应无实数根，所以有（-c ）2-4c 242c c c -+＜0且（-c ）2-4c 242c c c --＜0.当c ＜0时，只需-c 2-2c c c 42-＜0，解得0＜c ＜316，矛盾，舍去. 当c≥4时，只需-c 2+2c c c 42-＜0，解得0＜c ＜316.因此，4≤c ＜316.综上所述，所示c 的取值范围为0，316）.4. 【2008江苏，理20】已知函数11()3x p f x -=，22()23x p f x -=⋅（12,,x R p p ∈为常数）．函数()f x 定义为：对每个给定的实数x ，112212(),()()()(),()()f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨>⎩若若 （1）求1()()f x f x =对所有实数x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示）； （2）设,a b 是两个实数，满足a b <，且12,(,)p p a b ∈．若()()f a f b =，求证：函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为2b a-（闭区间[,]m n 的长度定义为n m -）【答案】（1）123log 2p p -≤；（2）2ab -再由111113,()3,p x x px p f x x p --⎧<⎪=⎨≥⎪⎩的单调性可知，函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度为22a b b a b +--=（参见示意图1）解得12()()f x f x 与图象交点的横坐标为12031log 222p p x +=+ ⑴显然10221321[()log 2]2p x p p p p <=---<，这表明x 在1p 与2p 之间.由⑴易知101022(),()(),p x x f x f x x x p f x ≤≤⎧=⎨<≤⎩ 综上可知，在区间[,]a b 上，102(),()(),a x x f x f x x x b f x ≤≤⎧=⎨<≤⎩ （参见示意图2）5. 【2009江苏，理19】按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a+；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙(1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；(2)设35A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.【答案】(1)详见解+析； (2)20,12B A m m ==时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为105 (3) 不能本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力.满分16分.(1)当35A Bm m =时，23535(20)(5)125B B B B B B B m m m h m m m m =⋅=++++甲, 235320(5)(20)35BB B BB B B m m m h m m m m =⋅=++++乙, h 甲=h 乙（3）由（2）知：0h=105由010=125A B A B m m h h m m ⋅≥=++甲得：12552A B AB m m m m ++⋅≤， 令35,,A B x y m m ==则1[,1]4x y ∈、，即：5(14)(1)2x y ++≤.同理，由05h h ≥=乙得：5(1)(14)2x y ++≤另一方面，1[,1]4x y ∈、141x x +∈+∈5、1+4y [2,5],、1+y [,2],255(14)(1),(1)(14),22x y x y ++≥++≥当且仅当14x y ==，即A m =B m 时，取等号. 所以不能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立.6. 【2009江苏，理20】设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--.(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2)求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.（1）若(0)1f ≥，则20||111a a a a a <⎧-≥⇒⇒≤-⎨≥⎩（2）当x a ≥时，22()32,f x x ax a =-+22min(),02,0()2(),0,033f a a a a f x a a f a a ⎧≥≥⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩当x a ≤时，22()2,f x x ax a =+-2min2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a ⎧-≥-≥⎧⎪==⎨⎨<<⎪⎩⎩综上22min2,0()2,03a a f x a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩（3）(,)x a ∈+∞时，()1h x ≥得223210x ax a -+-≥，222412(1)128a a a ∆=--=-当a a ≤≥时，0,(,)x a ∆≤∈+∞；当a <<时，△>0,得：(0x x x a ⎧⎪≥⎨⎪>⎩讨论得：当2a ∈时，解集为(,)a +∞;当(2a ∈-时，解集为()a ⋃+∞;当[a ∈时，解集为)+∞.7.【2016年高考江苏卷】（本小题满分16分）已知函数()(0,0,1,1)x xf x a b a b a b =+>>≠≠. （1）设12,2a b ==.①求方程()f x =2的根；②若对任意x ∈R ，不等式(2)()6f x mf x ≥-恒成立，求实数m 的最大值； （2）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值.所以2(())4()f xmf x+≤对于x∈R恒成立.而2(())44()4()()f xf xf x f x+=+≥=，且2((0))44(0)ff+=，所以4m≤，故实数m的最大值为4.间断，所以在2x 和log 2a 之间存在()g x 的零点，记为1x . 因为01a <<，所以log 20a <，又002x<，所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾.若00x >，同理可得，在02x和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点，矛盾.因此，00x =.于是ln 1ln ab-=，故ln ln 0a b +=，所以1ab =. 【考点】指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图等确定其中参数的范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充 14．（5分）（2017•江苏）设f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f （x ）=，其中集合D={x |x=，n ∈N *}，则方程f （x ）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f （x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．20．（16分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣，从而f（﹣）=0，整理可知b=+（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a ）＞0，从而可得结论；（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因式分解即得结论．【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x ）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax 2+bx +1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣+＞0，解得a＞3，所以b=+（a＞3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a 3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，设x 1，x2是y=f （x ）的两个极值点，则x1+x2=，x1x2=，所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x 2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，31/ 32所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．32/ 32。