1、一袋中有十个质地、形状相同且编号分别为1、2、…、10的球.今从袋中任意取出三个球并记录球上的号码，求（1）最小号码为5的概率，（2）最大号码为5的概率，（3）一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5的概率。

解：}5{1最小号码为=A }5{2最大号码为=A }555{3，一个小于，一个大于一个号码为=A1) 所求概率121)(31025111==C C C A p ； 2）所求概率201)(31024112==C C C A p ； 3）所求概率61)(3101415113==C C C C A p2、在1500个产品中有400个次品，1100个正品.任取200个，求（1）恰好有90个次品的概率；（2）至少有两个次品的概率。

解：设}90{个次品恰好有=A , }{至少有两个次品=B（1）所求概率 2001500110110090400)(C C C A p =；（2）所求概率 200150********140020011001)(C C C C B p +-=。

3、将一枚骰子重复掷n 次，试求掷出的最大点数为5的概率。

解：设}5{最大点数为=A , n 次掷出的点数≤5，有n5种不同结果，而n 次掷出的点数≤4，有n4种不同结果。

所以n 次掷出的最大点数为5，有nn 45-种不同结果。

故所求概率nn A p 645)(4-=4、若A ，B 互不相容，则()0)();()(=+=B A P B P A P B A P Y ；)]()([1)(1)B A ()B A (B P A P B A P P P +-=-==Y Y 。

若A ，B 相互独立，());()(1)(1)(B P A P B A P B A P B A P ⋅-=-==I I Y)()()(B P A P B A P ⋅=；)()()B A (B P A P P ⋅=。

5、设A 、B 为两个事件，P(B)=0.5，P(A-B)=0.3。

求()B A P I .解：2.0]3.05.0[1)]()([1)(1)B A (=+-=-+-=-=B A P B P B A P P Y 6、设A ，B 是两个事件，61)|(,31)()(===B A P B P A P ，求)|(B A P 解：127)(1)()()(1)(1)(1)()()|(=-+--=--==B P AB P B P A P B P B A P B P B A P B A P Y7、A 、B 为两个事件且P(A)=1/2，P(B)=1/2，证明P(AB)=()BA P I。

证明：P(A B ))]()()([1)(1)(=-+-=⋃-=AB P B P A P B A P B A P8、有甲、乙、丙三门火炮同时独立地向某目标射击，命中率分别为0.2,0.3,0.5,求（1）至少有一门火炮命中目标的概率；（2）恰有一门火炮命中目标的概率。

解：设事件A,B,C 分别表示甲、乙、丙火炮命中目标（1）72.05.07.08.01)()()(1)(1)(=⋅⋅-=-=-=C P B P A P C B A P C B A P Y Y （2）)()()()(C B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P ++=Y Y47.0)()()()()()()()()(=++=C P B P A P C P B P A P C P B P A P9、射手对目标独立射击5发,单发命中概率为0.6,求 (1)恰好命中两发的概率；(2)至少命中一发的概率.解一：设事件A=“恰好命中两发”,B=“至少命中一发”()2304.04.06.03225==C A P ；98976.0)6.01(1)(5=--=B P解二：设X 为射击5发的命中发数,则)6.0,5(~B X ，所求概率为：(1)2304.04.06.0}2{3225===C XP ；(2)98976.0)6.01(1)1(5=--=≥X P10、设连续型随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧≤>+=-00)(x x Be A x F x λ，其中0>λ是常数。

求（1）参数A ，B ，（2）}3{},2{>≤X P X P （3）X 的概率密度解：（1）1)(=+∞F ，得A=1。

由X 为连续型的随机变量，则)(x F 在0=x 连续。

由于F （0）=0。

则0=+B A ，则1-=B ，（2）λ21)2()2(--==≤eF X P ；λ3)3(1)3(-=-=>e F X P （3）X 的概率密度⎩⎨⎧≤>='=-0;00;)()(x x e x F x f xλλ 11、已知Ｘ的概率密度为⎩⎨⎧<<+=其它010)21()(x x A x f ,求：(1) 求常数Ａ; (2)}5.0{>X P ；(3)求F(x)解： (1)由⎰∞∞-=1)(dx x f ，即⎰=+11)21(dx x A 。

解得21=A（2）⎰⎰=+==>+∞15.05.085)21(21)()5.0(dx x dx x f X P （3）⎰∞-=xdt t f x F )()(当0<x 时，00)(==⎰∞-xdtx F当10<≤x 时，32)21(210)(2x x dt t dt x F x+=++=⎰⎰∞-当1≥x 时，10)21(210)(1100=+++=⎰⎰⎰∞-xdt dt t dt x F故 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=1;110;220;0)(2x x x xx x F12、设X ~N(0,1).求b 使：（1）P{|X|<b}=0.05. (2)P{X>b}=0.05. (3)P{X<b}=0.05. 解：（1）由05.0)(=<b X P ，则05.0)(=<<-b X b P ，即05.0)()(=-Φ-Φb b , 05.01)(2=-Φb则525.0)(=Φb ,查表得：065.0=b（2）由05.0)(=>b X P ，则95.0)(=≤b X P ，即 95.0)(=Φb ，查表得：645.1=b （3）由05.0)(=<b X P ，即05.0)(=Φb则95.0)(=-Φb ，查表得645.1=-b ，则645.1-=b13、设X ~ )3,1(2N ， (1) 求P(1<X<4)；(2) 求b ，使P(|X-1|<b)=0.95解：(1) )0()1()311()314()41(Φ-Φ=-Φ--Φ=<<X P =0.8413-0.5=0.3413 (2) 95.01)3(2)11()|1(|=-Φ=+<<+-=<-b b X b P b X P Θ 96.13,975.0)96.1(,975.0)3(=∴=Φ=Φ∴bb Θ ∴b = 5.8814、设随机变量X具有密度函数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-≤<=其他021210)(x xx x x f ，求)(),(X D X E 。

解： ⎰⎰⎰-+==+∞∞-2112)2()()(dxx x dx x dx x xf X E 13/13/833/1=+-+=⎰⎰⎰-+==+∞∞-2121322)2()()(dx x xdx xdx x f xX E4/143/144/1+-+=6/7=22)]([)()(X E X E X D -=6/116/7=-=15、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12/1312/112/103/12~X ，求)52(3+XE ，)52(3+XD 。

解：因为3112/1312/112/103/1)2()(33333-=⨯+⨯+⨯+⨯-=X E649312/1312/112/103/1)2()(66666=⨯+⨯+⨯+⨯-=X E所以3/135)3/1(25)(2)52(33=+-⨯=+=+X E X E}]([)({4)(4)52(23633X E X E X D X D -==+9/2954])3/1(6/493[42=--= 16、设随机变量X ~P (2)，求随机变量23-=X Z 的期望与方差。

解：因为,2)(,2)(==X D X E所以.18)(9)(,42)(3)(===-⨯=X D Z D X E Z E17、已知随机变量X 服从二项分布，且4.2)(=X E ，44.1)(=X D ，求二项分布的参数p n ,的值。

解：因为,44.1)1(,4.2=-===p np DX np EX 于是4.0,6==p n 。

18、设E(X)=10，D(X)=4，用切比雪夫不等式估计P(7<X<13)。

解：95941)3|10(|)137(=-≥<-=<<X P X P19、一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成，在整个运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，为了使整个系统起作用，至少需要有85个部件工作，利用隶莫费-拉普拉斯中心极限定理求整个系统工作的概率。

解：假设100个部件中工作的部件数为X ，则X ~ B(100,0.9), 所以根据隶莫费-拉普拉斯中心极限定理，整个系统工作的概率)1.09.01009.010085(1)85(1)85(⨯⨯⨯-Φ-≈<-=≥X P X P9525.0)67.1()35(1=Φ=-Φ-=20、某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20％，以X 表示在随意抽查的近100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。

（1）写出X 的分布律；（2）利用拉普拉斯定理，求被盗索赔户不小于14户且不多于30户的概率。

解：（1）)2.0,100(~B X（2）)4203042042014()3014(-≤-≤-=≤≤X P X P927.0)5.1()5.2(=-Φ-Φ≈21、设总体)20,80(~2N X ，从总体中抽取一个容量为100的样本，问样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率是多少？解：设容量为100的样本为),,,(10021X X X Λ，X是样本的均值，则)4,0(~80N X -，所求概率为1334.0)9332.01(2)]5.1()5.1([1}3|80{|1}3|80{|=-=-Φ-Φ-=≤--=>-X P X P 22、设θˆ是参数θ的无偏估计量,且有0)ˆ(>θD ,试证22)ˆ(ˆθθ=不是2θ的无偏估计量.证：因为 2222)ˆ()]ˆ([)ˆ()ˆ(θθθθθθ>+=+=D E D E ，所以22)ˆ(ˆθθ=不是2θ的无偏估计量.23、 从大批彩色显像管中随机抽取100只,其平均寿命为10000小时,可以认为显像管的寿命X 服从正态分布.已知均方差40=σ小时,在置信度0.95下求出这批显像管平均寿命的置信区间。