第一章概率论的基本概念教学内容：1.随机试验2.样本空间、随机事件3.频率与概率4.等可能概率（古典概率）5.条件概率6.独立性教学目标：1.了解样本空间、随机事件的概念, 理解事件之间的关系与运算；2.了解频率、统计频率以及主观概率的定义，掌握古典概率, 几何概率的计算方法，理解概率的公理化定义。
掌握概率的性质并且会应用性质进行概率计算；3.理解条件概率的概念, 掌握条件概率公式，乘法公式，全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式并会用这些公式进行概率计算阵；4.理解事件独立性的概念, 掌握贝努里概型并会应用它进行概率计算.教学重点：事件之间的关系与运算、古典概率、几何概率、概率的公理化定义与概率的性质、条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式和事件的独立性。
教学难点：全概率公式和贝叶斯公式及其应用。
教学方法：讲授法、演示法、练习法。
教学手段：多媒体+板书。
课时安排：10课时。
教学过程：§1.1 随机实验一、概率论的诞生及应用1654年, 法国一个名叫梅累的骑士(一个上流社会的赌徒兼业余哲学家)就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢c局便算赢家,若在一赌徒胜a局(ca<), 另一赌徒胜b局(cb<)时便终止赌博,问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念——数学期望.概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的数量规律，概率论的应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、地震预报、产品的抽样调查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等.二、随机现象1.确定性现象在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象，称为确定性现象。
如：太阳不会从西边升起、水从高处流向低处等。
2.统计规律性在一定条件下可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而在试验或观察之前不能预知确切的结果，但人们经过长期实践并深入研究之后，发现在大量重复试验或观察下，他的结果却呈现处某种规律性.这种在大量重复试验或观察中所呈现出来来的固有规律性，称为统计规律性。
3.随机现象这种在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果有具有统计规律性的现象称为随机现象。
简言即：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.如：在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反结果，有可能出现正面也可能出现反面；抛掷一枚骰子，观察出现的点数，结果有可能为: 1、2、3、4、5、6等注：1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系, 其数量关系无法用函数加以描述；2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性 ,概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.3.随机现象是通过随机试验来研究的.三、随机试验定义：在概率论中, 把具有以下三个特征的试验称为随机试验.1. 可以在相同的条件下重复地进行;2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.如;“抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现的情况”,分析：(1)试验可以在相同的条件下重复地进行; (2)试验的所有可能结果:字面、花面;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.故为随机试验.§1.2 样本空间、随机事件一、样本空间 样本点定义 随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间, 记为S .样本空间的元素, 即试验E 的每一个结果,称为样本点.如：（1）抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. .}6,5,4,3,2,1{1=s（2）从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的情况..,次品正品记→→D N则.} , ,,, , , , {2DDD DND DDN NDD DNN NDN NND NNN s =说明：（1）试验不同,对应的样本空间也不同.（2）同一试验,若试验目的不同,则对应的样本（3）在具体问题的研究中, 描述随机现象的第一步就是建立样本空间.二、随机事件的概念1. 基本概念一般地，随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E 的随机事件,简称事件。
每次实验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生. 特别地，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件样本空间S 包含所有的样本点，它是S 自身的子集，在每次实验中它总是发生的,S 称为必然事件.空集Φ不包含任何点，它也作为样本空间的子集,它在每次实验中都不发生，Φ称为不可能事件。
注：必然事件的对立面是不可能事件，不可能事件的对立面是必然事件,它们互称为对立事件.实例：抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 骰子“出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”, “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件. “出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”等都是基本事件. “点数不大于6” 就是必然事件. “点数大于6” 就是不可能事件.2. 几点说明（1）随机事件可简称为事件,并以大写英文字母A ,B ,C ,来表示事件. 例如：抛掷一枚骰子,观察出现的点数.可设A = “点数不大于4”, B = “点数为奇数”等等.(2)随机试验、样本空间与随机事件的关系：每一个随机试验相应地有一个样本空间，样本空间的子集就是随机事件.三、随机事件间的关系及运算设试验E 的样本空间为S ,而),2,1(,,=k A B A k 是S 的子集，1.若B A ⊂,则称事件B 包含事件A ，则称事件A 发生必然导致事件B 发生。
例：“长度不合格”必然导致“产品不合格”所以“产品不合格”包含“长度不合格”若B A ⊂,且A B ⊂，则称事件A 与事件B 相等。
2.事件{}B x A x x B A ∈∈=或 称为事件A 与事件B 的和事件。
当且仅当A ，B 中至少一个发生时，事件B A 发生。
推广 称n k nk A A A n A ,,,211 个事件为=的和事件，.,,211的和事件为可列个事件称 A A A k k ∞=3.事件{},B x A x x B A ∈∈=且 称为事件A 与事件B 积和事件。
当且仅当A ，B 同时发生时，事件B A 发生。
B A 也记作AB 。
类似地, 的积事个事件为称n k nk A A A n A ,,,211 =件，.,,211的积事件为可列个事件称 A A A k k ∞=4.事件{},B x A x x B A ∉∈=-且称为事件A 与事件B 积差事件。
当且仅当A 发生，B 不发生时，事件B A -发生。
5.若 ,∅=B A 称为事件A 与事件B 是互不相容或互斥的，.不能同时发生与事件这指的是事件B A注：基本事件是两两互不相容的.6.若,∅==B A S B A 且称为事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件，这指的是对每次试验而言，事件A ，B 中必有一个发生，且仅有一个发生。
,A A 的对立事件记为.A S A -= 事件间的运算规律 ：,,,为事件设C B A 则有：(1)交换律: A B B A =, A B B A =(2)结合律 : C B A C B A )()(= ,C B A C B A )()(=(3)分配律 ;)()()(C A B A C B A =.)()()(C A B A C B A =(4)德.摩根律 B A B A = B A B A =.例1 {},,,,1HTT HTH HHT HHH A =设 {},,2TTT HHH A =TTT A A =-12, .,122121A A A A A A - ，求例2 如图所示的电路,，“信号灯亮”表示事件以A 分别表示事件：以D C B ,,将电器接点I,Ⅱ,Ⅲ闭合, ,,,A BD BC A BD A BC =⊂⊂ 则 ,∅=A B 而 .互不相容与事件即事件A B 又可得.C B C B =§1.3 频率与概率一、频率的定义与性质1.频率的定义定义 在相同条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数. 比值nn A 称为事件A 发生的频率，记作()A f n 。
2.频率的性质设A 是随机试验E 的任一事件,则（1）;1)(0≤≤A f n（2）1)(=S f n（3）若k A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则).()()()(2121k n n n k n A f A f A f A A A f +++= 注：事件发生的频率大小表示其发生的频繁程度. 频率大, 事件发生就越频繁, 这表示事件在一次试验中发生的可能性就越大. 反之亦然.例1 考虑“抛硬币”这个试验, 将一枚硬币抛掷5次、50次、500次, 各做10遍,得到数据如下:（表见教材第6也表1-1）。
从上述数据可得:(1)频率有随机波动性, 即对于同样的n , 所得的f 不一定相同;(2) 抛硬币次数n 较小时，之间与在频率10)(H f n 随机波动,其幅度较大,但随着n 增大，频率()H f n 呈现出稳定性，即当n 逐渐增大时，()H f n 总在0.5附近摆动，而逐渐稳定与0.5.大量试验证实,当重复试验的次数n 逐渐增大时, 频率()A f n 呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数. 这种“频率稳定性”即通常所说的统计规律性，让试验重复大量次数, 计算频率()A f n 以它来表征事件A 发生的大小是合适的。
为了理论研究需要，我们从频率的稳定性和频率的性质得到启发, 给出如下表征事件发生大小的概率的定义.二、概率的定义与性质1.概率的定义定义 设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为()A P ，称为事件A 的概率，如果集合()•P 满足条件，0)(,:1≥A P A 有对于每一个事件非负性 ；;1)(,:2=S P S 有对于必然事件规范性，是两两互不相容的事件设可列可加性 ,,:321A A ,,2,1,,, =≠∅=j i j i A A j i 即对于有 ++=)()()(2121A P A P A A P2.概率的性质.0)(i =∅P 性质)(ii 有限可加性性质 n A A A ,,,21 若是两两互不相容事件,则有)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=iii 性质设B A ,是两个事件，若B A ⊂，则有;)()()(A P B P A B P -=-)()(A P B P ≥iv 性质 对于任意事件A ，1)(≤A P)(v 逆事件的概率性质 对于任意事件A ，)(1)(A P A P -= )(vi 加法公式性质对于任意两个事件B A ,，())()()(AB P B P A P B A P -+= 此性质可以推广到多个事件的情况.设321,,A A A 为任意三个事件，则有)()()()()(21321321A A P A P A P A P A A A P -++=,,,21n A A A n 个事件对于任()()∑∑≤<≤=-=n j i ji n i i n A A P A P A A A P 1121)( ())(1)(2111n n n j i k j i A A A P A A A P -≤<≤-+++∑例3 2131,和的概率分别为设事件B A ，求在下列三种情况下)(A B P 的值。