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1/一、偏导数的定义
及其计算法
二、高阶偏导数
思考题 三、小结
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2/ 一、偏导数的定义及其计算法 .【偏导数的定义】二元函数在一点处的1),yx ()y (x ,fz
【定义】
设的某一邻域内有定义，在点
(1)00x xyx??y处有增量当固定，而时，相应地函数有增量在00))??x,y?f,(xy(fx，若存在，则称
x),y(x)yz? 0000lim)x?x,y)?f(,f(x?y0000x?0??x
f(x,的偏导数，记为处对之为在点00?z?f?或.，，，)yf(x,,zf(xy)xx?
x00xx000?x?x xxxx??yy?000y?yy?y00,y,y xx??x )?( )f
f( 0000f(x,y)?lim 【注意】00x?x x?0?
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/3的偏导数y同样可定义对yyy??),?f(x)xf(,
0000),yf(x lim?0y0y?y??0
x ) 处对x , y 在域D内每一点( ) 若函数z = f ( x , y
, y偏导数存在或, 也简称为则该偏导数称为偏导函数
, 记为偏导数
f??z?,,,z)y,yx(f,)f,x(y2y y?y?
4/20
(2)【多元函数的偏导数】
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
[例如]三元函数u = f (x , y , z)
在点(x , y , z) 处对x 的偏导数定义为
x??xx
?x x?f(x,y,z)??(请自己写出) y f??)z,y,x(z
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5/ 2.【偏导数的计算】与一元函数的求导法则完全相同22在点处的偏导数．【例1】
求)(21,y?xy?x?3z z?z?【解】?.?3x2y;y?32x?x?y?z???3?2?82? 1?,1x?x?2?y z?3?1?2?2?7.?x?1y?2?y
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)(x?0,x?1xz?，】设2【例
6/y
zx?1?zz?2?. 求证
yy?x ln x?z?z?1y?y
【证】,yx??,xx ln x?y?1zx?x?z1 y1y?x ln?yx?x?x?yy?yx lnln x yy xx ??原结论成立．.?z2【证完】
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/7为常数）】3已知理想气体的状态方程（【例
RRT?pVT??p?V1????求证：. pT??V?【证】
RT?pRT;???p?2V?VVRV?VRTT? pV;?;??V??T?p?TRpp?RRTT??p? VRRTV.1??????????2V?T?pppV? VR)
自阅4教材例
(
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/83.【有关偏导数的几点说明】u?(1) ;是一个整体记号，不能拆分偏导数x?z?(2) 的方法：求
x?),(xy00z?先求后代①，再代值；先求出偏导函数x?z d先代后求②y先代入)，再求zy得?f(x,x d x0x?00x 如：设f(x,y)?x?(y?1)arcsin,求
f(x,1).y x求分界点、不连续点处的偏
导数③用定义求
［例如］xy,求f(0,)y?0),f(0,0).(设z?fx,yx|?x?0|?0f(0??x,0)?f(0,0)?lim lim f(0,0)?0?［解］?x x?x?x?0x??0?f).0,0(y
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9/【可偏导与连续的关系】(3).一元函数中在某点可导连续，
多元函数中在某点偏导数存在
连续，
xy?(x,y)?(0,0)?讨论f(x,y)在原点22【例4】y?x?)，f(x,y设?的可导性与连续性.?(x,y)?(00,0)?x?kxk令y = k x，【解】?lim,y)?f lim(x与k 有关
2222x?kx1?k0??0xxy?kxy?0故点(0,0)处极限不存在, 从而不连续, 但(0,0)点偏导数按定
义来求, 得
f(?x,0)?f(0,0)0f(0,0)?lim?lim?0,x xx??0??
x?x?0f(0,0)?0由自变量的同理轮换对称性得y.
连续偏导数存在故此
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10/
.
【思考题】连续偏导数存在）举例说明（见小结之后思
考题连续可偏导【结论】
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/11【偏导数的几何意义】(4). (复习:反函数求导法则的几何意义)
设M(x,y,f(x,y))为曲面z f(x,y)上一点, 00000
如图
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12/(4). 【偏导数的几何意义】
,上一点(x,y)为曲面,f,(设Mxy,(xy))z?f00000??? . yfx,tan?0y0? . y,(fx tan?)00x
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13/题—2 第5【练习】课本P，习题818
22?yx???z处的切线对于)4,5,在点x 5.曲线轴(2?4?4y??? 的倾角是多少??tan z?)5,4,2(x
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/14二、高阶偏导数【高阶偏导数的定义】1.
z?z?)y(x,?f),(xy?f),z?yf(x的，的一阶偏导数(1)若xy x?y?)x,yz?f(二阶偏导数偏导数仍存在，则称它们是函数。

的),yz?f(x函数的二阶偏导
数按变量的不同分为以下两类：［二阶纯偏导数］①
22z???zz???z????)??f(x,y),y,f(x??????y yxx22yy??y?x??x?x????②［二阶混合偏导数］
22z???zz???z?????,y)?f(x?) ,
y(?fx,????yxxy x??x??yyy??y?xx?????
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f( )?f(yy,,x xx??xx ?lim yf(x,)【定义式】xx x?x?0
?)yx,??y)?f(x,yf(xx其余类推
lim f?,y)(x xy y?0y??(2) 同样可得：三阶、四阶、…、以及n阶偏导数。

(3) ［定义］二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导
数3z?3231??xyz?xy?3xy.
】【例6设，求二阶偏导数及课本
3x?z?z?23322
【解】;?x9xy??2xy,?y3?xy?3y x?y?2z ?3z?2z?3;18xy2?x?2,?6y2,6xy?2y?3x?2x?22 zz??2222,96?xy?y?1.?1yy6?x?9x?y?y?x
?
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16/【混合偏导数相等的条件】2. 答: 不一定相等混合偏导数都相等吗？【问题】(1)xy3?(x,y)?(0,0)?[注意]分段函数yx?22【补例】f(x,y)?
设?在分界点的偏导?0(x,y)?(0,0)?数要用
定义求得.
求f(x,y)在点(0,0)的二阶混合偏导数.yy3x2x42??),0?(0?，(x,y)【提示】?x?y(x?y)22222?)yf(x,x?
0 ，
(x,y)?(0,0)?2xy23x3???，
(x,y)?(0,0)f(x,y)?x?y(x?y)22222?y?
0 ，
(x,y)?(0,0)?f( )?f(
)0y??0,00,?0,xx f(0,0)?li m?y yx?y?0
f( )?f( ) 0,0,x?0?0yy?1.lim,0)?(f0?x xy?x?0显然
f(0,0)?f).0,0(
yxxy
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17/(2)【问题】具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？?
即如何使混合偏导数与求导次序无
关22z?z?)x,yz?(f的两个二阶混合偏导数若【定理】及xy??yx??. 内这两个二阶混合偏导数必连续，则在D相等内在区域D[说明](1)
该定理条件是充分条件,不必要.
(2)因为初等函数的偏导数一般仍为初等函数,而初等函
数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导
.
数可以选择方便的求导顺序
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/18满足拉普拉斯方】验证函数例【722课本yy)?ln x?xu(,22u?u?
程.0??22y?x?12222),y ln(x?? ln xy?【解】2x?uyu?,??,?2222yx?x?y?y?x22222xy?y)? x??2xu(x?,???2222222))(x?y??x(xy222y?? ux.?2222)?yxy(?222222u??uyy?xx?????.? 0]
证完
[22222222y?x?)y?x()y?x(
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19/三、小结偏导数的定义：（偏增量比的极限）
偏导数的计算、偏导数的几何意义可偏导关系：可偏导与连续的连续纯偏导?
高阶偏导数??（相等的条件）混合偏导]习题9-2
P69 1练习[——9
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、5、4、39-2 P69
习题]作业
[
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/20【思考题】)yx,(P连续，能否断定若函数在点)(fx,y000),y(Px的偏导数必定存在？在点),yf(x000.
不能【思考题解答】
,处显然连续在yz?x?),0(0,yx?)(fx,y? 2222
如||x?(x,0) f = 0 在x 点显然不可导或用偏导数定义判断:
f(?x,0)?f(0,0)|?x|不存在
f(0,0)?lim?lim x?x?x0??x?0x?同理f. 不存在)0,0(y。