《数学史论约》复习题参考及答案本科一、填空（22分）1、数学史的研究对象是（数学这门学科产生、发展的历史），既要研究其历史进程，还要研究其（一般规律）；2、数学史分期的依据主要有两大类，其一是根据（数学学科自身的研究对象、内容结构、知识领域的演进）来分期，其一是根据（数学学科所处的社会、政治、经济、文化环境的变迁）来分期；3、17世纪产生了影响深远的数学分支学科，它们分别是（解析几何）、（微积分）、（射影几何）、（概率论）、（数论）；4、18世纪数学的发展以（微积分的深入发展）为主线；5、整数458 用古埃及记数法可以表示为（）。

6、研究巴比伦数学的主要历史资料是（契形文字泥板），而莱因特纸草书和莫斯科纸草书是研究古代（埃及数学）的主要历史资料；7、古希腊数学发展历经1200多年，可以分为（古典）时期和（亚历山大里亚）时期；8、17世纪创立的几门影响深远的数学分支学科，分别是笛卡儿和（费马）创立了解析几何，牛顿和（莱布尼茨）创立了微积分，（笛沙格）和帕斯卡创立了射影几何，（帕斯卡）和费马创立了概率论，费马创立了数论；9、19世纪数学发展的特征是（创造）精神和（严格）精神都高度发扬；10、整数458 用巴比伦的记数法可以表示为（）。

11、数学史的研究内容，从宏观上可以分为两部分，其一是内史，即（数学内在学科因素促使其发展），其一是外史，即（数学外在的似乎因素影响其发展）；12、19世纪数学发展的特征，可以用以下三方面的典型成就加以说明：（1）分析基础严密化和（复变函数论创立），（2）（非欧几里得几何学问世）和射影几何的完善，（3）群论和（非交换代数诞生）；13、20世纪数学发展“日新月异，突飞猛进”，其显著趋势是：数学基础公理化，数学发展整体化，（电子计算机）的挑战，应用数学异军突起，数学传播与（研究）的社会化协作，（新理论）的导向；14、《九章算术》的内容分九章，全书共（246）问，魏晋时期的数学家（刘徽）曾为它作注；15、整数458 用玛雅记数法可以表示为（）。

16、数学史的研究对象是数学这门学科产生、发展的历史，既要研究其（历史进程），还要研究其（一般规律）；17、古希腊数学学派有泰勒斯学派、（毕达哥拉斯学派）、（厄利亚学派）、巧辩学派、柏拉图学派、欧多克索学派和（亚里士多德学派）；18、阿拉伯数学家（阿尔-花拉子模）在他的著作（《代数学》）中，系统地研究了当时对一元一次和一元二次方程的求解方法；19、19世纪数学发展的特点，可以用以下三方面的典型成就加以说明：（1）（分析基础严密化）和复变函数论的创立；（2）非欧几里得几何学问世和（射影几何的完善）；（3）在代数学领域（群论）与非交换代数的诞生。

20、整数458 用古印度记数法可以表示为（）。

二、选择题1、数学史的研究对象是（C）；A、数学学科知识B、历史学科知识C、数学学科产生、发展的历史2、中国传统数学以（B）为基础，以算为主，寓理于算；A、算筹B、筹算C、珠算3、阿尔-花拉子模称为“平方和根等于数”的方程形如（A）；A、X2 +2X = 3B、X2 + 2 =3XC、X2 = 2X +34、《九章算术》的作者（C）；A、是刘徽B、是杨辉C、不可详考5、柯西把分析学的基础建立在（B）之上。

A、导数论B、极限论C、集合论三、解释（28分）古希腊数学学派——公元前6世纪~公元前3世纪，是古希腊的古典时期，当时的哲学家也是数学家，先后形成以一两位杰出人物为中心的组织，开展学术、或政治、或宗教活动，这类组织被称为古希腊哲学学派，亦即古希腊数学学派。

他们相继是泰勒斯学派、毕达哥拉斯学派、厄利亚学派、巧辩学派、柏拉图学派、欧多克索学派和亚里士多德学派，他们为初等数学的开创作出重要贡献。

阿拉伯数学——公元8世纪~15世纪，在中东、北非和西班牙等地的伊斯兰国家，以阿拉伯文字书写为主的数学著作所代表的数学；为阿拉伯数学作出贡献的人，不止于阿拉伯人，还有希腊人、波斯人、犹太人、甚至有基督徒。

阿拉伯数学在世界数学史上有承前启后的作用，有人称之为欧洲近代数学的“继父”。

阿拉伯数学的兴衰经历了8~9世纪的初创、9~13世纪的兴盛、14世纪以后外传三个阶段。

中国传统数学——从远古到明代，在中国独立产生、发展起来的数学知识体系。

它以筹算为基础，以算为主，寓理于算，广泛应用。

它有明显的算法化、模型化、程序化、机械化的特征。

方程术——载于《九章算术》卷八方程章，按现代数学的观点，方程术是指多元线性方程组的求解方法。

方程术采用线性方程组系数的增广矩阵，通过“遍乘”、“直除”的方法，即矩阵的初等行变换，将矩阵化为三角阵，逐一求解各变量的值。

这种方法与19 世纪德国数学家高斯的方法完全一致，只是矩阵的书写是竖式，转置后与现代的表达完全一样。

而且，3世纪的刘徽在注释方程术时，还明确指出方程组有解的条件，即“行之左右无所同存，且为有所据而言耳。

”印度数学——6世纪— 12世纪，印度文明古国的数学与历法都受婆罗门宗教的影响而发展起来，同阿拉伯、中国都有来往，但记载不详。

在印度ganita (计算）载于宗教书，年代不详，公元后该字被分为Pati-ganita (算术)，Bija-ganita(代数)，Krestra-ganita(几何)。

“因明”似与逻辑学同义，与数学关系不明，古希腊似的几何论证并不发展，先进的十进位值制，使用记号的代数却发展起来。

这个时期有著名的数学家：Arya-Bhatta（476 ~ 550）阿利阿伯哈塔Brahmagupta（598 ~ 660）婆罗摩及多“梵藏”Bhaskara — Acharya（1114 ~ 1185）婆什迦罗6、《几何原本》——公元前3 世纪，古希腊数学家欧几里得的巨著。

版本：目前可见最早的是888年希腊文抄本，最早的中译本是1607年徐光启笔译，后来1857 年李善兰续中译本，1925年T.LHeath英译本比较权威，1990年有中译本。

内容：原版13卷，后人有扩充成15卷的版本。

13卷的内容包括：[1] 直线形，[2] 几何代数法，[3] 圆，[4] 多边形，[5] 比例论[6] 相似形，[7] [8] [9] 数论，[10] 不可公度比，[11]立体图形，[12] 求积术，[13] 正多面体；这些数学知识可以追溯到古希腊古典时期的数学学派，乃至巴比伦和古埃及。

特征：1．大量引用古希腊古典时期数学家的数学成就；2．采用独特的编写方式：先给出定义，公设，公理，再由简到繁，由易到难地证明一系列命题；首次用公理化方法建立数学知识逻辑演绎体系，成为后世西方数学的典范。

7、阿尔-花拉子模——( 约780 ~ 840，一说850 ) ( A - Khowarizmi，Mohammed ibn Musa )曾担任巴格达“智慧宫”的主持人，著有《代数学》、《Al - jabr W`al muqabala 》《Algebra》，意为“复原”与“化简”；其中，讨论一元一次、二次方程求解：用“数”、“根”、“平方”分别表示：常数、x、x²，研究以下形式的方程：ax²=bx ax²=c bx=c ax²=bx+c ax²+bx=c ax²+c=bx譬如x² + 10x = 39 称之为“平方和根等于数”型，对于每一种方程给出解法，求出“根”和“平方”两个结果，但是一般只有正根，另外给出几何“证明”，以示其解法的合理性。

8、牟合方盖——一个正方体用它的两个中心轴线互相垂直的内切圆柱贯穿，所得到的相贯体；它是公元3世纪的刘徽在注“开立圆术”时提出的概念，并认识到它与其内切球的体积之比为4 ：π，但是不会计算它的体积；6世纪的祖暅用“缘幂势既同，则积不容异”的原理，求出了它的体积，进而求出了球体积。

9、筹算——在中国传统数学中，把生产、生活中的实际问题转换成一定的数学模型，采用算筹表示数，按照特定“术文”进行运算，从而解决实际问题。

筹算具有明显的算法化、模型化、程序化、机械化的特征。

筹算以算为主，寓理于算，广泛应用。

10、不可分量原理——意大利数学家Cavalieri，Francesco Bonaventure（1598 ~ 1647）在《用新的方法推进连续体的不可分量的几何学》（1635）提出“不可分量原理”：线段是无数个等距点构成，面积是无数个等距平行线段构成，体积是无数个等距平行平面构成，这些点、线段、平面是长度、面积、体积的“不可分量”。

Cavalieri 利用这种“不可分量”，进行长度、面积、体积的计算及其相关的推理，但是，他未能对“不可分量”作出严格的论述。

数学家们对此褒贬不一。

1644年，Cavalieri本人发现了关于“不可分量”的悖论。

11、大衍求一术——“大衍求一术”起源于5 世纪的《孙子算经》卷下第26 问“物不知其数”，世纪秦九韶的《数书九章》（1247年）总结出该算法，现在国际上称之为“中国剩余定理”。

秦九韶的工作可以用现代数学术语表示如下：对于一般的一次同余式组N ≡ Ri (mod Ai) i = 1, 2, 3,…n，给出―大衍总数术‖，它包括两部分：1）将{A i} ，化为{a i} ，使(a i,a j) = 1, i ≠ j ，得到等价问题N ≡ R i (mod a i)i =1,2,3,…n ；此为化“问数”为“定数”。

2）求解k i×g i≡ 1 (mod a i) i = 1, 2, 3, … n ；得到k i。

从而，N = ∑ R i K i(M/a i) - pM ，i = 1, 2, 3, … n ；其中M = ∏a i，g i< a i，为m I = M/a I 累减a i 所得余，p 为适当的非负整数，使N < M ；此为“大衍求一术”。

12、超实数域——在美国数学家Robinson，Abraham（1918 ~ 1974）创立非标准分析中，假设存在实数域R 的一个有序域正真扩张R*，R* 的元素称之为超实数。

若x∈R* ，∀ r>0 r∈R ，有|x|<r ，则x 称为无穷小；若x、y ∈R* ，x - y 是无穷小，则x 、y为无限接近，记为x ≈ y 。

对于每一个有限超实数x ，存在唯一实数r ，使r ≈ x ，则这个唯一的r 为x 的标准部分，记为r = St (x) 。

∀ x∈R* ，在r = St (x) 周围有与x 相差为无穷小的单子的集合。

在此基础之上，建立超实数域上的微积分，把无穷小作为一个逻辑实体，又有求标准部分的方法，为微积分的运算和推理带来了方便。

13．巴比伦楔形文字泥板——现在我们研究巴比伦数学知识的积累最可靠的资料，它是用截面呈三角形的利器作笔，在将干而未干的胶泥板上斜刻写而成的，由于字体为楔形笔画，故称之为楔形文字泥板书。