培优专题 等腰三角形等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径．例1 如图1-1，△ABC 中，AB=BC ，M 、N 为BC 边上两点，且∠BAM=∠CAN ，MN=AN ，求∠MAC 的度数．分析 AB=AC ，MN=AN 可知△ABC 和△AMN 均为等腰三角形，充分利用等腰三角形的性质寻找所求角间的关系． 练习11．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAE=30°，则∠DEC 等于（ ）．A ．7．5°B ．10°C ．12.5°D ．15°2．如图，AA ′、BB ′分别是△ABC 的外角∠EAB 和∠CBD 的平分线，且AA ′=AB=B ′B ，A ′、B 、C 在一直线上，则∠ACB 的度数是多少？3．如图，等腰三角形ABC 中，AB=BC ，∠A=20°．D 是AB 边上的点，且AD=BC ，•连结CD ，则∠BDC=________．例2 如图1-5，D 是等边三角形ABC 的AB 边延长线上一点，BD•的垂直平分线HE•交AC 延长线于点E ，那么CE 与AD 相等吗？试说明理由．分析 要说明似乎没有任何关系的两条线段相等，往往需要做一些工作，如添加辅助线，构造全等三角形等，从而达到解决问题的目的．练习21．已知如图1-6，在△ABC中，AB=CD，D是AB上一点，DE⊥BC，E为垂足，ED•的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？1-6 1-7 1-82．如图1-7，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，则BD与BA的大小关系是（）A．BD>BA B．BD<BA C．BD=BA D．无法确定3．已知：如图1-8，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=•AC，•延长BE交AC于F，AF与EF 相等吗？为什么？例3已知：如图1-9，△ABD和△BEC均为等边三角形，M、N分别为AE和DC•的中点，那么△BMN是等边三角形吗？说明理由．分析要说明一个三角形是等边三角形，•只要能够证明这个三角形满足“三条边相等或三个角相等或一个角是60°的等腰三角形”即可．本题只需利用三角形全等证得BM=BN，且∠MBN=60°即可．1-9练习31．已知：如图1-10，在等边三角形ABC中，BD=CE=AF，AD与BE交于G，BE与CF•交于H，CF与AD交于K，试判断△GHK的形状．2．已知：如图1-11，△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上的任意一点，选择一点D ，•使△CDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，那么△CMN•是等边三角形吗？为什么？1-113．已知：如图1-12，等边三角形ABC ，在AB 上取点D ，在AC 上取点E ，使AD=AE ，作等边三角形PCD 、QAE 和RAB ，则以P 、Q 、R 为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由．例4 已知：如图1-13，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=100°，∠ABC 的平分线交AC 于E ，试比较AE+BE 与BC 的大小？分析 说明一条线段的长是否等于其他两条线段长的和，•常常采用截取等长线段的方法，将那些本来没有关系的线段放在条线段上，这样可迎刃而解． 解：在BC 上截取BF=BE ，BD=BA ，连结FE 、DE ，练习41．如图1-14，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边BC 上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，•CF ⊥AB 于F ，那么PD+PE 与CF 相等吗？2．已知：如图1-15，△ABC 和△ADE 都是等边三角形．B 、C 、D 在一条直线上，•说明CE 与AC+CD 相等的理由．3．已知：如图1-16，△ABC 是等边三角形，延长AC 到D ，•以BD•为一边作等边三角形BDE ，连结AE ，则AD_______AE+AB ．（填“>”或“＝”或“<”）1-16例5 已知：如图1-17，△ABC 中，AB=AC ，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD=AB，那么CE 是CD 的几分之几？分析 延长线段到倍长，再证明三角形全等，往往是说明线段倍分关系的重要途径和必要手段．解：延长CE 到F ，使EF=CE ，连结BF ，CE 是AB 的中线，∴AE=EB ． 练习51．如图1-18，D 、E 分别是等边三角形ABC 两边BC 、AC 上的点，且AE=CD ，连结BE 、•AD 交于点P ．过B 作BQ ⊥AD 于Q ，请说明BP 是PQ 的2倍．1-182．如图1-19，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE ，那么CE•是BD 的几分之几？1-193．已知：如图1-20，在△ABC 中，AB=AC ，AD 和BE 是高，它们相交于H ，且AE=BE ，•那么AH 是BD 的________倍．1-201-17答案:练习11．解：设∠DEC=x，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED．∴x=∠AEC-∠ADE=（∠B+30°）-∠ADE=（∠B+30°）-（∠C+x）∵AB=AC，∴∠B=∠C∴2x=30°，x=15°，故选C．2．解：∵AB=BB′，∴∠BAB′=∠BB′A，∠B′BD=∠BAB′+∠BB′A=2∠BAB′．又∠CBB′=∠DBB′，∴∠ACB=∠CBB′+∠CB′B=3∠CAB．设∠CAB=x，∴∠ACB=3x，∠CBD=4x，又AA′=AB，∴∠A′=∠ABA′=∠CBD=4x．∵AA′平分∠EAB．∴∠A′AB=12（180°-x）．又∠A′AB=180°-（∠A′+∠ABA′）=180°-8x∴12（180°-x）=180°-8x．∴x=12°，故∠ACB=36°．3．解：如图，作△AED≌△BAC，连结EC．则∠AED=∠BAC=20°，∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°．∴∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°．又∵AB=AE=AC，∴△ACE是正三角形，AE=EC=ED．∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°．∴∠EDC=12（180°-∠DEC）=70°．∴∠BDC=180°-（∠ADE+∠EDC）=30°．练习21．解：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠FEC=90°．在Rt△DEB与Rt△FEC中，∵∠B=∠C，∴∠BDE=∠F．∵∠FDA=∠BDE，∴∠FDA=∠F，故AD=AF．2．解：以AD为边在△ADB内作等边△ADE，连结BE．则∠1=∠2=∠3=60°．∴AE=ED=AD．∵∠DAC=15°，∴∠EAB=90°-∠1-∠DAC=15°．∴∠DAC=∠EAB．又∵DA=AE，AB=AC，∴△EAB≌△DAC．∴∠EBA=∠DCA=15°．∴∠BEA=180°-∠EBA-∠EAB=150°．∵∠BED=360°-∠BEA-∠AED=150°．∴∠BEA=∠BED．又∵EB=EB，AE=ED．∴△BEA≌△BED，∴BD=BA．故选择C．3．解：延长AD到G，使DG=AD，连结BG，∵BD=DC，∠BDG=∠CDA，AD=DG，∴△ADC≌△BDE．∴AC=BG，∠G=∠EAF，又∵BE=AC，∴BE=BG．∴∠G=∠BED，而∠BED=∠AEF，∴∠AEF=∠AFE，故FA=FE．练习31．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=CA∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．又∵BD=AF=CE，∴△ABD≌△BCE≌△CAF．∴∠1=∠2=∠3．∴∠BAC-∠1=∠ABC-∠2=∠ACB-∠3．即∠CAK=∠ABG=∠BCH．又∵AB=BC=CA，∴△ABG≌△BCH≌△CAK．∴∠AGB=∠BHC=∠CKA．即∠KGH=∠GHK=∠GKH．故△GKH是等边三角形．2．解：由于△ABC与△CDE均为等边三角形，A、C、E三点共线，得知：CA=CB，CD=CE，∠ACD=∠BCE，故△ACD≌△BCE．∴∠ADC=∠BEC，AD=BE．又DM=12AD，EN=12BE，∴△DCM≌△ECN．∴∠DCM=∠ECN，CM=CN．又∠ECN+∠NCD=∠ECD=60°，∴∠NCM=∠MCD+∠NCD=60°．∴△CMN是等边三角形．3．解：连结BP．∵△ABC与△CDP均为等边三角形，∴AC=BC，CD=CP，∠ACB=∠DCP=60°．∴∠1=∠2，∴△ADC≌△BPC．∴∠CBP=∠DAC=60°．∵∠RBP=∠RBA+∠ABC+∠CBP=60°+60°+60°=180°，∴R、B、P三点共线．又∵∠RAQ=∠RAB+∠BAC+∠CAQ=60°+60°+60°=180°，∴R、A、Q三点共线．而AQ=AE=AD=BP，∴RQ=RA+AQ=RB+BP=RP．又∠R=60°，∴△PQR是等边三角形．故以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形．练习41．解：∵S△ACB=S△APB+S△APC，即12AB·CF=12AB·PD+12AB·PE．∴CF=PD+PE．2．解：∵AC=AB，∠CAE=∠BAD，AE=AD，∴△AEC≌△ADB．∴CE=BD．又∵BD=BC+CD=AC+CD．∴CE=AC+CD．3．解：∵△ABC和△BDE均为等边三角形．∴∠ABE=60°-∠EBC=∠CBD，AB=BC，BE=BD．∴△ABE≌△CBD．∴AE=CD．又∵AB=AC，∴AD=AC+CD=AB+AE．练习51．解：∵∠CAB=∠C=60°，AE=CD，AB=AC，∴△ADC≌△BEA，∴∠CAD=∠EBA．又∠BPQ=∠PAB+∠PBA=∠PAB+∠CAD=60°，∴在Rt△PQB中，∠PBQ=30°，∴BP=2PQ．2．解：延长CE交BA的延长线于F，∵∠1=∠2，∠BEC=∠BEF=90°，BE=BE，∴△BEC≌△BEF．∴BC=BF，CE=EF，∴CE=12CF．又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，∠3=∠4，∴∠2=∠5，且AB=AC．∴Rt△AFC≌Rt△ADB．∴CF=BD．故CE=12BD．3．解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC，∠DAC+∠C=90°．又∵BE⊥AC，∴∠EBC+∠C=90°．∴∠DAC=∠EBC．在△AEH和△BEC中，∵∠DAC=∠EBC，AE=BE．∠AEH=∠BEC=90°，∴△AEH≌△BEC，∴AH=BC．又BC=2BD，故AH=2BD．。