2019-2020学年广东省惠州市惠城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）在下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）3．（3分）若关于x的方程x2+mx+6＝0的一个根是x＝﹣2，则m的值是（）A．5B．﹣6C．2D．﹣54．（3分）在单词probability（概率）中任意选择一个字母，选中字母“i”的概率是（）A．B．C．D．5．（3分）抛物线y＝3x2向右平移一个单位得到的抛物线是（）A．y＝3x2+1B．y＝3x2﹣1C．y＝3（x+1）2D．y＝3（x﹣1）26．（3分）有n支球队参加篮球比赛，共比赛了15场，每两个队之间只比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．n（n﹣1）＝15B．n（n+1）＝15C．n（n﹣1）＝30D．n（n+1）＝307．（3分）已知点P（﹣1，4）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k的值是（）A．4B．﹣4C．D．﹣8．（3分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，则∠PCA＝（）A．30°B．45°C．60°D．67.5°9．（3分）函数y＝与y＝kx2﹣k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．10．（3分）如图，AB是半圆O的直径，且AB＝4cm，动点P从点O出发，沿OA→→BO的路径以每秒1cm的速度运动一周．设运动时间为t，s＝OP2，则下列图象能大致刻画s与t的关系的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共7个小题，每小题4分，共28分）11．（4分）方程2x2﹣x＝0的根是．12．（4分）点M（3，a﹣1）与点N（b，4）关于原点对称，则a+b＝．13．（4分）将△ABC绕着点C顺时针方向旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A＝40°，∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是．14．（4分）做任意抛掷一只纸杯的重复实验，部分数据如表抛掷次数50100500800150030005000杯口朝上的0.10.150.20.210.220.220.22频率根据表，可估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为．15．（4分）圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为cm2．16．（4分）如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点C，则k的值为．17．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣4，x2＝1；④当y＞0时，﹣4＜x＜2，其中正确的结论有．三、解答题（一）（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）18．（6分）解方程x2﹣3x﹣1＝0．19．（6分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．（1）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A′B′C′．（2）求点B绕点O旋转到点B′的路径长（结果保留π）．20．（6分）某学校自主开发了A书法、B阅读，C绘画，D器乐四门选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．（1）若学生小玲计划选修两门课程，请写出她所有可能的选法；（2）若学生小强和小明各计划选修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？四、解答题（二）（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）21．（8分）若关于x的一元二次方程（1﹣m）x2﹣4x+1＝0方有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）若m为小于10的整数，且该方程的根都是有理数，求m的值．22．（8分）如图，点A（5，2），B（m，n）（m＜5）在反比例函数y＝的图象上，作AC⊥y轴于点C．（1）求反比例函数的表达式；（2）若△ABC的面积为10，求点B的坐标．23．（8分）工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？五、解答题（三）（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）24．（10分）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE 的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线：（2）若BF＝8，DF＝，求⊙O的半径；（3）若∠ADB＝60°，BD＝1，求阴影部分的面积．（结果保留根号）25．（10分）如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，0），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．求S关于m的函数表达式；（3）抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为F，对称轴为直线l，当S最大时，在直线l上，是否存在点M，使以M、Q、D、F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．2019-2020学年广东省惠州市惠城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项符合题意；D、是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．2．【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2，∴抛物线顶点坐标为（1，2），故选：A．3．【解答】解：把x＝﹣2代入x2+mx+6＝0得4﹣2m+6＝0，解得m＝5．故选：A．4．【解答】解：字母i出现两次，其概率为．故选：A．5．【解答】解：y＝3x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）右平移一个单位所得对应点的坐标为（1，0），所以平移后的抛物线解析式为y＝3（x﹣1）2．故选：D．6．【解答】解：设有n支球队参加篮球比赛，则此次比赛的总场数为n（n﹣1）场，根据题意列出方程得：n（n﹣1）＝15，整理，得：即n（n﹣1）＝30，故选：C．7．【解答】解：∵点P（﹣1，4）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴4＝，解得，k＝﹣4．故选：B．8．【解答】解：如图，∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD，又∵OC＝CD，∴∠COD＝45°，∵AO＝CO，∴∠ACO＝22.5°，∴∠PCA＝90°﹣22.5°＝67.5°．故选：D．9．【解答】解：分两种情况讨论：①当k＜0时，反比例函数y＝，在二、四象限，而二次函数y＝kx2﹣k开口向下，故A、B、C、D都不符合题意；②当k＞0时，反比例函数y＝，在一、三象限，而二次函数y＝kx2﹣k开口向上，与y轴交点在原点下方，故选项D正确，故选：D．10．【解答】解：利用图象可得出：当点P在半径AO上运动时，s＝OP2＝t2；在弧AB上运动时，s＝OP2＝4；在OB上运动时，s＝OP2＝（2π+4﹣t）2．故选：C．二、填空题（本大题共7个小题，每小题4分，共28分）11．【解答】解：左边因式分解，得：x（2x﹣1）＝0，∴x＝0或2x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝，故答案为：x1＝0，x2＝．12．【解答】解：根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，∴b+3＝0，4+a﹣1＝0，即：b＝﹣3且a＝﹣3，∴a+b＝﹣6．故答案为：﹣6．13．【解答】解：根据旋转的性质可得：∠A′＝∠A，∠A′CB′＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠A′＝40°，∵∠B′＝110°，∴∠A′CB′＝180°﹣110°﹣40°＝30°，∴∠ACB＝30°，∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，∴∠ACA′＝50°，∴∠BCA′＝30°+50°＝80°，故答案是：80°．14．【解答】解：依题意得杯口朝上频率逐渐稳定在0.22左右，估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为0.22．故答案为：0.22．15．【解答】解：圆锥的侧面积＝π×6×10＝60πcm2．16．【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别是6和4，∴C（﹣3，2），∵点C在反比例函数y＝的图象上，∴2＝，解得k＝﹣6．故答案为：﹣6．17．【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向下，a＜0，对称轴为直线x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a，b＜0，与y轴交在正半轴，c＞0，∴abc＞0，因此①正确；∵b＝2a，即2a﹣b＝0，因此②正确；图象过点（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，因此与x轴另一个交点（2，0），因此一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣4，x2＝2；故③不正确；由图象可得，图象位于x轴上方时，即y＞0时，相应的自变量的取值范围为﹣4＜x＜2，因此④正确；综上所述，正确的结论有：①②④，故答案为：①②④．三、解答题（一）（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）18．【解答】解：x2﹣3x﹣1＝0，这里a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，∵△＝9+4＝13，∴x＝，∴x1＝，x2＝．19．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；（2）OB＝＝3，点B绕点O旋转到点B′的路径长＝＝π．20．【解答】解：（1）共有6种等可能的结果数，它们是：AB、AC、AD、BC、BD、CD；（2）画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4，所以他们两人恰好选修同一门课程的概率＝＝．四、解答题（二）（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）21．【解答】解：（1）由题意可知：△＝12+4m＞0，∴m＞﹣3∵1﹣m≠0，∴m≠1，∴m的取值范围为：m＞3且m≠1．（2）∵m为小于10的整数，又m＞﹣3且m≠1．∴m可以取﹣2，﹣1，0，2，3，4，5，6，7，8，9，当m＝﹣2或6时，△＝4或36，为平方数，此时该方程的根都是有理数．22．【解答】解：（1）∵点A（5，2）在反比例函数y＝图象上，∴k＝10，∴反比例函数的解析式为y＝．（2）由题意：×5×（n﹣2）＝10，∴n＝6，∴B（，6）．23．【解答】解：（1）设该工艺品每件的进价是x元，标价是y元．依题意得方程组：解得：．故该工艺品每件的进价是155元，标价是200元．（2）设每件应降价a元出售，每天获得的利润为W元．依题意可得W与a的函数关系式：W＝（45﹣a）（100+4a），W＝﹣4a2+80a+4500，配方得：W＝﹣4（a﹣10）2+4900，当a＝10时，W最大＝4900．故每件应降价10元出售，每天获得的利润最大，最大利润是4900元．五、解答题（三）（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）24．【解答】（1）证明：连接OA、OD，如图，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODF+∠OFD＝90°，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CF A，而∠CF A＝∠OFD，∴∠ODF+∠CAF＝90°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD+∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，则OF＝8﹣r，在Rt△ODF中，（8﹣r）2+r2＝（）2，解得r1＝6，r2＝2（舍去），即⊙O的半径为6；（3）解：∵∠BOD＝90°，OB＝OD，∴△BOD为等腰直角三角形，∴OB＝BD＝，∴OA＝，∵∠AOB＝2∠ADB＝120°，∴∠AOE＝60°，在Rt△OAC中，AC＝OA＝，∴阴影部分的面积＝••﹣＝．25．【解答】解：（1）将点A（0，4），C（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得，，解得，b＝，c＝4，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；（2）∵OA＝4，OC＝4，∴AC＝＝＝8，在Rt△AOC中，sin∠OAC＝＝＝，∴∠OAC＝∠ACB＝30°，过点Q作QE⊥BC于点E，则QE＝CQ＝（8﹣m），∴S＝CP•QE＝×m（8﹣m）＝﹣m2+2m；（3）存在符合条件的M，理由如下：由（2）得S＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，当m＝2时，S取最大值，此时，QE＝2，∴Q（2，2），又∵点D在抛物线y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+上，∴当y＝4时，x＝2，∴D（2，4），顶点F（1，），设点M的坐标为（1，y），则MF∥DQ，∴当MF＝DQ时，以M、Q、D、F为顶点的四边形是平行四边形，∴y﹣＝4﹣2或﹣y＝4﹣2，解得，y＝或y＝，∴符合条件的点M的坐标为（1，），（1，）．。