第一章数值计算中的误差习题一1.1 下列各近似数的绝对误差限是最末位的半个单位，试指出它们各有几位有效数字。

1x =-3.105 , 2x =0.001, 3x =0.100, 4x =253.40, 5x =5000, 6x =5⨯310.答案：4，1，3，6，4，1.1.2 设100>*x >10,x 是*x 的有五位有效数字的的近似数,求x 的绝对误差限。

答案：当10<x<100时,因为有5位有效数字,所以绝对误差限为0.005. 1.3 求下列各近似数的相对误差限和有效数字位数： 1) 123x x x ++,2) 124x x x 3) 24x x 答案：()10.0005e x ≤()20.0005e x ≤()30.0005e x ≤ ()40.005e x ≤ ()50.5e x ≤ ()60.5e x ≤1）()()()()123123e x x x e x e x e x ++=++≤()()()123e x e x e x ++3221.5100.15100.510---≤⨯=⨯≤⨯2123()0.1510x x x ε-++=⨯123123123()()0.0004993...0.0004994r x x x e x x x x x x ε++++==≤++123x x x ++=-3.004 精确到小数点后两位,所以有三位有效数字。

2）()()()()()()12424112424114224()e x x x x x e x x e x x x x e x x x e x x e x =+=++ =()()()241142124)x x e x x x e x x x e x ++()()()241142124x x e x x x e x x x e x ≤++ =660.5100.31050.0005 3.1050.510--⨯+⨯+⨯⨯ 所以43124() 1.71275100.510x x x ε--=⨯≤⨯124x x x =43.105100.0003105--⨯=-41241244124() 1.7127510()0.5515...3.10510r x x x e x x x x x x ε--⨯===⨯3）()()2222424244444()()1x x e x x e x e e x e x x x x x x ⎛⎫≈-≤+⎪⎝⎭325105420.5100.5100.197316100.77868100.1997100.510253.40253.40------⨯⨯=+=⨯+⨯≈⨯<⨯ 又由24x x 50.3946310-≈⨯知有0位有效数字 ∴522440.1997100.5r x e x x x -⎛⎫⨯≤≈ ⎪⎝⎭1.4 x+yz,xyz 和xyz中哪一个的相对误差可能超过所有单项（x,y,z ）的相对误差的五倍 答案：()()()()(()())r r r r r r x yz x yze x yz e x e yz e x e y e z x yz x yz x yz x yz+≈+=++++++ 如果5yz x yz >+ 5x x y z>+且两式同号,则()r e x yz +可能大于()r e x ,()r e y ,()r e z 的5倍。

()()()()r r r r e xyz e x e y e z ≈()()()()()()r r r r r r xe e x e yz e x e y e z yz≈-=-- 1.5 计算球体积要使相对误差为210-,问测量半径r 时允许的相对误差限时多少？答案：31=r 3V π球 3()()3()r r r e v e r e r ≈=要使2()10r e v -≤,只需使23()10r e v -≤即1()300r e v ≤。

1.6 设s=212gt ,假定g 是准确的,但对t 测量有±0.1秒的误差。

证明：当t 增加时,s 的绝对误差限增加,而相对误差限却减少。

答案：21,0,()0.12s gt t e t =>=± ()()e s g t e t ≈ ()()()0.1e s g t e t g t e t g t≈== 显然,当t 增加时, ()e s 增加, ()0.2()2()2r r e t e s e t t t≈==。

1.7 用下列近似数据计算lg x-lg y: 1) x=100,y=100.1 2)x=100,y=410-.答案：由于lg x 与lg y 相近,应避免它们想减,所以lg x-lg y=lgx y1) lg 100-lg100.1=lg100100.1lg 0.999000999≈0.000434077≈- 2) 2)lg 100-lg 410-=lg 410010-=lg 610=61.8 取7位有效数字计算r=21cos ,10sin xx x--=（准确值为0.0050000416...r *=） 答案：因为1与cos 210-相近,sinx 很小，应令1cos sin sin 1cos x x r x x-==+即 22sin100.0099998330.00500004151cos1010.9999500r --=≈≈++ 221cos1010.099995000.005000084sin1010.009999833r ----=≈=+比较知后者产生有效数字的损失 1.9 序列{n y }满足递推关系1101n n y y -=- （n=1,2,3,…）若0 1.41y ≈（3位有效数字），问计算10y 的绝对误差限是多少，这个计算过程稳定吗？ 答案：因为()()()()101099010110...10e y e y e y e y =-===所以()()101010010100.005e y e y =≤⨯误差发生了积累和扩散，故此计算过程不稳定。

1.10 )()2361)199≡≡-是一个恒等式，但用 1.4≈却出现了0.004096=1的结果。

这是怎么回事，哪一个较准确呢？ 答案：分别分析()611y x =-与29970y x =-的误差 ()()()()()651161e y ex x e x =-≈-=()560.4e x ⨯560.40.0142≈⨯⨯=0.0008731()()()2997070700.01420.9947e y e x e x =-≈≈⨯=所以()()12e y e y < ()611y x =-更准确，而2y 得误差太大，导致产生0.004096=1的现象。

第二章 插值法与最小二乘法 习题二2.1证明：对于次数小于等于n 的多项式f(x),满足条件（2.1）的n 次插值多项式()n P x 就是它自身.并由此证明0,(0,1,2,,)nnj m mkk j j kk jx x xx m n x x ==≠-≡=-∑∏答案：① 1令()()()n h x f x P x =-，显然()h x 是次数n ≤的多项式 只需证()0h x ≡，有插值条件知()()j n j f x P x -（j=0,1,2,…n ） 所以有()j h x =()()0j n j f x P x -=（j=0,1,2,…n ） 即()h x 有n+1个互异的根由代数基本定理知n 次代数方程有且仅有n 个根，因此()0h x ≡ ，即()()f x h x ≡，得证。

2 ()()()()1()(1)!n n n f R x f x P x x n ξω+=-=+ 其中0n x x ξ<<，0()()nj j x x x ω==-∏， 由于()f x 为次数小于等于n 的多项式，因此()1n fξ+0≡，0n x x ξ<<，从而()()()0n n R x f x P x =-≡，即()()n f x P x ≡。

②利用上次结论 令()mf x x =记0nj k j j kk jx x l x x =≠-=-∏以0x ，1x ，…，n x 为插值节点，作()f x 的n 次插值多项式得 ()0nn k kk P x x l ==⋅∑由()()n f x R x =即得证 2.2给出概论积分2()xx f x edx -=⎰的数据表试用二次插值计算：1）当x=.472时该积分的值， 2）当x 为何值时积分值等于0.5. 答案：1）()220()i i i P x y l x ==∑，其中20()()()j i j j ii j x x l x x x =≠-=-∏0201122012010210122021()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x P x y y y x x x x x x x x x x x x ------=++------2(0.472)P =0.49555292）作反插值 以0y ，1y ，2y 为插值节点，以0x ，1x ，2x 为函数值 则()220()i ii P y x l y ==∑，其中20()()()j ij j i i j y y l y y y =≠-=-∏220(0.5)(0.5)i i i P x l ==∑=0.47693632.3 想一想，抛物线插值基础函数是怎么设计出来的？ 答案：由()0102()0l x l x ==得()l x 中含因式12()()x x x x -- 又因为()012()()l x a x x x x =-- 其中a 为常数，又由()001l x =得01021()()a x x x x =--从而得()1200102()()()()x x x x l x x x x x --=--，同理可得()1l x ，()2l x …2.4 设f （x ）=4x ，试用余项定理写出以-1，0，1，2为节点的三次插值多项式. 答案：()()(4)31(1)(0)(1)(2)4!R x f x x x x ξ=+---=(1)(1)(2)x x x x +-- ()1,2ξ∈- ()()()43233(1)(1)(2)22P x f x R x x x x x x x x x =-=-+--=+- 2.5 证明：对于()f x 的以0x ，1x 为节点的一次插值多项式()1P x ，插值误差()()012101()max ()8x x x x x f x P x f x ≤≤-''-≤ 答案：()()1011()()()2f x P x f x x x x ξ''-=-- 0101011max ()max ()()2x x x x x x f x x x x x ≤≤≤≤''≤⋅-- ①2210100110()()()()()()()24x x x x x x x x x x x x x x -+--⎡⎤--≤--≤≤⎢⎥⎣⎦即0121001()max ()()4x x x x x x x x x ≤≤---= ②由①②得()()012101()max ()8x x x x x f x P x f x ≤≤-''-≤ 2.6 已知y=sin x 的函数表试构造差商表，利用二次Newton 插值公式计算sin(1.609)(保留五位小数)，并估计其误差。