数值计算方法考试试题
一、选择题（每小题4分，共20分）
1. 误差根据来源可以分为四类，分别是（ A ）
A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差；
B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差；
C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差；
D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。
2. 若132)(3
56++-=x x x x f ，则其六阶差商
=]3,,3,3,3[6210 f （ C ） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。
3. 数值求积公式中的Simpson 公式的代数精度为 （ D ）
A. 0；
B. 1；
C. 2；
D. 3 。
4. 若线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 为严格对角占优矩阵，则解方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法 （ B ）
A. 都发散；
B. 都收敛
C. Jacobi 迭代法收敛，Gauss-Seidel 迭代法发散；
D. Jacobi 迭代法发散，Gauss-Seidel 迭代法收敛。
5. 对于试验方程y y λ='，Euler 方法的绝对稳定区间为（ C ）
A. 02≤≤-h ；
B. 0785.2≤≤-h ；
C. 02≤≤-h λ；
D. 0785.2≤≤-h λ ； 二、填空题（每空3分，共18分）
1. 已知
⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛--='-=4321,)2,1(A x ，则 =2
x 5，=
1Ax 16 ，=2A 22115+
2. 已知
3)9(,2)4(==f f ，则 f (x )的线性插值多项式为)6(2.0)(1+=x x L ,且用线性插值可得f (7)= 2.6 。
3. 要使
20的近似值的相对误差界小于0.1%，应至少取 4 位有效数字。
三、利用下面数据表，
1. 用复化梯形公式计算积分
dx
x f I )(6
.28
.1⎰
=的近似值；
解：1.用复化梯形公式计算 取
2.048
.16.2,4=-=
=h n 1分
分
分分7058337
.55))6.2()2.08.1(2)8.1((22.04))
()(2)((231
1
1
4=+++=++=∑∑=-=f k f f b f x f a f h
T k n k k
10.46675
8.03014
6.04241
4.42569
3.12014
f (x ) 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 x
2. 用复化Simpson 公式计算积分
dx
x f I )(6
.28
.1⎰
=的近似值。
(要求计算结果保留到小数点后六位). （14分）
解：用复化辛甫生公式计算 取
4.028
.16.2,2=-=
=h n 8分
分分分14033002.512)}6.2()2.2(2)]4.2()0.2([4)8.1({6
4
.011))()(2)(4)((61
1
1022
1=++++=
+++=∑∑-=-=+f f f f f b f x f x f a f h
S n k k n k k
四、已知矩阵
⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=1256144412A ，求矩阵A 的Doolittle 分解。
（10分） 解：用紧凑格式法
分分分14033002
.512)}6.2()2.2(2)]4.2()0.2([4)8.1({6
4.011))
()(2)(4)((61
11022
1=++++=+++=∑∑-=-=+f f f f f b f x f x f a f h
S n k k n k k
41
2131312121111======a u a u a u 2分
7
2
213
21232312
2122221121
21-=⋅-==⋅-===
u l a u u l a u a a l 5分
7
1
3
233213
31333322
12
31323211
3121=⋅-⋅-==⋅-=
==u l u l a u u u l a l a a
l 8分
⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴772412113121 LU A 10分
五、用Newton 迭代法求解方程0133=--x x 在2.0附近的实根（计算结果保留到小数点后第四位）。
（12分） 解：
013)(3=--=x x x f ， 0.20=x
331
23313)()(2
3
2
31-+=----='-=+k k k k k k k k k k x x x x x x x f x f x x 6分
8889.19
17
3
231223
31223203
01==
-⨯+⨯=
-+=
x x x 8分
8794.13
31221
312=-+=
x x x ，
8794
.13
31222
323=-+=
x x x 11分
故，方程的近似根为1.8974 12分
六、对下面线性方程组 （12分）
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++3
8.04.028.04.014.04.0321321321x x x x x x x x x
1.判别用雅可比迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式；
2.判别用高斯-塞德尔迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式； 解 1. 雅可比法:
A 是对角元素为正的实对称阵,下面判别A D A -2 和是否同时正定:
296.01
8.04.08.014.04
.04.01
, 016.011
4.04
.01 , 01 >=>-=>
A ∴正定 5分
⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛------=-18.04.08.014.04.04.01
2A D
216.01
8.04.08.014.04
.04.01
, 016.011
4
.04.01
, 01 <-=------>-=-->
A D -∴2 不正定.即A D A -2 和不同时正定 8分
故,Jacobi 法发散. 9分 2. 高斯-塞德尔法:由1知,
A 是实对称正定矩阵,所以Gauss-Seidel 法收敛. 10分
其迭代格式为 ⎪
⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=--=++++++)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3
)(2)1(1
8.04.0380 4.02 4.04.01 k k k k k k k k k x x x x .x x x x x 12分
七、已知初值问题：⎩
⎨
⎧=≤<-= 1)0(4
.00,'y x y x y ，取步长h =0.1，
1. 用（显式的）Euler 方法求解上述初值问题的数值解；
2. 用改进的Euler 方法求上述初值问题的数值解。
（14分） 解：1 .建立具体的Euler 公式:
n n n n n n n n n y x y x y y x hf y y 9.01.0)(1.0),(1+=-+=+=+ 3分
已知
4,3,2,1,0 , 1.0 , 10===n n x y n ，则有：
9.09.01.0001=+=y x y
82.09.09.01.01.09.01.0112=⨯+⨯=+=y x y 5分 758.082.09.02.01.09.01.0223=⨯+⨯=+=y x y
7122.0758.09.03.01.09.01.0334=⨯+⨯=+=y x y 7分
解：2.建立具体的改进的Euler 公式:
⎪⎩
⎪
⎨⎧++=+=++=+=+=+=++ 005.0905.0095.0)(01.091.009.0),( 9.01.0),(2111n n c p n n n p n n c n n n n n p y x y y y y x y x hf y y y x y x hf y y 10分
已知
4,3,2,1,0 , 1.0 , 10===n n x y n 则有：
91.0005.0905.0095.0001=++=y x y
83805.0005.091.0905.01.0095.0 005
.0905.0095.0112=+⨯+⨯=++=y x y 12分
78243525.0005.083805.0905.02.0095.0 005
.0905.0095.0223=+⨯+⨯=++=y x y
7416039.0 005.078243525.0905.03.0095.0 005
.0905.0095.0334=+⨯+⨯=++=y x y 14分。