2015年高中数学学业水平考试专题训练4
三角函数
基础过关
1．tan π
4＝( ) A. 1
B. －1
C.
22
D. －
22
2．函数y ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是( )
A. π
2
B. π
C. 2π
D. 4π
3．已知扇形的周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则扇形的中心的弧度数为( ) A. 1
B. 4
C. 1或4
D. 2或4
4．既是偶函数又在区间(0，π)上单调递减的函数是( ) A. f (x )＝sin x B. f (x )＝cos x C. f (x )＝sin2x
D. f (x )＝cos2x
5．已知cos(π＋α)＝－12，3π
2<α<2π，则sin(2π－α)的值是( ) A. 1
2
B. ±3
2
C. 3
2
D. －3
2
6．已知sin α－2cos α
3sin α＋5cos α＝－5，则tan α的值为( )
A. －2
B. 2
C. 23
16
D. －2316
7．函数y ＝sin(2x ＋5π
2)的图象的一条对称轴方程是( ) A. x ＝－π2 B. x ＝－π
4
C. x ＝π8
D. x ＝5π4
8．若角的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2α
cos α的值为( ) A. 2
B. －2
C. 1
D. 0
9．若x ∈R ，则函数f (x )＝3－3sin x －cos 2x 的( ) A. 最小值为0，无最大值 B. 最小为0，最大值为6 C. 最小值为－1
4，无最大值
D. 最小值为－1
4，最大值为6
10．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，||φ<π
2，x ∈R )的部分图象如图，则函数关系式为( )
A. y ＝－4sin(π8x ＋π
4) B. y ＝4sin(π8x －π
4) C. y ＝－4sin(π8x －π
4)
D. y ＝4sin(π8x ＋π
4)
11．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是( ) A. ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )
B.
⎣
⎢⎡
⎦⎥
⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z )
C. ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤2k π＋π3，2k π＋2π3(k ∈Z )
D.
⎣
⎢⎡
⎦⎥
⎤2k π－2π3，2k π＋2π3(k ∈Z )
12．若将函数y ＝f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿x 轴向左平移π
2个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数y ＝1
2sin x 的图象则y ＝f (x )是( )
A. y ＝1
2sin(2x ＋π2)＋1 B. y ＝1
2sin(2x －π2)＋1 C. y ＝1
2sin(2x ＋π4)＋1
D. y ＝1
2sin(2x －π4)＋1
13．已知α，β∈R ，则“α＝β”是“sin α＝sin β”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
14．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π
2的函数，若f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
cos x （－π2≤x <0），sin x （0≤x <π），
则f (－15π4)等于( ) A. 1 B. 22 C. 0 D. －2
2
15. 设函数f (x )＝2sin(π2x ＋π
5)，若对任意x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )
A. 4
B. 2
C. 1
D. 1
2 16．sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－236π的值等于________．
17．与－2002°终边相同的最小正角是________．
18．已知函数y ＝4sin(2x ＋π6)(0≤x ≤7π
6) 的图象与一条平行于x 轴的直线有三个交点，其横坐标分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)则x 1＋2x 2＋x 3＝________．
19．(1)化简：1＋2sin 20°cos 160°
sin 160°－1－sin 220°
；
(2)已知sin x ＋cos x
2sin x －3cos x ＝3，求2cos （π2－α）－3sin （3π
2＋α）
4cos （－α）＋sin （－2π－α）
的值．
20．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋α)⎝
⎛
A >0，ω>0，－π2<α
⎭
⎪⎫
<π2的最小正周期是π，且当x ＝π6时f (x )取得最大值3.
(1)求f (x )的解析式及单调增区间；
(2)若x 0∈[0，2π)，且f (x 0)＝3
2，求x 0；
(3)将函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图象，且y ＝g (x )是偶函数，求m 的最小值．
冲刺A 级
21．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π
2<θ<π2的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后
得到函数g (x )的图象．若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，32，则φ的值可以是
( )
A. 5π
3
B. 5π
6
C. π
2
D. π6
22．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )
23．给出下列四个命题：
①函数y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π3的一条对称轴是x ＝5π12；
②函数y ＝tan x 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，0对称；
③正弦函数在第一象限为增函数；
④若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π4＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x 2－π4，则x 1－x 2＝k π，其中k ∈Z .
以上正确的有________．(请把正确命题的序号填在横线上)
24．在直角坐标系中，如果两点A (a ，b )，B (－a ，－b )在函数y ＝f (x )的图象上，那么称[A ，B ]为函数f (x )的一组关于原点的中心对称点([A ，B ]与[B ，A ]看作一组)．函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos π
2x ，x ≤0，
log 4（x ＋1），x >0关于原点的中心对称点的组数为________．
25．已知函数f (x )＝2sin(ωx )，其中常数ω>0. (1)令ω＝1，判断函数F (x )＝f (x )＋f (x ＋π
2)的奇偶性；
(2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π
6个单位，再往上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．对任意的a ∈R ，求y ＝g (x )在区间[a ，a ＋10π]上零点个数的所有可能值．
专题训练4 三角函数
基础过关
1. A
2. B
3. C
4. B
5. C
6. D
7. A
8. D 9. B 10. A 11. D 12. B 13. A 14. B
15. B 16. 1
2 17. 158° 18. 5π3
19. (1)－1 (2) 7
2
20. (1)f (x )＝3sin(2x ＋π6)，单调增区间为[k π－π3，k π＋π6]． (2)x 0＝0，π
3，π，4π3. (3)m ＝π3.
冲刺A 级 21. B
22. D [提示：函数为奇函数，故B 不正确；x ＝π时，y ＝－π，故A 不正确；
当x 在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2时，y 应是正数，故C 不正确．]
23. ①②
24. 2 [提示：利用数形结合，做出函数f (x )的图象，再将y 轴左侧的图像做关于原点的对称，与右边的图象有几个交点，就有几组中心对称点．]
25. 解：(1)F (x )＝2sin x ＋2sin(x ＋π2)＝2sin x ＋2cos x ＝22sin(x ＋π
4)，F (x )
是非奇函数非偶函数． (2)ω＝2时，f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin 2(x ＋π
6)＋1＝
2sin(2x ＋π
3)＋1, 其最小正周期T ＝π，区间[]a ，a ＋10π的长度为10个周期．若零点不在区间的端点，则每个周期有2个零点；若零点在区间的端点，则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点，其它区间仍是2个零点；当a 为零点时，
由2sin(2a ＋π3)＋1＝0，故当a ＝k π－π4或a ＝k π－7π
12时，21个，否则20个．。