第一章 计数原理单元测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种2．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有A ．36种B ．48种C ．96种D ．192种3. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种4. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ） Ａ．()2142610C A 个 Ｂ．242610A A 个Ｃ．()2142610C个Ｄ．242610A 个5. 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 (A)40种 (B) 60种(C) 100种 (D) 120种6. 由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( ) B.607.用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（ ）个数.B.9和CD 为平面内两条相交直线，AB 上有m 个点，CD 上有n 个点，且两直线上各有一个与交点重合，则以这m+n-1个点为顶点的三角形的个数是( ) A.2121mn n m C C C C + B.21121mn n m C C C C -+ C.21211mn n m C C C C +- D.2111211---+m n n m C C C C9.设()10102210102x a x a x a a x+⋅⋅⋅+++=-,则()()292121020a a a a a a +⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++的值为( )B.-1 D.10. 2006年世界杯参赛球队共32支,现分成8个小组进行单循环赛,决出16强(各组的前2名小组出线),这16个队按照确定的程序进行淘汰赛,决出8强,再决出4强,直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为( ).72 C 11.用二项式定理计算，精确到1的近似值为( ) B.9900212. 从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为 （ ） .240 C二、 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列 有 种不同的方法（用数字作答）.14. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有 个（用数字作答）．15. 若(2x 3+x1)n 的展开式中含有常数项，则最小的正整数n = .16. 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。

（用数字作答）三、解答题（本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 17．如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A ，若灯A 不亮，分析因电阻断路的可能性共有多少种情况。

18．从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：①能组成多少个没有重复数字的七位数②上述七位数中三个偶数排在一起的有几个③在①中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个④在①中任意两偶然都不相邻的七位数有几个19．把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.（1）43251是这个数列的第几项（2）这个数列的第96项是多少（3）求这个数列的各项和.20.（本小题满分12分）求证：能被25整除。

21. （本小题满分14分）已知n a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-33的展开式的各项系数之和等于53514⎪⎪⎭⎫⎝⎛-b b 展开式中的常数项，求na a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-33展开式中含的项的二项式系数.22. （本小题满分14分）若某一等差数列的首项为223112115----n nnnPC,公差为mx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-325225展开式中的常数项,其中m 是157777-除以19的余数，则此数列前多少项的和最大并求出这个最大值.单元测试卷参考答案排列、组合、二项式定理一、选择题：（每题5分，共60分）1、D 解析：5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25=32种，选D2、C 解析．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有23344496C C C ⋅⋅=种，选C3、解析：5名志愿者先排成一排，有55A 种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有5524A ⋅⋅=960种不同的排法，选B4、A 解析：某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有()2142610C A 个，选A5、B 解析：从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有225360C A =种，选B6、B 解析:只考虑奇偶相间,则有33332A A 种不同的排法,其中0在首位的有3322A A 种不符合题意,所以共有33332A A 603322=-A A 种. 7、C 解析: 比12340小的分三类:第一类是千位比2小为0,有633=A 个; 第二类是千位为2 ,百位比3小为0,有222=A 个; 第三类是十位比4小为0,有1个.共有6+2+1=9个,所以12340是第10个数.8、D 解析:在一条线上取2个点时,另一个点一定在另一条直线上,且不能是交点. 9、C 解析: 由()10102210102x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-可得:当1=x 时,()101022101011112a a a a +⋅⋅⋅+++=-10210a a a a +⋅⋅⋅+++= 当1-=x 时,()1032101012a a a a a +⋅⋅⋅+-+-=+10210a a a a +⋅⋅⋅++-=()()292121020a a a a a a +⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++∴()10210a a a a +⋅⋅⋅+++=()103210a a a a a +⋅⋅⋅+-+-()()()()[]112121212101010=+-=+-=.10、A 解析:先进行单循环赛,有48824=C 场,在进行第一轮淘汰赛,16个队打8场,在决出4强,打4场,再分别举行2场决出胜负,两胜者打1场决出冠、亚军,两负者打1场决出三、四名,共举行:48+8+4+2+1+1=64场.11、C 解析:()559.98100.02=-()2514235510100.02100.02C C =-⨯⨯+⨯⨯()⋅⋅⋅+⨯⨯+323502.010C 9900406.04101035≈⋅⋅⋅+-+-=.12、A 解析:先取出一双有15C 种取法,再从剩下的4双鞋中取出2双,而后从每双中各取一只,有121224C C C 种不同的取法,共有15C 120121224=C C C 种不同的取法. 二、 填空题(每小题4分，共16分）13、1260 解析： 由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有4239531260C C C =g g14、24 解析：可以分情况讨论：① 若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为1个数字，共可以组成33212A ⋅=个五位数；② 若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，则有2224A ⋅=个五位数；③ 若末位数字为4，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为1个数字，且0不是首位数字，则有222(2)A ⋅⋅=8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个15、7 解析：若(2x 3+x1)n 的展开式中含有常数项，31(2)n r n rrr n T C x --+=⋅为常数项，即732rn -=0，当n =7，r =6时成立，最小的正整数n 等于7.16、36种 解析．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，不同的选法共有123434336C A ⋅=⨯⨯=种三、解答题（共六个小题，满分74分）17.解：每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a 、b 、c ，支线a ，b 中至少有一个电阻断路情况都有22―1=3种；………………………4分支线c 中至少有一个电阻断路的情况有22―1=7种，…………………………………6分 每条支线至少有一个电阻断路，灯A 就不亮，因此灯A 不亮的情况共有3×3×7=63种情况.………………………………………10分18. 解：①分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有34C 种情况；第二步在5个奇数中取4个，可有45C 种情况； 第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有77A 种情况， 所以符合题意的七位数有34C 45C 10080077=A 个．………3分 ②上述七位数中，三个偶数排在一起的有个．34C 14400335545=A A C ……6分 ③上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有34C 57602224335545=A A A C C 个．……………………………………………9分④上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有28800353445=A C A 个.…………………………………12分 19.解：⑴先考虑大于43251的数，分为以下三类第一类：以5打头的有：44A =24 第二类：以45打头的有：33A =6第三类：以435打头的有：22A =2………………………………2分 故不大于43251的五位数有：()8822334455=++-A A A A （个） 即43251是第88项.…………………………………………………………………4分⑵数列共有A=120项，96项以后还有120-96=24项， 即比96项所表示的五位数大的五位数有24个，所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项.即为45321.…8分⑶因为1，2，3，4，5各在万位上时都有A 个五位数，所以万位上数字的和为：（1+2+3+4+5）·A ·10000……………………………………………………………10分 同理它们在千位、十位、个位上也都有A 个五位数，所以这个数列各项和为： （1+2+3+4+5）·A ·（1+10+100+1000+10000）=15×24×11111=3999960……………………………………………………………12分 20.证明:因 45322-+⋅+n n n 4564-+⋅=n n ()45154-++⋅=n n ………………3分()45155555.41222211-++++⋅⋅⋅+++=----n C C C C n n n n n n n n n ……………………8分()n C C C n n n n n n n 255555.4222211++⋅⋅⋅+++=---……………………………………10分显然()2222115555---+⋅⋅⋅+++n n n n n nn C C C 能被25整除,25n 能被25整除, 所以45322-+⋅+n n n 能被25整除.…………………………………………………12分21. 设53514⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b b 的展开式的通项为()rr r r b b C T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+5145351 ()5,4,3,2,1,0,451651055=⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--r b C rrr r.………………………………6分若它为常数项,则2,06510=∴=-r r,代入上式732=∴T . 即常数项是27，从而可得na a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-33中n=7，…………………10分同理733⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a a 由二项展开式的通项公式知，含的项是第4项，其二项式系数是35.…………………………………………………………14分 22. 由已知得：⎩⎨⎧-≤-≤-n n nn 311225211,又2,=∴∈n N n ,………………………………2分2531025710223112115P C P C P C n n n n -=-=-∴---10045238910=⨯-⨯⨯⨯=所以首项1001=a .……………………………………………………………………4分()1517615777777-+=-1517676761777617777-+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=C C()*∈-=N M M ,1476,所以157777-除以19的余数是5,即5=m ………6分m x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-325225的展开式的通项rrr r x x C T ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+325515225 ()()5,4,3,2,1,0,251535255=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--r x C r rr r,若它为常数项,则3,0535=∴=-r r ,代入上式d T =-=∴44.从而等差数列的通项公式是：n a n 4104-=，……………………………………10分 设其前k 项之和最大，则()⎩⎨⎧<+-≥-01410404104k n ，解得k=25或k=26，故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，13002522541041002625=⨯⨯-+==S S .………………………………………14分。