（1）两人都击中目标的概率；
（2）其中恰由1人击中目标的概率 （3）至少有一人击中目标的概率
解：(1) 记“甲射击1次,击中目标”为事件A.“乙 射 击1次,击中目标”为事件B. 且A与B相互独立， 又A与B各射击1次,都击中目标,就是事件A,B同 时发生， P(A•B)=P(A) •P(B)=0.6×0.6＝0.36 根据相互独立事件的概率的乘法公式,得到
中目标的概率都是0.6，计算： （3）至少有一人击中目标的概率. 解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是
P P ( A B ) [ P ( A B ) P ( A B )] 0 . 36 0 . 48 0 . 84
解法2：两人都未击中的概率是
P ( A B ) P ( A) P (B ) (1 0 . 6 ) (1 0 . 6 ) 0 . 16 , 因此，至少有一人击中 目标的概率
P(A)+P(Ā)=1
复习回顾
(4).条件概率
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发 生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).
(5).条件概率计算公式:
P (B | A) n( AB ) n( A) P(AB) P ( A)
注意条件：必须 P(A)>0
问题探究：
解
1 记 " 第 1次抽奖抽到某一指定号
" 就是事件
码 " 为事件 A ,
" 第 2 次抽奖抽到某一指定号 奖都抽到某指定号码 果互不影响
码 " 为事件 B , 则 " 两次抽 AB .由于两次抽奖结 .于是由独立性可得 ,
, 因此 A 与 B 相互独立
两次抽奖都抽到某一指
定号码的概率
P AB
P 1 P ( A B ) 1 0 . 16 0 . 84
答：至少有一人击中的概率是0.84.
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只
要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.
巩固练习
2、在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨 的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互 之间没有影响，计算在这段时间内： （1）甲、乙两地都下雨的概率；
P=0.2×0.3＝0.06
（2）甲、乙两地都不下雨的概率；
P=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56
（3）其中至少有一方下雨的概率.
我们知道，当事件A的发生对事件B的发生有影 响时，条件概率P(B|A)和概率P(B)一般是不相等的， 但有时事件A的发生，看上去对事件B的发生没有影 响，比如依次抛掷两枚硬币的结果,抛掷第一枚硬币的结果
（事件A）对抛掷第二枚硬币的结果（事件B）没有影响， 这时P(B|A)与P(B)相等吗？
思考
3张奖券中只有 张能中奖 现分别由 名 1 , 3
P A P B
0 . 05 0 . 05 0 . 0025 .
某一指定号码 " 可以用
2 " 两次抽奖恰有一次抽到
A B 表示 .由于事件 独立事件定义


A B
A B与 A B 互斥 , 根据概率加法公式和
, 所求的概率为
P A B P A B P A P B P A P B
解题步骤：
1.用恰当的字母标记事件,如“XX”记为A, “YY”记为B. 2.理清题意, 判断各事件之间的关系(等可能;互斥; 互独; 对立). 关键词 如“至多” “至少” “同时” “恰
有”. 求“至多” “至少”事件概率时,通常考虑它们的对立事件的 3.寻找所求事件与已知事件之间的关系. 概率. “所求事件” 分几类 (考虑加法公式, 转化为互斥事件) 还是分几步组成(考虑乘法公式, 转化为互独事件)
P(A B) P(A B) P ( A) P (B ) P ( A) P (B ) 0 . 6 (1 0 . 6 ) (1 0 . 6 ) 0 . 6 0 . 24 0 . 24 0 . 48
答：其中恰由1人击中目标的概率为0.48.
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击
注：
①区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：
两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生； 两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件 发生的概率没有影响。
②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B是不是 相互独立的 相互独立
2、相互独立事件同时发生的概率公式：
“第一个同学没抽到奖劵、第三个同学抽到奖劵” 是一个事件，
复习回顾
①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是 什么？ P(A+B)=P(A)+(B) ③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关 系如何？
中)
即 至多有一次中靶” 是指 (中, + A· A· B B+ B. B B+ B) （3）“A· + A· A· ∴求 P(A· 不中), (不中, 中),
中)
(中,
即 A· + A· A· ∴求 P(A· + A· A· B B+ B. B B+ B) （4）“目标被击中” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 A· + A· A· ∴求 P(A· + A· A· B B+ B. B B+ B)
它的发生就是事件A,B同时发生，将它记作A•B 两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A•B发生的概 率为：
P ( A B ) P ( A) P (B )
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件的概率的积。 一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
同学有放回地抽取事件A为 " 第一名同学没有 , 抽到奖券" ,事件B为" 最后一名同学抽到奖券 ". 事件A的发生会影响事件 发生的概率吗 B ?
显然 , 有放回地抽取奖券时 , 最后一名同学也是 从原来的3张奖券中任取1 ,因此第一名同学抽 张 的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响, 即 事件 A 的发生不会影响事件B发生的概率.于是
例1 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商
品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以 分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑 奖活动的中奖概率都是0.05 ,求两次抽奖中以下事件的 概率：
（1）都抽到某一指定号码； （2）恰有一次抽到某一指定号码； （3）至少有一次抽到某一指定号码。
解：分别记这段时间内开关 J A 、 J B 、 J C 能够闭合为事 件A,B,C. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相 互之间没有影响。根据相互独立事件的概率乘法式这 段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P ( A B C ) P ( A ) P ( B ) P (C ) [1 P ( A )][ 1 P ( B )][ 1 P ( C )] (1 0 . 7 )( 1 0 . 7 )( 1 0 . 7 ) 0 . 027
所以这段事件内线路正常工作的概率是
1 P ( A B C ) 1 0 . 027 0 . 973
答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973
巩固练习
1、分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设A是事件“第1 枚为正面”，B是事件“第2枚为正面”，C是事件 “2枚结果相同”。问：A，B，C中哪两个相互独立？
AB , A B 和 A B 两两互 , 所求的概率为
0 . 0975 .
立事件定义
0 . 0025
P A B P A B
0 . 095
思考
二次开奖至少中一次的 概率是一次开奖中
奖概率的两倍吗 ?为什么 ?
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人
击中目标的概率都是0.6，计算：
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北师大版高中数学2-3第二 章《概率》
一、教学目标：1、知识与技能：理解两个事 件相互独立的概念。2、过程与方法：能进行 一些与事件独立有关的概率的计算。 3、情感、态度与价值观：通过对实例的分析， 会进行简单的应用。 二、教学重点，难点：理解事件的独立性， 会求一些简单问题的概率． 三、教学方法：讨论交流，探析归纳 四、教学过程
P（A1· 2……An）=P（A1）· A P（A2）……P（An）
试一试
判断事件A, B 是否为互斥, 互独事件?
1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中”, 事件B表示“第2球罚中”. A与B为互独事件
2.篮球比赛 “1+1罚球” . 事件A表示 “ 第1球罚中”, 事件B表示 “第2球罚中”. A与B不是互独事件也非互斥事件 3.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依此取2球. 事件A:“取出的是白球”.事件B:“取出的是黑球” ( 不放回抽取) A与B为非互独是互斥事件 4.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依此取2球. 事件A为“取出的是白球”.事件B为“取出的是白 球”. A与B为互独事件 ( 放回抽取)
4.根据公式解答
( 互斥事件)
求 较 复 杂 事 件 概 率
分类
正向 分步
P(A+B)= P(A) + P (B) P(A· P(A) ·P (B) B)=