事件的独立性
1．定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)＝P(A)P(B) ， 则称事件 A 与事件 B 相互独立．
2．如果 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B ，A 与 B，A 与 B 也 都相互独立．
3．如果 A 与 B 相互独立，那么 P(B|A)＝P(B) ，P(A|B)＝ P(A)．
由于 A、B、C 面试是否合格互不影响，故为相互独立事件．
[解析] 用 A、B、C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由
题意知 A、B、C 相互独立，
且 P(A)＝P(B)＝P(C)＝12.
(1)至少有 1 人面试合格的概率是
1－P(
—
A
—
B
C—)＝1－P( A )P( B )P( C )＝1－(12)3＝78.
[点评] 相互独立事件的特点是：其中一个事件的发生与 否对另一个事件发生的概率没有影响．
下面所给出的两个事件 A 与 B 相互独立吗？ ①抛掷一枚骰子，事件 A＝“出现 1 点”，事件 B＝“出 现 2 点”； ②先后抛掷两枚均匀硬币，事件 A＝“第一枚出现正面”， 事件 B＝“第二枚出现反面”； ③在含有 2 红 1 绿三个大小相同的小球的口袋中，任取一 个小球，观察颜色后放回袋中，事件 A＝“第一次取到绿球”， B＝“第二次取到绿球”．
[分析] 解本题的关键是正确地理解题意，两个事件 A，B， 只有 A 发生，即 A 发生且 B 不发生，即 A－B 发生．
[解析] 只有 A 发生，即 A B 发生；只有 B 发生，即 A B
发生．因为 A，B 相互独立，所以 A 与 B，B 与 A 也相互独立．所
以 P(A B )＝P(A)P( B )＝P(A)[1－P(B)]＝14，P( A B)＝P( A )P(B) ＝P(B)[1－P(A)]＝14，
—
B
—
C)
＝P(A)P( B )P(C)＋P(A)P(B)P( C )＋P(A)P( B )P( C )
＝(12)3＋(12)3＋(12)3＝38.
P(ξ＝2)＝P( A BC)＝P( A )P(B)P(C)＝18.
P(ξ＝3)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝18.
所以，ξ 的分布列是
ξ0 1 2 3
[解析] ①事件 A 与 B 是互斥事件，故 A 与 B 不是相互独 立事件．
②第一枚出现正面还是反面，对第二枚出现反面没有影 响，∴A 与 B 相互独立．
③由于每次取球观察颜色后放回，故事件 A 的发生对事件 B 发生的概率没有影响，∴A 与 B 相互独立.
求相互独立事件的概率
设事件 A 与 B 相互独立，两个事件中只有 A 发 生的概率与只有 B 发生的概率都是14，求 P(A)，P(B)．
(2)ξ 的可能取值为 0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝P(
—
AB
C—)＋P(
—
A
B—C)＋P(
—
A
—
B
—
C)
＝P( A )P(B)P( C )＋P( A )P( B )P(C)＋P( A )P( B )P( C )
＝(12)3＋(12)3＋(12)3＝38.
P(ξ＝1)＝P(A
B
C)＋P(AB
C
)＋P(A
若事件 E 与 F 相互独立，且 P(E)＝P(F)＝14，则 P(EF)的
值等于( )
A．0
B. 1
16
C.14
D.12
[答案] B
[解析] ∵E 与 F 相互独立，P(E)＝P(F)＝14， ∴P(EF)＝P(E)·P(F)＝116.
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试， 面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙 则约定：两人面试都合格就一同签约．否则两人都不签约．设 每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响，求：
即PPAB－ －PPAAPPBB＝ ＝1414，.
解得PPAB＝ ＝1212.，
[点评] (1)求相互独立事件的概率一般采用以下解题步 骤：①判定各事件是否相互独立；②先求每个事件发生的概率， 再求相互独立事件同时发生的概率．
(2)在解此类题时，要明确事件中的“至少有一个发生”、 “至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都 不发生”、“不都发生”等词语的含义，以免混淆．
P
3 8
3 8
1 8
1 8
[点评] 本题主要考查了相互独立事件、互斥事件等概率 的计算，以及离散型随机变量的分布列，解题的关键是能正确 领会、把握事件间的关系．解答本题时易错点是(2)中 ξ＝0、1 时的三种情况考虑不全或计算错误．
(1)至少有 1 人面试合格的概率； (2)签约人数 ξ 的分布列．
[分析] (1)“至少有一人面试合格”的对立事件是“三人 面试都不合格”，故可用对立事件概率公式计算．(2)随机变量 ξ 的含义是签约人数，因此 ξ 可能的取值为 0,1,2,3，其中 ξ＝0 的含义是甲面试不合格，乙丙中恰有一人合格或两人都不合 格；ξ＝1 的含义是 B 与 C 至少有一个不合格且 A 合格，ξ＝2 的含义是 B 与 C 都面试合格且 A 不合格．
[分析] 解答本题可先看两个事件中其中一个事件发生与 否对另一个事件发生的概率是否有影响，再判断两事件是否相 互独立．
[解析] (1)“从甲组选出 1 名男生”这一事件是否发生， 对“从乙组选出 1 名女生”这一事件发生的概率没有影响，所 以它们是相互独立事件．
(2)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率为 58，若这一事件发生了，则“从剩下பைடு நூலகம் 7 个球中任意取出 1 个， 取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一 事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件 发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
4．互斥事件是不可能 同时发生 的两个事件，而相互 独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率 没有影响 ，二者不能混淆．
相互独立事件的判断
判断下列各对事件是否是相互独立事件： (1)甲组 3 名男生，2 名女生；乙组 2 名男生、3 名女生，今 从甲、乙两组中各选 1 名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出 1 名男生”与“从乙组中选出 1 名女生”； (2)容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球，“从 8 个球 中任意取出 1 个，取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任意 取出 1 个，取出的还是白球”．