北京四中2013-2014学年下学期高一年级期中考试数学试卷卷（Ⅰ）满分100分，卷（Ⅱ）满分50分，共150分考试时间120分钟卷（Ⅰ）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 若0a <、0b >，则下列不等式中正确的是（ ） A. a b > B. 22a b <C.< D.11a b< 2. 直线10x y ++=的倾斜角、在y 轴上的截距分别是（ ） A. 45°、1 B. 45°、—l C. 135°、1 D. 135°、—1 3. 等比数列{}n a 中，119a =，59a =，则3a =（ ） A. 1 B. 3 C. ±1 D. ±34. 直线经过坐标为（1，0）的点，且与直线220x y --=平行，该直线的方程是（ ） A. 210x y -+= B. 210x y --= C. 210x y +-= D. 220x y +-=5. 函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =取最小值，则a =（ ）A. 4B. 3C. 1D. 1+6. 在△ABC 中，sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则△ABC 的最大角等于（ ） A.56π B. 34π C. 23π D. 3π 7. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n a n n=+，则10S =（ ） A. 1 B.1112 C. 1011 D. 9108. 在△ABC 中，45B =︒，b =c =A =（ ） A. 15° B. 75° C. 75°或105° D. 15°或75° 9. 数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，若58k a <<，则k =（ ） A. 6 B. 7 C.8 D.910.设O 是坐标原点，点(,)M x y 是平面区域122x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩上的动点，点(1,1)N -，则OM ON 的取值范围是（ ）A. [1,0]-B. [1,2]-C. [0,1]D. [0,2]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11. 直线2y ax =-与直线(2)1y a x =++垂直，则a =________________。

12. 坐标为(,2)a 的点到直线30x y -+=的距离为1，若0a >，则a =________________。

13. 若(,)P x y 是直线134x y+=上的点，则xy 的最大值是___________________。

14. 数列{}n a 中，352,1a a ==，若数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则11a =______________。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15. 求经过直线2310x y ++=与340x y -+=的交点，且与直线3470x y +-=垂直的直线的方程。

16. 如图，测量河对岸的塔的高度AB ，可以选择与B 在同一水平面内的两个点C 、D ，测得由C 望A 的仰角∠ACB =45°，方位角∠BCD =60°、∠BDC =75°，又测得C 、D 相距20米，试求塔的高度AB 。

17. 数列{}n a 的前n 项和43n n S a =-。

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）数列{}n b 满足1n n n b a b +=+，且12b =，求{}n b 的通项公式。

卷（Ⅱ）四、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）18. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =（ ）A. 10B. 20C. 40D. 8019. 如图，直线1l 、2l 的方程分别为0x ay b ++=、0x cy d ++=，则下列不等式中正确的是（ ）A. 0ac <B. a c <C. 0bd <D. b d >20. 科学研究表明，人的体重变化是由人体内能量的守恒遭到破坏造成的，其中，饮食引起的体重增加与人体摄入热量成正比，代谢和运动引起的体重减少与体重也成正比，据此得到体重的变化规律如下：118000k k k k c w w w β++=+-⋅，式中k w 为第k 周周末的体重（单位：千克），k c 为第k 周人体摄入的热量（单位：千卡），β称为代谢系数，该系数因人而异，某位同学的体重为100千克，他每周摄入20000千卡热量，体重维持不变. 现在，他计划在不增加运动的情况下，使每周摄入的热量逐渐减少，直至达到下限10000千卡，同时体重每周减少1千克，则当他摄入的热量达到计划的下限时，他的体重是（ ）千克。

A. 90B. 80C. 70D. 60五、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 21. 下列一些关于数列{}n a 的命题：①若{}n a 既是等差数列，又是等比数列，则{}n a 一定是常数数列； ②若{}n a 是等比数列，则数列{}1n n a a ++一定也是等比数列； ③若{}n a 满足递推公式1n n a a q +=⋅则{}n a 一定是等比数列； ④若{}n a 的前n 项和1n n S q =-，则{}n a 一定是等比数列，其中正确的有________________。

（填写序号）22. 在△ABC 中，∠B =60°，AC ，则2AB BC +的最大值是_______________。

23. 若x 、y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，目标函数(00)z ax by a b =+>>、的最大值是12，则23a b+的最小值是_____________。

六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24. 已知直线21:10l x a y ++=、22:(1)30l a x by +-+=(,)a b R ∈。

（Ⅰ）若12l l ∥，求b 的取值范围； （Ⅱ）若12l l ⊥，求ab 的最小值。

25. 若数列{}n A 满足21n n A A +=，则称{}n A 是“平方递推数列”，数列{}n x 、{}n y 满足13x =，以1(,)n n x x +为坐标的点在函数2()32f x x x =+的图象上，以(,)n n x y 为坐标的点在直线31y x =+上。

（Ⅰ）求证：数列{}n y 是“平方递推数列”；（Ⅱ）设数列{}n y 的前n 项之和为n T ，令log n n y n z T =，求数列{}n z 的前n 项和n S 。

参考答案班级________姓名______学号___________卷（Ⅰ）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15. （法一）2310340x y x y ++=⎧⎨-+=⎩解得5379x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线2310x y ++=与340x y -+=的交点为57,39⎛⎫- ⎪⎝⎭∵所求直线与直线3470x y +-=垂直 ∴所求直线的方程为)97(3)35(4--+y x 即4390x y -+=； （法二）∵所求直线经过直线2310x y ++=与340x y -+=的交点∴设所求直线的方程为22(231)(34)0(0)x y x y λμλμ+++-+=+≠ 即(2)(33)(4)0x y λμλμλμ++-++= ∵所求直线与直线3470x y +-=垂直 ∴3(2)4(33)0λμλμ++-= ∴2μλ=∴所求直线的方程为4390x y -+= 16.∵60BCD ∠=︒、75BDC ∠=︒ ∴45CBD ∠=︒ ∵sin sin BC CDBDC CBD=∠∠、20CD =∴1)BC =∵AB BC ⊥、45ACB ∠=︒∴1)AB BC == 17. （Ⅰ）∵11143a S a ==- ∴11a =∵111(43)(43)n n n n n a S S a a +++=-=--- ∴143n n a a +=∴{}n a 是首项为1、公比为43的等比数列 ∴{}n a 的通项公式143n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭（Ⅱ） ∵1n n n b a b +=+ ∴1n n n a b b +=- ∴111111()(2)n n k k k n k k a bb b b n --+===-=-≥∑∑∴1111141()4323()1(2)4313n n n n k k b b a n ---=-=+=+=-≥-∑∵111423()13b -==-∴{}n b 的通项公式143()13n n b -=-卷（Ⅱ）四、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）五、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）六、解答题（本大题共2小题，每小题1分，共20分） 24. （Ⅰ） ∵12l l ∥∴222(1)03(1)0b a a a ⎧--+=⎪⎨-+≠⎪⎩ ∴222(1)(2)b a a a =-+≠∴b 的取值范围是(,6)(6,0]-∞-⋃- （Ⅱ） ∵12l l ⊥∴22(1)0a a b +-= ∴0a ≠ ∴1ab a a=+∴12ab a a=+≥（等号成立1a ⇔=） ∴当1a =或-1时ab 取最小值2 25.（Ⅰ）222211313(32)1961(31)n n n n n n n n y x x x x x x y ++=+=++=++=+=∴{}n y 是“平方递推数列” （Ⅱ）∵113110y x =+=、21n n y y += ∴0n y >∴1lg 1y =、1lg 2lg n n y y +=∴{}lg n y 是首项为1、公比为2的等比数列 ∴1lg 2n n y -=∴1111lg lg lg 211log 2lg lg lg 22n n nk n kn k k n y n n n n n n y y T z T y y y ==---======-∏∑∴1111111(2)22(1)22222n nn n k n n k k S z n n --====-=--=-+∑∑。