对于任何整数j∈I 和任何正整数m∈I+，函数 (i )(mod m)的值是i被m 除后所得之非负余数， 即有 0≤(i)(mod m)＜m 设从U 到V 存在一个映射f∶I→Nm 定义是：对于任何i∈I 都有f(i)=(i)(mod m) 映射f∶I→Nm 是一个从U 到V 的同态 即对于所有的<i1，i2>∈I 有 (i1 i 2 )(mod m) (i1 )(mod m) m (i 2 )(mod m)
只要将典型的V ＝ < S ， * >代数系统的性质分析清楚了， 那么就可将其性质应用的所有与之结构相同（同种类）的代数系 统中去。 这种方法就是抽象代数的基本方法，也是代数结构课程的主要内容 如何判断两种代数系统是同种类的呢？ 9. 3 代数系统的同态与同构 定义9-3．1 设U =<X，△>和V = <Y，*>是两个同一类型的代数系 统，也就是说△和*都是二元运算。 再设从U 到V 存在着一个函数f∶X→Y 对于任何元素x1,x2 ∈X 如果有f (x1△x2) = f(x1) * f(x2) （运算的象等于象的运算，该性质可将运算性质进行保持） 则称函数f∶X →Y 是从代数系统U 到V 的同态 有时也说函数f 运载△到* 如果f 是从U 到V 的单射，称f是U 到V单一同态 如果f 是从U 到V 的满同态（f是满射） 则称U 和V 同态，记为U～V 如果f是个一对一映满的映射(双射函数)，则称f是从U到V的同构 记为 U ≌ V （此时两个代数系统可看成是相同的，仅仅是符号不同）
上次课主要内容
一、二元运算的一般性质（运算律-公理） １、交换律： 设＊为S上的二元运算． 如果对于任意的x，y∈S都有 x＊y = y＊x （ 或f(<x，y>) = f(<y，x>)) 则称运算＊在S上是可交换的，或者说运算＊在S上适合交换律。 2、结合律 设＊为S上的二元运算，如果对于任意的x，y，z∈S都有: (x＊y) ＊z = x＊(y ＊z) （ f(<f(<x，y>,z>)=f(<x,f(<y,z>)>) 则称运算 ＊在S上是可结合的，或者说运算 ＊在S上适合结合律． 3、等幂律 设 ＊为S上的二元运算，如果对于任意的x∈S都有 x＊x＝x 则称该运算 ＊适合幂等律． 如果S上的二元运算＊适合幂等律，则S中的所有元素都是幂等元． 4、分配律（一种运算对另一种运算而言） 设 ＊和 o 是S上的两个二元运算， 如果对任意的x，y，z∈S有 x＊(y o z)＝(x＊y) o(x＊z) (左分配律) (y o z) ＊ x = (y＊x) o(z＊x) (右分配律) 则称运算＊对 o 是可分配的，也称＊对 o 适合分配律．
x1 m x 2 ( x1 x 2 )(mod m)
例如，设m=3， 有 (4+8)(mod 3 )= (12)(mod 3)=0 (4)(mod3)+3(8)(mod 3)=1+32=0 (4×8)(mod3)= (32)(mod3)=2 (4)(mod3)×3(8)(mo d3)=1×32=2
3）代数系统 V ＝ < G ，Δ > 其中运算Δ是可结合的，存在单位元e,且G中的每个元素 均为可逆元------代表代数系统---群
<Z,+>, <Q,+>, <P(S), +> 对称差, <M(R),+> 但<M(R),*>不是群
例：如果代数系统存在二个运算，在满足一定的运算性质就称为环 与域 1、设代数系统 V＝< R ，+ ，* >，其中 +和* 是二元运算， 并满足1) < R ，+ >构成交换群 2） < R ,* >构成半群 3）* 运算关于 + 运算适合分配律 则称代数系统< R ，+ ，* >是一个环。 2、设代数系统 V＝< R ，+ ，* >是环 1)若环中乘法*适合交换律，则称R是交换环 2）若环中乘法*存在单位元，则称R是含幺环 3）若∀a,bR,ab=0 a=0 ∨ b=0,则称R是无零因子环 4）若R是交换环、含幺环，也是无零因子环，则称R是整环 5）设R是整环，且R中至少含有二个元素，若∀aR* =R-{0}, 都有a-1 R 则称代数系统< R ，+ ，* >是一个域。 群、环、域是近世代数（抽象代数）研究的主要内容
2）代数系统 V＝< S ，o ，* >，其中 o和* 是二元运算，并 满足 交换律、结合律、幂等律和吸收律， 那么V 代表了另一类特殊的代数系统——格．
实际中的代数系统 < Z＋ ，1cm，gcd>， < P(B)，∪，∩> 等都是格． 这里的1cm和gcd分别表示求两个正整数的最小公倍数和最大公约数
例1：对于下面给定的集合和该集合上的二元运算，指出该运算的性 质，并求出它的单位元，零元和所有可逆元素的逆元． (1) Z＋（非负整数），∀x，y∈Z＋，x ＊y =lcm(x，y)， 即*为求x和y的最小公倍数． 解：＊可交换、可结合、幺元为1、任何元素是等幂元 例2：设A＝｛ a , b, c ｝, A上的二元运算 * o • 如表所示 * a b c o a b c • a b c a a b c a a b c a a b c b b c a b b b b b a b c c c a b c c b c c a b c (1)说明 ＊ o 和•运算是否满足交换律、结合律、消去律和幂等 律 (2)求出关于＊ o 和· 运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元
3、可逆元 设ㅇ为S上的二元运算，e∈S为ㅇ运算的单位元 对于∀x∈S，如果存在yl∈S (或yr∈S) 使得 ylㅇx = e ( 或xㅇyr = e) 则称yl(或yr)是x的左逆元(或右逆元)．若y∈S既是又的左逆元又是x的右逆 元，则称y是x的逆元．如果x的逆元存在，则称x是可逆的． 性质：可逆元的不唯一性 逆元和单位元、零元不同．如果单位元或零元存在，一定是惟一的．换句话 说，整个集合只有一个． 而逆元能否存在，还与元素有关．有的元素有逆元，有的元素没有逆元，不 同的元素对应着不同的逆元 4、消去律 设＊为S上的二元运算， 如果对于任意的x，y，z∈S满足以下条件： (1) 若x * y = x * z 且x ≠ 0，则 y = z ； (2) 若y * x =z * x 且x ≠ 0 ，则 y = z ； 那么称 * 运算满足消去律， 其中(1)称作左消去律，(2)称作右消去律． 例：整数集合上的加法和乘法都满足消去律． 幂集P(S)上的并和交运算是否满足消去律？ ∀A，B，C∈P(S)，由A ∪B＝A ∪ C 能否能得到 B＝C 对称差运算 ⊕ ： 运算不存在零元 A ⊕ B＝A ⊕ C ＝> B＝C
注：同类型的代数系统并不是说它们的代数性质相同， 仅说明它们的代数成分相同。 通常我们不去研究单个具体的代数，而是一个种类一个种类地去研究代数
什么样的两个代数算是同一种类的？ 1：要有相同的构成成分 如果两个代数包含有同样个数的运算和常数且对应运算的元 数相同，则称两个代数有相同的构成成分 两个代数有相同的构成成分，还不一定有本质的联系 2：要有一组相同的称为公理的性质(运算律） 每一公理是用载体元素和代数运算的符号写成的方程（前面关 于运算律的表示方法） 具有相同构成成分和服从相同公理集合的代数称为同种类的 对同一种类的代数，根据它的公理集合推出的一切定理对该种 类的一切代数都成立
3、相同代数性质(同种类）的代数系统 引入代数系统的主要目的是研究具有相同代数性质的代数系统，将
相同代数系统归类，并分析该类代数系统的性质。
例： 1）代数系统 V ＝ < S ， * > 其中 * 是一个可结合的二元运算 就代表了一类特殊的代数系统——半群．
许多具体的代数系统，如<Z，十，0>，<R，+，0>， <M(R)，*，E> ， <P(B)，∪，Φ>等都是与V同类型代数系统（半群）
5、吸收律 （一种运算对另一种运算而言） 设 o 和＊是S上两个可交换的二元运算，如果对于任意的x，y∈S都有 x＊(x o y)＝ x x o(x＊y )= x 则称o和＊满足吸收律． 二、二元运算中的特殊元素 1、单位元（幺元） 设＊为S上的二元运算，如果存在el(或er)∈S使得 对任何x∈S都有: el ＊ x = x ( 或 x ＊ er = x ) 则称el(或er)是S中关于＊运算的一个左单位元(或右单位元)． 若e∈S关于运算＊既是左单位元又是右单位元则称e为S上关于＊运算的单位元 性质：单位元的唯一性 2、零元 设 o 为S上的二元运算， 若存在元素θl(或θr)∈S使得对于任意的x∈S有： θl o x = θl ( 或x o θr ＝θr) 则称θl(或θr)是S上关于 o 运算的左零元(或右零元)． 若θ∈S关于 o 运算既是左零元又是右零元，则称θ为S上关于 o 运算的零元． 性质: 零元的唯一性
＊：满足交换律、结合律、消去律、幺元为a、无零元、每个元素可逆。
o ：满足交换律、结合律、等幂律、幺元为a、零元b、 a可逆 • ：满足结合律、等幂律、无零元、每个元素不可逆
代数系统通常由三部分组成； 1． 一个集合，叫做代数的载体。 载体是我们将要处理的数学目标的集合，诸如整数，实数或符号中集合等。 代数载体一般是非空集合，我们不讨论载体是空集的代数。 2． 定义在载体上的运算
2、同类型的代数系统
定义9．13 如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代 数常数的个数也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分，也称它 们是同类型的代数系统． 如：代数系统 V2 ＝ < P(S)，∪，∩，～，ø ，S > V1 ＝ < R ，＋ ，＊，一，0 ，1 > V3 ＝ < 命题公式集合，∧，∨，┓，F ，T > 均为同类型的代数系统 VI与V2的代数性质是不相同的，而V2与V3的代数性质是相同的。