8.3.1 同态、同构的定义
定义 5-22 设 G1, 和 G2 , 是两个群，映射 : G1 G2 ， 如果对 a,b G1 ，有
(a b) (a) (b)
则称 是群 G1 到 G2 的同态映射，简称同态。 例 5-23 设 G1 Z, 是整数加群，G2 {Zn, }是模 n 整数加
循环群和置换群
循环群和置换群是两类重要的群，在计算机密码学中都有 着重用的应用。
定义 5-25 设 G, 为群，如果存在一个元素 a G ，使 G {ak | k Z}，则称 G 为循环群，记作 G a ，称 a 是 G 的生成 元。
例 5-28 (1) Z, 是一个循环群，1 或-1 是生成元，1 与-1 互为逆元。
群。令 : Z Zn ，( x) (x) mod n
则 是 G1 到 G2 y) mod n ( x) mod n ( y) mod n (x) ( y)
例 5-24 设 G1 R, 是实数加群， G2 R {0}, 是非零实数 乘法群。令
证明 首先根据同态的定义，易证 是满足结合律的。其次，由定理 1 的性质(1)，知
G2 , 中存在单位元 e2 (e1) ，其中 e1 为 G1 的单位元。 对于任意的 t G2 ，由于 是 G1 , 到 G2 , 的满射，于是存在 g G1 ，使
( g) t 。令( g1 ) t ' ，于是( g1 g) (e1) e2 。 另一方面，( g1 g) ( g1 ) ( g) t ' t ，所以t ' t e2 。同理可证 t t' e2 。因
定理 5-13 设 是 G1, 到 G2 , 的同态映射， H G1 ，则 (H ) G2 。
证明 任取 x, y (H ) ，则存在 a,b H ，使得 x (a) ， y (b) ； x y (a)(b) (a b)(H ) ，所以 (H ) 对于运算 封闭。又 (e) 是 G2 的 单 位 元 ， x (H) 存 在 a G1 ， 使 得 x (a) ， 从 而 x1 (a1) ( H) 。综上， (H ) 是 G2 的子群。
证明 定义 : R R 为 (x) ex ， x R 。 显 然 是 R? R+ 的 双 射 ， 并 且 对 x, y R ， 有 (x y) exy ex e y (x)(y) 。因此 是 R R 的同构映射，所以 R R 。
例 5-26 设 G1 Q, 是有理数加群，G2 Q {0}, 是非零 有理数乘法群。证明不存在 G2 到G1 的同构。
证明 假设 是 G2 到 G1 的同构， : G2 G1，且 (1)=0 。 于是有 (-1) (-1) ((-1)(-1)) (1) 0 ，从而得 (-1) 0 ，这与 的 单射性矛盾。 所以不存在 G2 到G1 的同构。
8.3.2 同态的性质
定理 5-13 设 是 G1 , 到 G2 , 的同态映射， e1 和 e2 分别为 G1 和 G2 的单位
例如，例 5-23 中的同态是满同态，例 5-24 中的同态是单同
态。这两个同态都不是同构。
定义 5-24 设 G1, 和 G2 , 是两个群，如果群 G1 到 G2 存在 同构映射，则称群 G1 与 G2 同构，记为 G1 G2 。
例 5-25 证明群 R, 和群 R, 同构，其中 R 是正实数 集。
: R R -{0}，(x) ex 则 是 G1 到G2 的同态。因为 x, y R 有
(x y) exy ex ey (x)(y)
定义 5-23 设 : G1 G2 是群 G1 到 G2 的同态。 (1) 若 : G1 G2 是满射，则称 为满同态。 (2) 若 : G1 G2 是单射，则称 为单同态。 (3) 若 : G1 G2 是双射，则称 为同构。 (4) 若 G1 G2 G ，则称 是群 G 的自同态。
此 t ' 是 t 的逆元。 综上所证， G2 , 是群。
例 5-27 证明T {z | zC,| z | 1}关于复数的乘法 构成群。 证明 由于 R, 是群，定义 f : R T 为 f (x) eix ， x R 。 显然 f 是 R T 的映射，并且对于任何 z T ，存在 g R 使得 f (g) z ， 即 f 是 R T 的 满 射 。 此 外 ， 对 于 x, y R ， 有 f (x y) ei(x y) eix eiy f ( x) f ( y) ，所以 f 是 R T 的满同态。由定 理 5-15， T, 是群。
本节讨论的同态和同构映射，揭示了两个群之间的联系和元素之间的对应，通过同态和 同构映射，我们可以把一个群的运算特性映射到另一个群上(如单位元、逆元、子群等)。
定理 5-15 设 G1 , 是一个群，G2 是非空集， 是 G2 上的一个二元运算，如果存在
一个从群 G1 , 到代数系统 G2 , 的满同态 ，则 G2 , 也是群。
(2) Zn, 是循环群，其中 Zn {0,1,K , n 1} ，它的生成元 是 1。
(3) Z6 , 是循环群, 其中 Z6 {0,1, 2, 3, 4,5} , 为模 6 加 法，其生成元为 1 或 5。
元，则
(1) (e1 ) e2 (2) (a-1) (a)-1 ， a G1
证明 (1) (e1 ) (e1) (e1 e1) (e1) (e1) e2 ，由 G2 的消去律得(e1 ) e2 。
(2) 任取a G1 ，由
(a1 ) (a) (a1 a) (e1) e2 (a) (a1) (a a1) (e1) e2 可知(a1) 是(a) 的逆元。根据逆元的唯一性得(a1) (a)1 。