初三上学期期末几何综合专题1、（2013朝阳期末25题）将△ABC 绕点B 逆时针旋转α(0°＜α＜180°)得到△DBE ，直线DE 与直线AC 相交于点F ，连接BF ．（1）如图1，若α=60°，DF =2AF ，请直接写出BFAF等于 ； （2）若DF =mAF ，（m >0，且m ≠1）①如图2，求BFAF；（用含α，m 的式子表示） ②如图3，依题意补全图形，请直接写出BFAF等于 ．（用含α，m 的式子表示）2、（2013西城期末24）已知：△ABC ，△DEF 都是等边三角形，M 是BC 与EF 的中点，连接AD ，BE .（1）如图1，当EF 与BC 在同一条直线上时，直接写出AD 与BE 的数量关系和位置关系；（2）△ABC 固定不动，将图1中的△DEF 绕点M 顺时针旋转α（o 0≤α≤o 90）角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；（3）△ABC 固定不动，将图1中的△DEF 绕点M 旋转α（o 0≤α≤o 90）角，作DH ⊥BC于点H ．设BH ＝x ，线段AB ，BE ，ED ，DA 所围成的图形面积为S ．当AB ＝6，DE ＝2时，求S 关于x 的函数关系式，并写出相应的x 的取值范围．图备用图3、（2013昌平期末25）已知：四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =AB =CD ，∠BAD =120°，点E 是射线CD 上的一个动点（与C 、D 不重合），将△ADE 绕点A 顺时针旋转120°后，得到△ABE'，连接EE'. （1）如图1，∠AEE'= °；（2）如图2，如果将直线AE 绕点A 顺时针旋转30°后交直线BC 于点F ，过点E 作EM∥AD 交直线AF 于点M ，写出线段DE 、BF 、ME 之间的数量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，如果CE =2，AE=ME 的长.4、（2012东城期末24）如图1，在等腰直角△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点E 是BC边上一点，∠DEF =45°且角的两边分别与边AB ，射线CA 交于点P ，Q . （1）如图2，若点E 为BC 中点，将∠DEF 绕着点E 逆时针旋转，DE 与边AB 交于点P ，EF 与CA 的延长线交于点Q .设BP 为x ，CQ 为y ，试求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）如图3，点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动（不与B ，C 重合），且DE 始终经过点A ,EF 与边AC 交于Q 点．探究：在∠DEF 运动过程中，△AEQ 能否构成等腰三角形，若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．E'MF ED CBA E'EDBA图1图2E'MFE D CBA 图35、（2012燕山期末25）在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点P 是在线段BC 上任意一点（与点B 不重合），∠BPE ＝12∠BCA ，PE 交BO 于点E ，过点B 作BF ⊥PE ，垂足为F ，交AC 于点G ． ⑴ 若ABCD 为正方形，① 如图⑴，当点P 与点C 重合时．△BOG 是否可由△POE 通过某种图形变换得到？证明你的结论； ② 结合图⑵求PEBF的值； ⑵ 如图⑶，若ABCD 为菱形，记∠BCA ＝α，请探究并直接写出PEBF的值．（用含α的式子表示）AB PC EFG ODAG OEB P F DDCFC (P )BE OGA第25题图⑴第25题图⑵第25题图⑶1、解：（1）1． ………………………………1分（2）①如图2，在DF 上截取DG ，使得DG =AF ，连接BG ．由旋转知，DB =AB ，∠D =∠A ．∴△DBG ≌△ABF ．∴BG =BF ，∠GBF =α． ………………3分图3图2注明：以上各题的其它的正确解法，酌情给分.2、（1）ADBE=，AD BE ⊥．........................................................................................... 2分 （2）证明：连接DM ，AM ．在等边三角形ABC 中，M 为BC 的中点，∴ AM BC ⊥，1302BAM BAC ∠=∠=︒，AMBM． ∴ 90BME EMA ∠+∠=︒．同理，DMEM =，90AMD EMA ∠+∠=︒． ∴ AM DMBM EM=，AMD BME ∠=∠． ······ 3分 ∴ △ADM ∽△BEM ．∴AD DMBE EM= ............................................................................... 4分 延长BE 交AM 于点G ，交AD 于点K ． ∴ MAD MBE ∠=∠，BGM AGK ∠=∠． ∴ 90GKA AMB ∠=∠=︒．∴ AD BE ⊥． ........................................................................................... 5分（3）解：(ⅰ)当△DEF 绕点M 顺时针旋转α(o 0≤α≤o 90)角时，∵ △ADM ∽△BEM ，∴ 2()3ADM BEM S AD S BE ∆∆==．∴ 13BEM ADM S S ∆∆=∴ ABM ADM BEM DEM S S S S S ∆∆∆∆=+--23ABM ADM DEM S S S ∆∆∆=+-121133)12322x =⨯⨯⨯⨯--⨯．∴S =+ （3≤x≤3+）．........................................................ 6分(ⅱ) 当△DEF 绕点M 逆时针旋转α(o 0≤α≤o 90)角时，可证△ADM ∽△BEM ，∴ 21()3BEM ADM S BM S AM ∆∆==．∴ 13BEM ADM S S ∆∆=．∴ ABM BEM ADM DEM S S S S S ∆∆∆∆=+--23ABM ADM DEM S S S ∆∆∆=--21)32x =⨯⨯-=∴S =+(3x ≤3)．综上，S(3≤x≤3+)． ....................................................... 7分3、解：(1) 30°. ……………………………………………………………………… 1分 (2)当点E 在线段CD 上时，2DE BF ME +=； ……………………… 2分 当点E 在CD 的延长线上，030EAD ︒<∠<︒时，2BF DE ME -=； ……………………… 3分 3090EAD ︒<∠≤︒时，2DE BF ME +=；90120EAD ︒<∠<︒时，2DE BF ME -=. …………………………4分 (3)作AG BC ⊥于点G , 作DH BC ⊥于点H.由AD ∥BC ，AD =AB =CD ，∠BAD =120°，得∠ABC =∠DCB =60°，易知四边形AGHD 是矩形和两个全等的直角三角形ABG DCH ∆∆，.则GH=AD , BG=CH . ∵120ABE ADC '∠=∠=︒, ∴点E '、B 、C 在一条直线上.设AD =AB =CD=x ,则GH=x ,BG=CH=12x ,. 作EQ BC ⊥于Q.在Rt △EQC 中，CE =2, 60C ∠=︒, ∴1CQ =, EQ ∴E'Q=21233BC CQ BE x x x '-+=-+-=-.………………………5分作AP EE '⊥于点P .PQ ABCDEF ME'H G∵△ADE 绕点A 顺时针旋转120°后，得到△ABE'.∴△A EE'是等腰三角形，30,AE E AE AE ''∠=︒==.∴在Rt △AP E'中，∴EE'=2 E'P= ………………………………………………6分∴在Rt △EQ E'中，9=. ∴339x -=.∴4x =. …………………………………………………… 7分 ∴2,8DE BE BC '===，2BG =. ∴4E G '=在Rt △E'AF 中,AG BC ⊥,∴Rt △AG E'∽Rt △F A E'. ∴AE E FE G AE ''=''∴7E F '=.∴5BF E F E B ''=-=. 由（2）知：2DE BF ME +=. ∴72ME =. ……………………………………………………… 8分4、解：（1）∵ ∠BAC =90°，AB =AC =2，∴ ∠B =∠C ，BC =又∵FEB FED DEB EQC C ∠=∠+∠=∠+∠,DEF C ∠=∠, ∴ ∠DEB =∠EQC .∴ △BPE ∽△CEQ ． ∴BP CEBE CQ=． 设BP 为x ，CQ 为y ，∴y =．∴2yx =．自变量x的取值范围是0＜x＜1．……………………………..3分（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C,且∠AQE＞∠C,∴∠AQE＞∠AEF .∴AE≠AQ .当AE=EQ时，可证△ABE≌ECQ.∴CE=AB=2 .∴BE=BC-EC=2.当AQ=EQ时，可知∠QAE=∠QEA=45°.∴AE⊥BC .∴点E是BC的中点.∴BE综上，在∠DEF运动过程中，△AEQ能成等腰三角形，此时BE的长为2. ……………………………..7分5、⑴解：△BOG可由△POE绕点O顺时针旋转90°得到．证明：如图⑴，∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°．∵PF⊥BG，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°－∠BGO，∠EPO=90°－∠BGO，∴∠GBO=∠EPO，∴△BOG≌△POE．∴OE=OG，又∵∠EOG=90°，∴将线段OE绕点O顺时针旋转90°就得到OG．又∵OB=OP，∠POB=90°，∴将线段OP绕点O顺时针旋转90°就得到OB．∴△BOG可由△POE绕点O顺时针旋转90°得到．⑵ 解法一：如图⑵，作PM //AC 交BG 于M ，交BO 于N ，∴∠PNE =∠BOC =90°，∠BPN =∠OCB ， ∵∠OBC =∠OCB =45°，∴∠NBP =∠NPB ， ∴NB =NP ．∵∠MBN =90°－∠BMN ， ∠NPE =90°－∠BMN ， ∴∠MBN =∠NPE ， ∴△BMN ≌△PEN ， ∴BM =PE ． ∵∠BPE =21∠ACB ，∠BPN =∠ACB ， ∴∠BPF =∠MPF ．∵PF ⊥BM ，∴∠BFP =∠MFP =90°． 又∵PF =PF ， ∴△BPF ≌△MPF ， ∴BF =MF ，即BF =21BM ， ∴BF =21PE ， 即PE BF ＝21． 解法二：如图⑶，作CM //PF 交BG 于M ，交BO 于N ，∴CNPE BN BE BM BF ==， 且∠BPE =∠BCM ，∵∠BPE =21∠ACB ，∴∠BCM =∠GCM ，∵CM //PF ，PF ⊥BG ，∴CM ⊥BG ， ∴∠CMB =∠CMG =90°．又∵CM =CM ，∴△BCM ≌△GCM ， ∴BM =MG ，即BM =21BG ， 又由⑴得，BG =CN ． ∴==CN BM PE BF 21． NM AG O E BPF DC图⑵ 图⑶C DF PBE O G AM N⑶ PE BF ＝21tan α．。