§3-11 力学量平均值随时间的变化 守恒定律
一、力学量的平均值随时间的变化规律 二、守恒定律
§3-11 力学量平均值随时间的变化 守恒定律
一、力学量的平均值随时间的变化规律
ˆ dF * ˆ * F ˆ dx F dx dx * F dt t t t 1 ˆ * 1 ˆ * H ( H ) t i t i ˆ 1 * F ˆ )* F ˆ dx 1 * FH ˆ ˆ dx dx ( H t i i ˆ 1 F ˆ ˆ dx 1 * FH ˆ ˆ dx * HF t i i
ˆ ( x) H ˆ (x) H
ˆ ˆ ( x) ( x, t ) H ˆ (x) (x, t ) H ˆ ( x) P ˆ ( x, t ) H ˆ ( x) P ˆ ( x, t ) PH ˆ, H ˆ] ˆ, H ˆ]0 [P ( x, t ) 0 [P dP 0 dt
ˆ ( x, t )dx F * ( x, t )F
ˆ 1 ˆ 1 F F * ˆ ˆ ˆ, H ˆ] [ F , H ] dx [F t i t i
即
ˆ 1 d F F ˆ, H ˆ] [F dt t i
此方程称为量子力学运动方程或海森伯运动方程。
因此
ˆ 空间反演不变，则态的奇偶 即宇称守恒定律。它说明如果 2 p ˆ ] [p ˆ, H ˆ , ] 0 ，所以 自由粒子的动量不显含时间，且 [ p 2 dp 0 dt
即量子力学中的动量守恒定律。 2．粒子在中心力场中运动的角动量
2 2 ˆ L 2 ˆ H r U (r ) 2 2 2r r r 2r ˆ2 , L ˆ ,L ˆ ,L ˆ 只和 , 有关，与r 和 t无关，则 因为 L x y z
ˆp ˆ x ，有 （2）取 F
对应于经典牛顿第二定律，称为艾伦弗斯特定律。
二、守恒定律
ˆ, H ˆ ] 0 ，则有 ˆ / t 0 ，并且 [ F ˆ 不显含时间，即 F 如果 F
dF / dt 0
ˆ 平均值不随时间变化。这时称 F 即力学量 F 为运动恒量，即守恒量。 此即为量子力学中的守恒定律。
ˆ / t 0 , 则 ˆ 不显含时间，即 F 如果 F
dF 1 ˆ ˆ [F , H ] dt i
ˆ x ，有 （1）取 F
1 1 i 2 ˆ ] 1 [ x, p ˆx ˆ x [ x, p ˆ x ] [ x, p ˆx]p ˆ x} ˆx ˆx p [ x, H ] {p 2ip 2 2 2 dx 1 ˆ ] px （对应于经典的速度） [ x, H dt i
dH 0 dt
即能量守恒定律。 如无限深势阱、线性谐振子、氢原子等的能量均为守恒量。 4．哈密顿对空间反演不变时的宇称
（1）宇称算符
ˆ 满足 定义： 若算符 P
ˆ ( x, t ) (x, t ) P
ˆ 为宇称算符。它描述了空间的对称性。 称P
ˆ 的本征值 （2） P ˆ ( x, t ) c ( x, t ) 设 P
ˆ ] [L ˆ ,H ˆ ] [L ˆ ,H ˆ ] [L ˆ ,H ˆ]0 [ L2 , H x y z
所以
d L2 0 dt
dLx 0 dt
dL y dt
0
dLz 0 dt
即量子力学的角动量守恒定律。 3．哈密顿不显含时间的体系能量
ˆ / t 0 ，而 [ H ˆ,H ˆ ] 0 ，则有 若哈密顿不显含时间，即 H
2 ˆ U p U x ˆ ] [ p ˆx, H ˆx, i ˆ x ,U ] i [p U ] [ p U U x x x 2 x ˆ ] i U ˆx, H [p x dpx 1 ˆ ] 1 (i) U U ˆx, H [p x i x dt i
则 又 所以
ˆ 2 ( x, t ) cP ˆ ( x, t ) c2 ( x, t ) P ˆ 2 ( x, t ) P ˆ (x, t ) ( x, t ) P
c2 1
c 1
ˆ ( x, t ) (x, t ) ( x, t ) ( x, t ) 为偶宇称态； c 1 时，P ˆ ( x, t ) (x, t ) ( x, t ) ( x, t ) 为奇宇称态； c 1 时， P （3）哈密顿对空间反演不变时的宇称