n
dAˆ 0
dt
我们称与体系 Hˆ 对易的不显含时间的力 学量算符为体系的运动常数。
运动常数并不都能同时取确定值。因 它们之间可能不对易。 B. 位力定理 ( virial Theorem )
已经证明，在定态上有位力定理
2Tˆ r V(r)
若 V(x, y,z) 是 x,y,z 的 n 次齐次函
l(l 1)2 2mr2
Rkl (r)
2k 2 2m
Rkl (r)
当 l 0 ，则有
2 2m
1 r
d2 dr 2
r Rk0
2k 2 2m
Rk0
从而得
1
d2 d 2
R k 0
Rk0
其中 kr 。显然，它有两个解
Rk0 sin( )
Rk0 cos()
但要求 Rk0 r0 0 ，所以取解
m)! m)!
1 sinm
(
d dcos
)lm
sin2l
称为连带勒让德函数（Associated Legendre
function）。
当 l,m 给定，也就是 Lˆ2, Lz的本征值
给定，那就唯一地确定了本征函数 Ylm(, ) 其性质：
a. 正交归一
Yl*m (, )Ylm (, )d llmm
Pˆr2
(l
1)l2 r2
Rkl1
所以
R kl1
l1Rkl Rkl1
事实上
R kl
()l ( 1
d )l d
Sin()
正是球贝塞尔函数
jl ()
()l ( 1
d )l d
Sin()
由
l Rkl Rkl1
•
l1Rkl Rkl1
从而可推得
1
jl ()
1 2l
1
jl1
()
A. 力学量的平均值随时间变化，
运动常数
力学量的平均值随时间变化
dAˆ Aˆ [Aˆ ,Hˆ ] dt t i
若 Aˆ 不显含 t，则
dAˆ [Aˆ ,Hˆ ] dt i
当 [Aˆ , Hˆ ] 0，则 Aˆ （对体系处于任何态）
不随 t 变，而取 As 的概率 cns 2 也不随
t 变。
数，则
2Tˆ nV(r)
例：谐振子势是 x,y,z 的二次齐次函数
Tˆ V(r)
V(r) 1 m2r2 2
例：库仑势是 x,y,z 的 –1 次齐次函数
2Tˆ V(r)
Ze 2 V(r)
4 0r
C. 能量-时间不确定关系
由算符间测量值的“涨落”关系，我
们推得
A E 2
A 其中 A dAˆ
dt
这即为能量和时间的不确定关系。
第十三
第四章 量子力学中的力学量
Ⅴ. 力学量平均值随时间的变化，运动
常数, 埃伦费斯脱定理（Ehrenfest
Theorem ）
D. 埃伦费斯脱定理
第五章 变量可分离型的三维定态问题
Ⅰ. 有心势
A. 不显含时间的薛定谔方程解在
r 0 的渐近行为
B. 三维自由粒子运动
d2x m dt2
dpˆ x dt
V x
Fˆx
称为埃伦费斯脱定理。
上面三个式子与经典力学看起来非常
相似
dxcl pxcl dt m
dp xcl Vcl (xcl )
dt
xcl
m
d2xcl dt 2
Vcl (xcl ) xcl
但决不能无条件地认为
x xcl
如果这样，即得
m
d2x dt2
1 r
2 r2
r
Lˆ2 2r2
显然
[Hˆ , Lˆ 2 ] 0
[Hˆ , Lˆ z ] 0
[Lˆ2, Lˆ z ] 0
因此， Hˆ , Lˆ2, Lˆ z 是两两对易。当共同 本征函数组不简并时，它们构成一组力学 量完全集(球对称势的体系都有这一特点）
以力学量 Hˆ , Lˆ2, Lˆ z 的本征值（即量子 数）对能量本征方程的特解进行标识，就 可得到一组完备的不简并的本征函数组。
即，取
m
l m l
这表明，角动量的本征值是量子化 的。自由粒子的角动量是量子化的。
2．本征函数
★
i
ulm
m
ulm
得解
ulm(,) Alm()eim
★
Lˆ ull
Lˆ
All(
eil
)
0
ei
(
l 1)
d d
l
cot
All
()
0
于是得归一化的本征函数
ull ( ,)
(1)l
1 2l l!
类似， Lˆ z，Lˆ Lˆ
ulm Lˆ ulm (Lˆ )2ulm (Lˆ )3ulm
m (m 1) (m 2) (m 3)
称 Lˆ 为升算符（对 Lˆ z 而言）。
Lˆ2 的本征值可取
l 2 l(l 1) 2 l 0,1,2,3,
Lˆ z 的本征值可取
l, (l 1), (l 2),,0,(l 2), (l 1), l
(2l 1)! sinl eil 4
★
ulm(,) c(Lˆ )lm sinl eil 于是得 Lˆ2, Lz 的共同本征函数组-球谐函数
Ylm (1)m
(2l 1) 4
(l (l
m) m)
! !
Plm
(cos
)e
im
Plm (cos)
(1)lm
1 2l l!
(2l 4
1)
(l (l
Rk0 sin( ) /
现设两个无量纲的算符
l
1 k
iPˆ r
(l
1) r
d d
(l 2)
l
1 k
iPˆ r
(l 1) r
d d
l
•
•
于是有
l l
1 2k 2
Pˆr2
(l 1)i(Pˆr
1 r
1 r
Pˆ r
)
(l
1)2 2 r2
而
Pˆ r
1 r
1 r
Pˆ r
i(1 d r dr
1 r2
d dr
r)
i
1 r2
所以
l l
1 2k 2
Pˆr2
（l 1）(l
r2
2) 2
同理
l l
1 2k 2
Pˆr2
l(l 1)2 r2
•
于是有
l l Rkl Rkl
并有
l l l R kl l R kl
即
1 2k 2
Pˆr2
（l
1）(l r2
2) 2
l Rkl
l Rkl
这表明
在这类位势下，束缚态 E<0 。所以 存在束缚态的条件为 0<m<2 。即仅当
r2V(r) r00
时，才有束缚态
2. 在 r 0 时，径向波函数应满足 rR(r) 0
由径向方程
d2 dr2
rR(r)
l(l r2
1)
rR(r)
2mE
2
V(r ) rR(r )
0
当 r 0 时，径向方程的渐近式为
函数 因 [Lˆ2, Lˆ z ] 0 ，它们有共同本征 函数组
1．本征值：
Lˆ2ulm l 2ulm Lˆ zulm m ulm
由
m
1/ 2 l
和
Lˆ z，Lˆ Lˆ
ulm Lˆ ulm (Lˆ )2ulm (Lˆ )3ulm
m (m 1) (m 2) (m 3)
称 Lˆ 为降算符
A. 不显含时间的薛定谔方程解在
r 0 的渐近行为
1．
V(r)
A rm
时 ( A 0 ) ，仅当
0m2
时才有束缚态。
根据位力定理：如 V(r)是 x,y,z 的 n 次齐次函数，则有
2T nV
（在定态上）
对于位势
V(r
)
A rm
，即 n m
即有
2T mV
E T V (1 2 )T m
b．封闭性
l0
ml
Ylm(, )Yl*m(, )
m l
1 sin
(
)(
)
c．
Ylm (1)m Yl*m
d. Ylm 宇称 (1)l
e. 递推关系
Lˆ Ylm (l m)(l m 1) Ylm1
Lˆ Ylm (l m)(l m 1) Ylm1 D. 力学量的完全集
量子力学描述与经典描述大不一样， 在量子力学中，是确定体系所处的状态。
有了力学量完全集，则可得 unabc
(r, t) cnabcunabceiE nt /
n,a,b,c
cnabc u*nabc(r)(r,0)dr
Lˆ2, Lˆ z 完全集相应的本征函数组为
Ylm (, )
Ⅴ. 力学量平均值随时间的变化，运动
常数, 埃伦费斯脱定理（Ehrenfest
Theorem ）
un(r) 满足定态本征方程 Hˆ (r,pˆ)un (r) Enun (r)
所以通解为
(r,t) cnn(r,t)
n
现处理变量可分离型的位势问题。 Ⅰ. 有心势
V(r) V(r)
能量本征方程可写为
Hˆ (r,
pˆ )un
(r)
2
2m
2
V(r)
un
(r)
Enun
(r
)
2
2m