������分布������(������; ������, ������) = { ������~������(������, ������), ������(������) =
������ ������+������
������(������,������)
, 1 > ������ > 0
0, 其他 , ������(������) = (������+������)2
������1 +������2 −2
2) 2 ) (������ 若������������ ~������(������1 , ������1 ������������ ~������(������2 , ������2 ������ , ������ ������ ������. ������. ������)
̅ −������ ̅ )−(������1 −������2 ) (������ ������������ √
1 1 + ������1 ������2
~������(������1 + ������2 − 2) ������������ = √
∗2 +(������ −1)������ ∗2 (������1 −1)������1 2 2
̅ 与������ ∗2 相互独立 (3)������ (4)������ = √
̅ −������) ������(������ ������ ∗
~������(������ − 1)
若������������ ~������(������1 , ������ 2 ) ������������ ~������(������2 , ������ 2 ) (������������ , ������������ ������. ������. ������) ������ =
t 分布������(������; ������) =
������+1 ) 2 ������ √2������Γ( 2 )
Γ(
(1 +
������ 2 ������
)
−
������+1 2
������~������(������)自由度为 n 的 t 分布 ������ → ∞ ������~������(0,1), ������(������) = 0, ������(������) = ������~������(0,1), ������~������ 2 (������) (������, ������ ������. ������. ������) ������ =
������ 2 ������������ ~������ 2 (������������ ), ∑������ ������=1 ������������ ~������ (∑������=1 ������������ ) (������������ ������. ������. ������)
̅ = ∑������ 样本均值������ ������=1 ������������
������ ������ 2 ̅2 ̅ 2 样本方差������ 2 = ∑������ ������=1(������������ − ������ ) = ∑������=1 ������������ −������ ������ ������ 1 1
������ → ∞
������−������ √2������
~������(0,1)
2 2 ������������ ~������(0,1), (������������ ������. ������. ������) → ∑������ ������=1 ������������ ~������ (������)
������ =
2 ������ ∗2 ������2 1 2 ������ ∗2 ������1 2
=
∗2 /������ 2 ������1 1 ∗2 /������ 2 ������2 2
=
������ √������
∗2 /������ ∗2 ������1 2 2 /������ 2 ������1 2
有效性 ̂ 的 均 方 误 差 为 ������������������(������ ̂, ������) = ̂ − ������)2 = ������(������ ̂) + (������������ ̂ − ������)2 。 若 存 在 ������ ̂∗ ������ ̂ ������(������ ̂ ∗ , ������) ≤ ������������������(������ ̂, ������)，则������ ̂ ∗ 为一致最小均方误差估计量 使得所有的������都有������������������(������ ̂) = ������，则一致均方误差最小准则等价为方差最小准则，即������������������(������ ̂ , ������) = ������(������ ̂)。若无偏估 若������(������ ̂1 ，������ ̂2 ，������(������ ̂1 ) < ������(������ ̂2 )，称������ ̂1 比������ ̂2 有效 计������ ̂: ������������ (������ ̂) = ������, ������������ (������ ̂) < ∞, ∀������ ∈ Θ} ������ = {������ ̂: ������������ (������ ̂0 ) = 0, ������������ (������ ̂0 ) < ∞, ∀������ ∈ Θ} ������0 = {������ ̂ ∗ 为一致最小方差无偏估计的充要条件：对每一个������ ̂0 ∈ ������0 都有������������ (������ ̂ ∗ ������) = 0, ������ ∈ Θ ������ R-C 下界:(T 为������(������)的无偏估计) ������(������) = ������( ������(������) ≥
(������−1)������ ∗2 ������ 2
2
������/������1 ������/������2
~������(������1 , ������2 )
=
������������ 2 ������ 2
=
1 ��������=1(������������ − ������ ) ~������ (������ − 1)
������ ������
������~Γ(������, ������), ������(������) = , ������(������) =
������ ∑������ ������=1 ������������ ~������(∑������=1 ������������ , ������) (������������ ������. ������. ������) −������������ ������ = 1, ������~������������������(������)(指数分布) ������(������; ������) = {������������ , ������ > 0 0, ������ ≤ 0 ������ ������−1 (1−������)������−1
Γ分布������(������; ������, ������) = {Γ(������) Γ函数Γ(������) = ∫ 0
+∞
������ ������−1 ������ −������������ , ������ > 0 0, ������ ≤ 0
������ ������2
������ ������−1 ������ −������ ������������
������
1
������~������ 2 (������1 ), ������~������ 2 (������2 ) (������, ������ ������. ������. ������) ������ = 若������������ ~������(������, ������ 2 ) ̅ ~������ (������, ������ ) (1)������ ������ (2)
������������������������ ������������������
= 0,若无解，则用其他方法（实际情况）确定 L 最大时
̂) = ������则为无偏估计，若 lim ������(������ ̂) = ������，则为渐进无偏估计 ������(������
������→∞
������ √������/������
������ ������−2
(������ > 2)
~������(������)
������~������(������, ������) → ~������(������, ������), ������ → ������(������) → ������ 2 ~������(1, ������)
������ 2
~������(������, ������)
������ 2 分布������ 2 (������; ������) = {
������ ������ −1 − ������ 2 ������ ������ 2 2 Γ( ) 2
, ������ > 0
0, ������ ≤ 0
记������~������ 2 (������)自由度为 n 的������ 2 分布，������(������) = ������, ������(������) = 2������